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Exponentielle de matrices, commandabilité et stabilisation par retour d'état des systèmes de contrôle linéaires
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La partie I définit l'exponentielle d'une matrice et l'utilise pour résoudre les équations différentielles linéaires X'=AX+f(t), avec un critère de stabilité asymptotique lié aux valeurs propres de A. La partie II étudie la commandabilité d'une paire (A,B) : elle caractérise les états atteignables en temps T par un contrôle, établit un critère de rang, puis détermine le contrôle qui minimise l'énergie dépensée. La partie III étudie la stabilisation par retour d'état, en montrant en dimension 1 qu'une paire commandable est toujours stabilisable, à l'aide d'une forme compagnon.

  1. 1Partie I : exponentielles de matricesOn définit l'exponentielle d'une matrice comme limite d'une série, on établit ses propriétés élémentaires, puis on l'utilise pour résoudre les équations différentielles linéaires X'=AX et X'=AX+f(t) et pour caractériser la stabilité asymptotique de leurs solutions.
  2. 2Partie II : commandabilitéOn définit l'ensemble des états atteignables en temps T pour un système de contrôle X'=AX+Bu(t), on établit le critère de rang de la matrice de commandabilité, puis on détermine le contrôle d'énergie minimale amenant l'état nul à un état cible donné.
  3. 3Partie III : stabilisation par retour d'étatOn étudie l'existence d'une matrice de retour d'état rendant asymptotiquement stables toutes les solutions du système bouclé, et on montre, en dimension m=1 et à l'aide d'une forme compagnon, qu'une paire commandable est toujours stabilisable.

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MATHÉMATIQUES

Durée: 4 HEURES

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Notations

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie sur 𝕂 = ℝ ou ℂ. On note alors C(ℝ; E) (resp. C^1(ℝ; E) ) l'ensemble des applications continues (resp. de classe C^1 ) sur ℝ à valeurs dans E.
Dans tout l'énoncé, n désigne un entier naturel non nul, et l'on munit ℝ^n de la structure euclidienne canonique : pour (x, y) ∈ ℝ^n × ℝ^n, (x|y) = ∑_(i = 1)^n x_i y_i désigne le produit scalaire de x et y, et ‖x‖ = √((x|x)), la norme associée.
La notation M_(n, m)(𝕂) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes et à coefficients dans 𝕂. Lorsque n = m, on utilise également la notation M_n(𝕂). On note GL_n(𝕂) l'ensemble des matrices inversibles de M_n(𝕂). La matrice diagonale de M_n(𝕂) dont les coefficients diagonaux valent 1 est notée I_n. L'ensemble des valeurs propres complexes d'une matrice carrée A est noté SpA. Le polynôme det(A − XI_n) est appelé puiynôme caractéristique de A.
On identifie une matrice A ∈ M_(n, m)(𝕂) à l'application linéaire de matrice A par rapport aux bases canoniques de 𝕂^m et de 𝕂^n.
Si A ∈ M_(n, m)(𝕂) a pour coefficients a_(ij), la matrice B ∈ M_(m, n)(𝕂) de coefficients b_(ij) = a_(ji) pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n est appelée transposée de A, et notée ^t A. On identifie un vecteur colonne (resp. ligne) de ℝ^n à une matrice de M_(n, 1)(ℝ) (resp. M_(1, n)(ℝ) ). En particulier, pour x ∈ ℝ^n, la notation ^t x désigne le vecteur ligne de mêmes composantes que x. Par conséquent, on a (x|y) = ^t yx pour tout couple (x, y) d'éléments de ℝ^n.
On appelle norme matricielle une norme ‖ ⋅ ‖ ⋅ ‖ sur M_n(𝕂) telle que
∀(A, B) ∈ M_n(𝕂) × M_n(𝕂), ‖AB‖‖ ≤ ‖A‖‖‖|B‖‖.

