Centrale Mathématiques 1 PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Stabilité des solutions d'équations différentielles linéaires du second ordre à amortissement évanescent

Le problème étudie des équations différentielles linéaires du second ordre de la forme y'' - y'/(1+t^α) + y = h, avec un terme d'amortissement qui s'évanouit à l'infini. Il fait découvrir plusieurs notions de stabilité (par rapport aux conditions initiales, au second membre en norme L1 ou L∞, ou au paramètre α) et étudie le comportement asymptotique des solutions selon que α est égal ou supérieur à 1.

1Partie I : étude de l'équation y'' + y = hCas limite à l'infini, stabilités par rapport aux conditions initiales et au second membre.
2Partie II : comportement à l'infini pour α > 1Continuité de l'intégrale I(α), relèvement angulaire d'une fonction complexe et comportement asymptotique des solutions.
3Partie III : stabilité pour α > 1Étude du wronskien et des différentes stabilités à l'aide des résultats de la partie II.
4Partie IV : comportement à l'infini pour α = 1Changement de fonction et relèvement angulaire pour traiter le cas limite α = 1.
5Partie V : stabilité pour α = 1Étude de la stabilité dans le cas limite, à l'aide des parties II et IV.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet d'assez délicat mais souligne que l'énoncé était très progressif, les deux premières parties reposant surtout sur des questions classiques du programme d'analyse.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Recherche de solution particulière mal maîtrisée · Continuité d'une intégrale à paramètre mal comprise · Dérivabilité sous le signe somme rarement bien traitée

Le sujet, bien que délicat, était très progressif, les deux premières parties reposant sur des questions classiques d'équations différentielles nécessitant une bonne compréhension du programme d'analyse. Le jury relève plusieurs points ayant gêné une majorité de candidats, notamment sur la recherche de solutions particulières et la continuité ou la dérivabilité d'intégrales à paramètre.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Recherche de solution particulière mal maîtrisée
Pour les équations avec un second membre exponentiel, il faut chercher une solution particulière adaptée selon que la pulsation est racine simple ou double de l'équation caractéristique, faute de quoi la méthode de variation de la constante reste nécessaire.
« les candidats devraient se souvenir de la méthode de variation de la constante »
2
Continuité d'une intégrale à paramètre mal compriseII.A
La condition de domination, nécessaire pour justifier la continuité de l'intégrale par rapport au paramètre, est mal comprise par de trop nombreux candidats.
« la continuité des intégrales (question IIA) dépendant d’un paramètre est mal comprise par de trop nombreux candidats »
3
Dérivabilité sous le signe somme rarement bien traitéeI.C
L'étude de la dérivabilité sous le signe somme, pourtant une application directe du cours, n'a presque jamais été correctement traitée.
« l’étude de la dérivabilité sous le signe somme dans la question IC n’a presque jamais été correctement traitée. »
4
Argument de Cauchy-Lipschitz non exploitéII.C, IV.B
Trop peu de candidats ont compris que l'annulation en un point d'une combinaison f + if' entraîne, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, que la fonction est identiquement nulle, ce qui aurait permis de se ramener à un cas déjà étudié.
« trop peu de candidats ont compris que l’annulation en un point de »

Ce qui a été bien réussi

Les deux premières parties, qui représentaient plus de la moitié du barème, portaient sur des questions assez classiques d'équations différentielles.
Une rédaction impeccable des questions de continuité ou de dérivabilité sous le signe somme, qui ne demandent que de bien connaître le cours, rapporte des points en quantité appréciable.

