WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 1 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2005FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales Centrale PSI MathématiquesCentrale PSI 2005PSI MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Mathématiques I Centrale PSI : équations différentielles et intégrales gaussiennes
Afficher ou masquer la section

Le sujet porte sur des équations différentielles faisant intervenir des intégrales gaussiennes. Plus court que les années précédentes et sans difficulté technique majeure, il réclame une bonne connaissance des outils du programme sur les équations différentielles, ainsi que de bons réflexes sur les séries entières et en algèbre linéaire.

  1. 1Partie I : fonctions de classe C infini et séries entièresÉtude de fonctions de classe C infini et de leur développement en série entière.
  2. 2Partie II : équations différentiellesRésolution d'équations différentielles, méthode de variation de la constante, théorème des valeurs intermédiaires et méthode de Newton.
  3. 3Partie III : endomorphismes en dimension infinieÉtude de l'injectivité et de la surjectivité d'endomorphismes en dimension infinie.
  4. 4Partie IV : restrictions d'applicationsComportement de l'injectivité et de la surjectivité par restriction d'une application à un sous-ensemble.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le problème était nettement plus court que celui des années précédentes et ne comportait pas de difficulté technique majeure, tout en réclamant de bons réflexes sur plusieurs outils du programme.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Fonction C infini supposée développable en série entière · Méthode de Newton confondue avec la dichotomie · Variation de la constante appliquée sans vérifier la linéarité
Afficher ou masquer la section

Le problème était nettement plus court que celui des années précédentes et ne comportait pas de difficulté technique majeure, mais réclamait de bons réflexes des candidats sur les équations différentielles, les séries entières et l'algèbre linéaire.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Fonction C infini supposée développable en série entièreI.A

    Une fonction de classe C infini n'est pas forcément développable en série entière, comme le montre l'exemple de la fonction exponentielle de 1/x prolongée par 0.

  2. 2
    Méthode de Newton confondue avec la dichotomieI.B.3

    Plus de 95% des candidats confondent la méthode de Newton et la méthode de dichotomie.

  3. 3
    Variation de la constante appliquée sans vérifier la linéaritéI.B.1

    Il ne faut pas appliquer la méthode de variation de la constante à une équation différentielle sans préciser qu'elle est linéaire.

  4. 4
    Endomorphisme injectif supposé surjectif en dimension infinieIII.A.3

    Un endomorphisme en dimension infinie qui est injectif n'est pas forcément surjectif.

  5. 5
    Équation caractéristique appliquée à des coefficients non constantsII.B.2

    Il ne faut pas essayer de résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants par la méthode de l'équation caractéristique.

Conseils du jury

  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, par exemple la linéarité d'une équation ou la continuité d'une fonction.
  • Ne pas confondre les méthodes numériques de résolution d'équations, en particulier Newton et dichotomie.
  • Se méfier des propriétés valables en dimension finie mais fausses en dimension infinie, comme l'équivalence entre injectivité et surjectivité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Dans tout le problème on identifie les polynômes et les fonctions polynômes correspondantes.
Soit E l'espace vectoriel des fonctions de classe C^∞ de ℝ dans ℝ, ℝ[X] le sousespace vectoriel des fonctions polynômes et ℝ_n[X] le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On pose
I_p(x) = ∫_0^x e^(− t^2/2)t^p dt
On ne cherchera pas à calculer I_0.

Partie I -

I.A - Déterminer le développement en série entière de x de la fonction
x ↦ (1 + x^2)e^(x^2).
I.B - On considère l'équation différentielle :
(E) y^′ − xy = (1 + x^2)e^(x^2/2).
I.B.1) Donner la solution générale de l'équation (E).
On désigne par f la solution de (E) vérifiant la condition initiale f(0) = 1.
I.B.2) Donner l'expression de f. Montrer que f(x) s'annule pour une seule valeur réelle de x, notée α.
I.B.3) On se propose de calculer une valeur approchée de α par la méthode de Newton.
a) Déterminer préalablement un intervalle [ α_1, α_2 ] de longueur 0,1 contenant α. Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l'appliquer à partir de l'intervalle [α_1, α_2].
b) Écrire un algorithme, mettant en œuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de α à 10^(− 6) près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.
c) Déterminer par l'algorithme mis en place une valeur approchée de α à 10^(− 6) près.

Filière PSI

Partie II -

II.A -

II.A.1) Calculer I_1.
II.A.2) Trouver une relation entre I_p et I_(p − 2), pour p ≥ 2.