I. Exponentielles de matrices

  1. Donner un exemple de norme matricielle sur M_n(ℂ).
  2. On suppose désormais que M_n(ℂ) est muni d'une norme matricielle ‖‖ ⋅ ‖. Soit A ∈ M_n(ℂ). Pour p ∈ ℕ, on pose S_p = ∑_(k = 0)^p(A^k)/(k!).
    (a) Montrer que pour tout couple (p, m) ∈ ℕ^2 tel que p > m, on a
‖S_p − S_m‖ ≤ ∑_(k = m + 1)^p(‖A‖^k)/(k!)
(b) En déduire que la suite (S_p)_(p ∈ ℕ) converge dans M_n(ℂ). On notera e^A la limite de cette suite.
(c) Vérifier que A et e^A commutent, et que ^t(e^A) = e^(t_A).
3. On suppose que A est diagonalisable. Montrer que e^A est diagonalisable et déterminer Spe^A en fonction de SpA.
4. Soit x ∈ ℂ^n. Pour t ∈ ℝ, on pose Φ(t) = e^(tA)x.
(a) Montrer que Φ est une fonction de classe C^1 sur ℝ et vérifie l'équation différentielle
X^′ = AX
avec condition initiale X(0) = x.
(b) Plus généralement, montrer que si f ∈ C(ℝ; ℂ^n) alors
Ψ : {ℝ, ⟶, ℂ^n; t, ⟼, e^(tA)(x + ∫_0^t e^(− τA)f(τ)dτ)
est l'unique solution de classe C^1 de
X^′ = AX + f(t), X(0) = x
  1. Dans cette question, on suppose que A est diagonalisable. On dit qu'une solution Φ de (1) est asymptotiquement stable si Φ tend vers 0 en + ∞.
Montrer que toutes les solutions de (1) sont asymptotiquement stables si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes à partie réelle strictement négative.

II. Commandabilité

Dans cette partie, on se donne une paire ( A, B ) constituée d'une matrice carrée A ∈ M_n(ℝ) et d'une matrice B ∈ M_(n, m)(ℝ) (avec éventuellement m ≠ n ). À cette paire, on associe une famille d'équations différentielles :
X^′ = AX + Bu(t)
où la fonction (a priori inconnue) u appartient à C(ℝ; ℝ^m). Cette fonction u est appelée contrôle.
On s'intéresse au problème de commandabilité associé à la paire ( A, B ). Plus précisément, étant donné un temps T > 0 et un vecteur x_T ∈ ℝ^n, on cherche à déterminer s'il existe un contrôle u ∈ C(ℝ; ℝ^m) tel que l'unique solution Φ ∈ C^1(ℝ; ℝ^n) de (C) nulle en 0 vérifie Φ(T) = x_T. Si un tel contrôle existe, on dit que l'état x_T est atteignable en temps T. On note A_T l'ensemble des états atteignables en temps T.
6. Montrer que A_T est un sous-espace vectoriel de ℝ^n.
7. Soit x_T ∈ A_T et u un contrôle amenant l'état nul à t = 0 à l'état x_T au temps T. Montrer que l'on a
x_T = ∫_0^T e^((T − s)A)Bu(s)ds
  1. Soit C ∈ M_(n, mn)(ℝ) la matrice par blocs définie par
C = (BAB, A^2 B, ⋯, A^(n − 1)B).
On note ImC = {CZ/Z ∈ ℝ^(mn)}.
(a) Montrer que pour tout k ∈ ℕ, la matrice A^k est combinaison linéaire de la famille (I_n, A, ⋯, A^(n − 1)).
(b) En déduire que A_T ⊂ ImC.
9. On rappelle que si F ⊂ ℝ^n, alors F^⊥ désigne {x ∈ ℝ^n/∀y ∈ F, (x|y) = 0}.
(a) Soit y ∈ A_(T¯)^⊥. Montrer que
∫_0^T t_y e^((T − s)A)B^t Be^((T − s)^t A)yds = 0
(b) En déduire que y ∈ (ImC)^⊥ puis comparer A_T et ImC.
(c) L'ensemble A_T dépend-il de T ?
10. On dit que la paire ( A, B ) est commandable en temps T si tout état est atteignable en temps T (i.e. A_T = ℝ^n ).
(a) Montrer que la paire (A, B) est commandable si et seulement si le rang de C est n.
(b) En déduire qu'une paire commandable en temps T est aussi commandable en temps T^′ pour tout T^′ > 0.
(c) Donner un exemple de paire non commandable.
11. On pose D = ∫_0^T e^((T − s)A)B^t Be^((T − s)^t A)ds.
(a) Montrer que D est une matrice carrée symétrique de taille n, et que ImD ⊂ A_T.
(b) Montrer que KerD ⊂ A_T^⊥.
(c) Montrer que, pour toute matrice symétrique M, on a (ImM)^⊥ ⊂ KerM.
(d) En déduire que A_T = ImD.
12. Dans toute cette question, on suppose que la paire (A, B) est commandable.
(a) Justifier l'inversibilité de D.
(b) Soit x_T ∈ ℝ^n. Pour s ∈ ℝ, on pose v(s) = ^t Be^((T − s)^t A)D^(− 1)x_T. Montrer que le contrôle v envoie l'état nul à t = 0 sur l'état x_T au temps t = T.
(c) Montrer que pour tout contrôle u ∈ C(ℝ; ℝ^m) transformant l'état nul à t = 0 en l'état x_T au temps T, on a
∫_0^T(v(s)|(u(s) − v(s))ds = 0
(d) En déduire que le contrôle v est celui qui minimise l'énergie : pour tout contrôle u ∈ C(ℝ; ℝ^m) amenant 0 à x_T en temps T, on a
∫_0^T‖u(s)‖^2 ds ≥ ∫_0^T‖v(s)‖^2 ds
avec égalité si et seulement si u = v.
13. Application : on s'intéresse à l'équation différentielle scalaire suivante
x^(′′) + 2λx^′ + ω_0^2 x = ω_0^2 u(t)
où ω_0 ∈ ]0, + ∞[ et λ ∈ ℝ sont deux paramètres donnés, et u ∈ C(ℝ; ℝ).
(a) Résoudre (H) dans le cas u = 0 et λ ∈ [0, ω_0[.
(b) Trouver une paire ( A, B ) telle que ( H ) puisse s'écrire comme un système de commande de type
( H^′ )
X^′(t) = AX + Bu(t)
(c) La paire ( A, B ) est-elle commandable?