Conseils du jury

Bien connaître les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires du second ordre avec second membre exponentiel.
Maîtriser précisément les théorèmes de continuité et de dérivabilité des intégrales à paramètre, notamment la condition de domination.
Penser à exploiter le théorème de Cauchy-Lipschitz pour ramener une question à un cas déjà résolu.
Soigner la rédaction des questions de cours, qui rapportent des points en quantité appréciable lorsqu'elles sont bien traitées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Notations et définitions

ℝ^2

est muni de la norme

‖(x, y)‖ = \sqrt(x^2 + y^2)

.
On note

C(ℝ^+, ℝ)

l'ensemble des fonctions continues de

ℝ^+

dans

ℝ

L^1

l'ensemble des fonctions

f \in C(ℝ^+, ℝ)

intégrables sur

ℝ^+

. Si

f \in L^1

, on pose

‖f‖_1 = \int_0^(+ \infty)|f|

. On note

B

l'ensemble des fonctions

f \in C(ℝ^+, ℝ)

bornées sur

ℝ^+

. Si

f \in B

, on pose

‖f‖_\infty = sup_(ℝ^+)|f|

.
Si

α \in [1, + \infty[

, on convient que

0^α = 0

; ainsi

t \in ℝ^+ \mapsto t^α

est continue.
On pose, lorsque cela a un sens,

I(α) = \int_0^(+ \infty)1/(1 + t^α)dt

.
Si

α \in [1, + \infty[

h

est une fonction continue de

ℝ^+

dans

ℝ

, on note

E_(α, h)

l'équation différentielle linéaire :

(E_(α, h)) : y^('') - 1/(1 + t^α)y^' + y = h

Par définition, une solution de (

E_(α, h)

) est une fonction de

ℝ^+

dans

ℝ

de la variable

t

de classe

C^2

vérifiant (

E_(α, h)

Pour une équation différentielle linéaire du second ordre

(E)

, de second membre

h

, on définit les propriétés de stabilité suivantes :

on dira que $(E)$ est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout $ε \in ℝ_+^*$ , il existe $η \in ℝ_+^*$ tel que si $f$ est une solution de $(E)$ vérifiant $‖(f(0), f^'(0))‖ ⩽ η$ , alors $f \in B$ et $‖f‖_\infty ⩽ ε$ .
on dira que ( $E$ ) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout $ε \in ℝ_+^*$ , il existe $η \in ℝ_+^*$ tel que si $h \in L^1$ est tel que $‖h‖_1 ⩽ η$ et $f$ est solution de $(E)$ vérifiant $(f(0), f^'(0)) = (0, 0)$ , alors $f \in B$ et $‖f‖_\infty ⩽ ε$ .
on dira que ( $E$ ) est stable par rapport au second membre au sens $\infty$ si et seulement si pour tout $ε \in ℝ_+^*$ , il existe $η \in ℝ_+^*$ tel que si $h \in B$ est tel que $‖h‖_\infty ⩽ η$ et $f$ est solution de $(E)$ vérifiant $(f(0), f^'(0)) = (0, 0)$ , alors $f \in B$ et $‖f‖_\infty ⩽ ε$ .

De plus, dans le cas de l'équation (

E_(α, 0)

) :

on dira que ( $E_(α, 0)$ ) est stable par rapport au paramètre si et seulement si pour tous $(a, b) \in ℝ^2$ et $ε \in ℝ_+^*$ , il existe $η \in ℝ_+^*$ tel que :
si $β \in [1, + \infty[$ vérifie $|α - β| ⩽ η, f$ est solution de $(E_(α, 0))$ et $g$ est solution de $(E_(β, 0))$ avec $(f(0), f^'(0)) = (g(0), g^'(0)) = (a, b)$ , alors $f - g \in B$ et $‖f - g‖_\infty ⩽ ε$ .

Objectifs et dépendance des parties

L'objectif du problème est d'étudier le comportement des solutions de (

E_(α, 0)

) vers

+ \infty

, ainsi que les différentes notions de stabilité.

La partie

I

étudie le cas de l'équation «limite à l'infini »

y^('') + y = h

.
La partie II, indépendante de

I

, étudie le comportement à l'infini des solutions de (

E_(α, 0)

) pour

α > 1

.
La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour

α > 1

, utilise des résultats de II.A, II.C et I.5.
La partie IV, qui étudie le comportement à l'infini des solutions de (

E_(1, 0)

), utilise II.B.