II.B -

II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel k, il existe une constante λ_k et un polynôme A_k tels que:
∀x ∈ ℝ, I_(2k + 1)(x) = λ_k + e^(− x^2/2)A_k(x).
II.B.2) Déterminer λ_k et A_k.

II.C -

II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel k, il existe une constante μ_k et un polynôme B_k tels que :
∀x ∈ ℝ, I_(2k)(x) = μ_k I_0(x) + e^(− x^2/2)B_k(x).
II.C.2) Déterminer μ_k et le degré de B_k.

II.D -

II.D.1) Si le degré de P est égal à n, que peut-on dire du degré du polynôme :
1 + P^′(X) − xP(X)?
II.D.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P tel que I_0(x) + P(x)e^(− x^2/2) soit une constante.

Partie III -

Soit φ l'application de E dans E définie par :
∀x ∈ ℝ, φ(f)(x) = f^′(x) − xf(x).

III.A -

III.A.1) Montrer que φ est une application linéaire sur E.
III.A.2) Déterminer le noyau de φ.
III.A.3) L'application φ est-elle injective? surjective?
III.A.4) Expliciter φ^(− 1)(g) = {f ∈ E|φ(f) = g} à l'aide d'une constante C et de
∫_0^x e^(− t^2/2)g(t)dt

III.B -

III.B.1) Quelle est l'image de f par φ ∘ φ ?
III.B.2) Résoudre l'équation différentielle : y^(′′) − 2xy^′ + (x^2 − 1)y = 0.
III.C - On pose par convention φ^1 = φ et, plus généralement, on définit, pour tout n entier, n ≥ 2, φ^n par:
φ^n = φ^(n − 1) ∘ φ = φ ∘ φ^(n − 1).
III.C.1) Résoudre φ^2(f) = 0.
III.C.2) Résoudre φ^n(f) = 0.

Partie IV -

Soit φ_0 l'application linéaire de ℝ[X] dans lui-même définie par :
∀P ∈ ℝ[X], φ_0(P) = φ(P).
IV.A - φ_0 est-elle injective ? surjective ?

IV.B -

IV.B.1) Montrer que pour tout n entier naturel, X^(2n + 1) ∈ φ_0(ℝ[X]).
IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à φ_0(ℝ[X]).
IV.C - Pour tout q, entier strictement positif, on définit le polynôme Q_q :
Q_q(X) = X^(2q) − (2q − 1)X^(2q − 2).
IV.C.1) Déterminer un polynôme P tel que Q_q = φ_0(P).
On désigne par 𝒫 le sous-espace vectoriel de ℝ[X] engendré par la famille {Q_q|q ∈ ℕ^∗}.
IV.C.2) Montrer que pour tout entier naturel non nul q, le polynôme X^(2q) − μ_q est élément de 𝒫.
On pourra remarquer que : (Q_k(X))/(μ_k) = (X^(2k))/(μ_k) − (X^(2k − 2))/(μ_(k − 1)).
IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels Vect(X, X^3, …, X^(2n + 1), …) et 𝒫 sont en somme directe.
IV.C.4) Montrer que Im(φ_0) = Vect(X, X^3, …, X^(2n + 1), …) ⊕ 𝒫.

Partie V -

On considère l'équation différentielle :
(1) y^′ − xy = (1 + x^2)e^(x^2)
et on définit la fonction H : ℝ → ℝ par :
H(x) = ∫_0^x(1 + t^2)e^(t^2/2)dt
V.A - Donner la solution générale de l'équation (1) (l'expression de cette solution utilise la fonction H ).
V.B - Déterminer une fonction g, impaire, développable en série entière et solution de l'équation (1). Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière?
V.C - À l'aide des questions précédentes calculer :
∫_0^x(1 + t^2)e^(t^2/2)dt

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques I Centrale PSI 2005 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte Mathématiques I Centrale PSI 2005 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles liées aux intégrales gaussiennes, les séries entières, les méthodes numériques (Newton, dichotomie) et les endomorphismes en dimension infinie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à Mathématiques I Centrale PSI 2005 ?

Une confusion massive entre la méthode de Newton et la dichotomie (plus de 95% des candidats), l'application de la variation de la constante sans vérifier la linéarité, et une confusion entre injectivité et surjectivité en dimension infinie.

Mathématiques I Centrale PSI 2005 est-il un sujet difficile ?

Le rapport le décrit comme nettement plus court que les années précédentes et sans difficulté technique majeure, mais il exige de bons réflexes sur plusieurs notions du programme.

Pas de description pour le moment