III. Stabilisation par retour d'état

Dans cette partie, on s'intéresse aux contrôles dépendant linéairement de la solution X. Plus précisément, on suppose que u = KX où K ∈ M_(m, n)(ℝ). De tels contrôles sont appelés retours d'état (en anglais feedbacks).
On cherche à déterminer s'il existe une matrice K ∈ M_(m, n)(ℝ) telle que toute solution de
X^′ = AX + B(KX)
soit asymptotiquement stable. Une paire ( A, B ) vérifiant cette propriété est dite stabilisable.
14. Montrer que pour tout couple (λ, ω_0) ∈ ℝ^2 tel que ω_0 > 0, la paire associée à l'équation différentielle ( H^′ ) définie dans la question 13 est stabilisable.
15. Dans le cas λ = 0, peut-on trouver un réel k tel que toute solution de (H^′) avec u(t) = kx(t) soit asymptotiquement stable?
16. On dit que la paire (A, B) est conjuguée à la paire (A˜, B˜) s'il existe P ∈ GL_n(ℝ) telle que A˜ = P^(− 1)AP et B˜ = P^(− 1)B. Montrer que la paire ( A, B ) est commandable si et seulement si la paire ( A˜, B˜ ) l'est.
17. Dans toute cette question, on suppose que m = 1 et que ( A, B ) est commandable. On identifie B au vecteur b = (b_1, ⋯, b_n).
(a) Vérifier que la famille de vecteurs ( b, Ab⋯, A^(n − 1)b ) engendre ℝ^n et qu'il existe (a_0, ⋯, a_(n − 1)) ∈ ℝ^n tel que
A^n b = a_0 b + ⋯ + a_(n − 1)A^(n − 1)b
(b) On pose f_n = b et l'on définit ( f_(n − 1), ⋯, f_1 ) par la relation de récurrence f_j = Af_(j + 1) − a_j f_n pour 1 ≤ j ≤ n − 1. Montrer que ( f_1, ⋯, f_n ) est une base de ℝ^n.
(c) En déduire que la paire (A, B) est conjuguée à la paire ( A˜, B˜ ) suivante :
A˜ = (0, 1, 0, ⋯, 0; ⋮, 0, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, 0, ⋯, 0, 1; a_0, a_1, ⋯, a_(n − 2), a_(n − 1)) et B˜ = (0; ⋮; ⋮; 0; 1)
(d) Soit F ∈ ℝ[X] un polynôme de degré n et de cafficient dominant (-1). Montrer qu'il existe K˜ ∈ M_(1, n)(ℝ) tel que F soit le polynôme caractéristique de la matrice A˜ + B˜K˜.
(e) En déduire l'existence de K ∈ M_(1, n)(ℝ) tel que F soit le polynôme caractéristique de la matrice A + BK.
18. Dans le cas m = 1, montrer que ( A, B ) commandable entraîne ( A, B ) stabilisable.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths PSI x-ens 2005 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths PSI x-ens 2005 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire (exponentielle de matrices, diagonalisation, sous-espaces stables) appliquée à la théorie du contrôle des systèmes linéaires : commandabilité et stabilisation.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est progressif : la partie II réutilise l'exponentielle de matrice définie en partie I, et la partie III s'appuie sur les résultats de commandabilité établis en partie II.

Qu'est-ce que la commandabilité étudiée dans la partie II ?

C'est la propriété d'un système de contrôle X'=AX+Bu(t) selon laquelle tout état de l'espace peut être atteint en un temps donné en choisissant convenablement le contrôle u, caractérisée ici par un critère de rang sur une matrice construite à partir de A et B.

Quel est le lien entre commandabilité et stabilisation dans ce sujet ?

Le sujet montre que, dans le cas d'un contrôle scalaire, une paire commandable peut toujours être stabilisée par un retour d'état linéaire, en construisant une base dans laquelle le système prend une forme compagnon facile à manipuler.

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