La partie

V

, qui étudie les problèmes de stabilité pour

α = 1

, utilise les parties IV et II.

Partie $I$ - Étude de l'équation $y^('') + y = h$

h \in C(ℝ^+, ℝ)

, on note

(F_h)

l'équation différentielle

y^('') + y = h

. Par définition, une solution de (

F_h

) est une fonction de classe

C^2

ℝ^+

dans

ℝ

vérifiant (

F_h

).
I.A -
I.A.1) Donner l'ensemble des solutions de (

F_0

).
I.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour

h : x \mapsto cos(x)

Donner l'ensemble des solutions de

(F_h)

dans ce cas.
I.A.3) Dans cette question uniquement, on prend pour

h

la fonction

2π

-périodique sur

ℝ^+

, définie par

h(x) = {sin(x), si, x \in [0, π]; 0, si, x \in ]π, 2π]

Démontrer que

h

est continue sur

ℝ^+

et déterminer l'ensemble des solutions de (

F_h

I.B - Stabilité par rapport aux conditions initiales

(a, b) \in ℝ^2

, et

f

est la solution de

(F_0)

vérifiant

(f(0), f^'(0)) = (a, b)

, montrer que

f \in B

‖f‖_\infty ⩽ ‖(a, b)‖

.
I.C - Si

h \in C(ℝ^+, ℝ)

, montrer que

f_0 : t \in ℝ^+ \mapsto (\int_0^t h(u)sin(t - u)du)

est solution de

(F_h)

, et en déduire l'ensemble des solutions de

(F_h)

I.D - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

On donne

h \in L^1

.
Déterminer la solution

f

(F_h)

vérifiant

(f(0), f^'(0)) = (0, 0)

, montrer que

f \in B

, et

‖f‖_\infty ⩽ \sqrt2‖h‖_1

.
En déduire que (

F_h

) est stable par rapport au second membre au sens 1.

I.E - Instabilité par rapport au second membre au sens $\infty$

Soit

δ \in ℝ_+^*

.
Résoudre l'équation différentielle

y^('') + y = δcos(t)

, et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisement, ne sont pas en

o(t)

quand

t \to + \infty

En déduire la non stabilité de (

F_0

) par rapport au second membre au sens

\infty

Partie II - Comportement à l'infini des solutions de ( $E_(α, 0)$ ) pour $α > 1$

II.A - Démontrer l'existence de

I(α)

, pour

α > 1

, et sa continuité par rapport à

α

II.B - Relèvement angulaire

On donne

g : ℝ^+ \to ℂ^*

de classe

C^k, k ⩾ 2

.
II.B.1) Justifier l'existence d'une primitive

A

(g^')/g

, et montrer que

ge^(- A)

est constante.
II.B.2) En écrivant la fonction

A

sous la forme

A = B + iC

, où

B

C

sont des fonctions à valeurs réelles, justifier qu'existent

r \in C^k(ℝ^+, ℝ_+^*)

θ \in C^k(ℝ^+, ℝ)

tels que

g = re^(iθ)

II.C - Comportement à l'infini pour $α > 1$

Soit

α > 1

f

une solution non nulle de

(E_(α, 0))

. On note

q : t \in ℝ^+ \mapsto 1/(1 + t^α)

.
II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu'existent

r \in C^1(ℝ^+, ℝ_+^*)

θ \in C^1(ℝ^+, ℝ)

telles que

f = rcos(θ)

f^' = rsin(θ)

.
Exprimer

r

en fonction de

f

f^'

.
Les fonctions

r

θ

sont fixées ainsi pour la suite de la partie.
II.C.2) Démontrer que

θ^' = - 1 + qsin(θ)cos(θ)

.
II.C.3) Démontrer que

r^' = qrsin^2(θ)

.
II.C.4) Démontrer que

r

a une limite strictement positive en

+ \infty

vérifiant

lim_(+ \infty)r ⩽ r(0)exp(I(α))

.
Démontrer que

f

f^'

sont bornées par

‖(f(0), f^'(0))‖exp(I(α))

.
II.C.5) Démontrer que

θ(t) + t

tend vers une limite réelle quand

t \to + \infty

.
II.C.6) Démontrer qu'existent

a \in ℝ_+^*

b \in ℝ

tels que

f(t) - acos(t + b) ⟶ _(t \to + \infty)0

.
II.C.7) Tracer l'allure du graphe de

f

vers

+ \infty

Partie III - Étude de la stabilité pour $α > 1$

Dans toute la partie,

α > 1

, et (

f_1, f_2

) est un système fondamental de solutions de

(E_(α, 0))

w = |f_1, f_2; f_1^', f_2^'|

est le wronskien associé.
On pensera à utiliser les résultats de II.

III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales

Démontrer que (

E_(α, 0)

) est stable par rapport aux conditions initiales.

III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

III.B.1) Déterminer une équation différentielle vérifiée par

w

, et montrer qu'existent

a, b

réels tels que pour tout

x \in ℝ^+, 0 < a ⩽ |w(x)| ⩽ b

.
III.B.2) Si

h \in C(ℝ^+, ℝ)

, montrer que les solutions de (

E_(α, h)

) sont les fonctions du type

f = - C_1 f_1 + C_2 f_2

, où

C_1

est une primitive de

(hf_2)/w

C_2

une primitive de

(hf_1)/w

.
III.B.3) Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes requises sur

C_1

C_2

dans la question précédente pour avoir

(f(0), f^'(0)) = (0, 0)

?
III.B.4) Démontrer l'existence de

C \in ℝ^+

telle que : pour tout

h \in L^1

, la solution

f

(E_(α, h))

vérifiant

(f(0), f^'(0)) = (0, 0)

est dans

B

, et

‖f‖_\infty ⩽ C‖h‖_1

. En déduire que (

E_(α, 0)

) est stable par rapport au second membre au sens 1 .

III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens $\infty$

On fixe

λ \in ℝ_+^*

.
Soit

g

une solution de

y^('') + y = λcos(t)

.
Soit

f

la solution sur

ℝ^+

y^('') - 1/(1 + t^α)y^' + y = λcos(t)

telle que

(f(0), f^'(0)) = (0, 0)

. On pose

Φ = f - g

.
III.C.1) Démontrer que

Φ

est solution de (

E_(α, h)

), pour une fonction

h \in C(ℝ^+, ℝ)

vérifiant

h(t)\to-_(t \to + \infty)^0

.
III.C.2) Démontrer que

h(t) ⟶ _(t \to + \infty)0

implique que

\int_0^t|h| = _(t \to + \infty)o(t)

.
III.C.3) Utilisant la résolution de (

E_(α, h)

) vue en III.B, montrer que

Φ(t) = _(t \to + \infty)o(t)

.
III.C.4) Démontrer que (

E_(α, 0)

) n'est pas stable par rapport au second membre au sens

\infty

III.D - Stabilité par rapport au paramètre

On fixe pour la suite de la question

(a, b) \in ℝ^2

.
Soit

β \in ]1, + \infty[

.
Soit

f

la solution de

(E_(α, 0))

vérifiant

(f(0), f^'(0)) = (a, b), g

la solution de

(E_(β, 0))

vérifiant

(g(0), g^'(0)) = (a, b)

.
On pose

Φ = f - g

.
Si

λ > 1

, on pose

J(λ) = \int_0^1 1/(1 + t^λ)dt

K(λ) = \int_1^(+ \infty)1/(1 + t^λ)dt

Comme pour

I

, les fonctions

J

K

sont bien définies et continues sur

]1, + \infty[

(on ne demande pas de le montrer).
III.D.1) Démontrer que

Φ

est une solution de l'équation différentielle (

E_(α, h)

) avec

h : t \mapsto (1/(1 + t^β) - 1/(1 + t^α))g^'(t)

III.D.2) Démontrer que

h \in L^1

‖h‖_1 ⩽ ‖(a, b)‖e^(I(β))(|J(α) - J(β)| + |K(α) - K(β)|)

.
III.D.3) Démontrer que (

E_(α, 0)

) est stable par rapport au paramètre.

Partie IV - Étude du comportement vers $+ \infty$ pour $α = 1$

f

est une solution non nulle de

(E_(1, 0))

.
On pose

g : t \in ℝ^+ \mapsto (f(t))/(\sqrt(t + 1))

.
IV.A - Établir que pour tout

t ⩾ 0, g^('')(t) + (1 - 3/(4(t + 1)^2))g(t) = 0

.
IV.B - Démontrer qu'existent

ρ \in C^2(ℝ^+, ℝ_+^*)

β \in C^2(ℝ^+, ℝ)

telles que

g = ρcos(β)

g^' = ρsin(β)

.
IV.C - Déterminer une équation différentielle vérifiée par

β

et montrer que

β(x) + x

tend vers une limite réelle lorsque

x \to + \infty

.
IV.D - Déterminer une équation différentielle vérifiée par

ρ

, et démontrer que

ρ

tend vers une limite réelle

a > 0

+ \infty

.
IV.E - Démontrer qu'il existe un réel

b

tel que

f(t) - a\sqrttcos(t + b) = _(t \to + \infty)o(\sqrtt)

, où

a

est le réel défini ci-dessus.
IV.F - Tracer l'allure du graphe de

f

vers

+ \infty

Partie V - Étude de la stabilité pour $α = 1$

V.A - Démontrer que (

E_(1, 0)

) n'est pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre.
V.B - Si

λ \in ℝ

, et

f_λ : x \mapsto λxsin(x)

, calculer

f_λ^('')(x) - 1/(1 + x)f_λ^'(x) + f_λ(x)

Qu'en déduire concernant la stabilité de (

E_(1, 0)

) par rapport au second membre au sens

\infty

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre à amortissement évanescent, avec des questions sur les intégrales à paramètre, le théorème de Cauchy-Lipschitz et l'étude asymptotique des solutions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 ?

Le jury relève une mauvaise maîtrise de la recherche de solutions particulières, une condition de domination mal comprise pour la continuité d'une intégrale à paramètre, et une dérivabilité sous le signe somme presque jamais correctement traitée.

Ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme assez délicat mais très progressif, les deux premières parties reposant sur des questions classiques du programme d'analyse.

Ce sujet de Centrale PSI 2006 est-il un bon entraînement sur les équations différentielles ?

Oui, il couvre la résolution d'équations différentielles linéaires du second ordre, les intégrales à paramètre et différentes notions de stabilité, avec un énoncé jugé très progressif par le jury.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Notations et définitions

Objectifs et dépendance des parties

Partie I - Étude de l'équation y^(′′) + y = h

I.B - Stabilité par rapport aux conditions initiales

I.D - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

I.E - Instabilité par rapport au second membre au sens ∞

Partie II - Comportement à l'infini des solutions de ( E_(α, 0) ) pour α > 1

II.B - Relèvement angulaire

II.C - Comportement à l'infini pour α > 1

Partie III - Étude de la stabilité pour α > 1

III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales

III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens ∞

III.D - Stabilité par rapport au paramètre

Partie IV - Étude du comportement vers + ∞ pour α = 1

Partie V - Étude de la stabilité pour α = 1

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 ?

Ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2006 est-il difficile ?

Ce sujet de Centrale PSI 2006 est-il un bon entraînement sur les équations différentielles ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2006

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2006

Partie $I$ - Étude de l'équation $y^('') + y = h$

I.E - Instabilité par rapport au second membre au sens $\infty$

Partie II - Comportement à l'infini des solutions de ( $E_(α, 0)$ ) pour $α > 1$

II.C - Comportement à l'infini pour $α > 1$

Partie III - Étude de la stabilité pour $α > 1$

III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens $\infty$

Partie IV - Étude du comportement vers $+ \infty$ pour $α = 1$

Partie V - Étude de la stabilité pour $α = 1$