WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques PSI 2004Sujet

Pas encore noté
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2004FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales X-ENS PSI MathématiquesX-ENS PSI 2004PSI MathématiquesMathématiques 2004

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Lire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Série entière liée à une fonction de Bessel et ensembles de Besicovitch d'aire arbitrairement petite
Afficher ou masquer la section

L'épreuve comprend deux problèmes indépendants. Le premier étudie la série de fonctions de terme général x^n/(n!)^2, établit sa régularité, puis calcule un équivalent de sa somme en l'infini par une méthode de coefficients de Fourier et de phase stationnaire. Le second construit des ensembles de Besicovitch, des parties du plan contenant un segment unité dans toutes les directions de pente comprise entre 0 et 1, et démontre qu'on peut en construire d'aire arbitrairement petite, en combinant une construction explicite par écriture en base N et un calcul d'aire par intégration.

  1. 1Problème I : équivalent d'une série entière liée à une fonction de BesselÉtudier la régularité de la somme d'une série entière, sa limite en l'infini, puis établir par une méthode de coefficients de Fourier et une intégrale de type gaussien un équivalent de cette somme quand la variable tend vers l'infini.
  2. 2Problème II, Partie 1 : construction d'ensembles de BesicovitchConstruire, à partir de l'écriture en base N des rationnels, une famille d'ensembles de Besicovitch (contenant un segment de chaque pente entre 0 et 1) obtenus comme réunion de bandes fines autour de segments explicites.
  3. 3Problème II, Partie 2 : partition des pentesÉtudier une relation d'équivalence sur l'ensemble des pentes considérées, dénombrer ses classes et majorer l'écart entre segments de pentes équivalentes.
  4. 4Problème II, Partie 3 : calcul de l'aireMajorer la mesure de l'intersection de l'ensemble construit avec une droite verticale, en déduire une majoration de son aire, et montrer que celle-ci tend vers zéro quand le paramètre N tend vers l'infini.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

L'usage de toute calculatrice est interdit

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants que les candidats peuvent traiter dans l'ordre de leur choix.

Problème I

On se propose d'étudier la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)(x^n)/((n!)^2), où x ∈ ℝ; on rappelle que ∫_0^(+ ∞)exp(− (x^2)/2)dx = √(π/2) et que par convention 0! = 1.
I.1/ Montrer que la série est bien définie pour tout x ∈ ℝ. On note f(x) sa somme. Montrer que f est une fonction de classe C^1.
I.2/ Quelle est la limite en x = + ∞ de f(x) ?
On se propose de calculer un équivalent de f(x) lorsque x → + ∞. On introduit la fonction
g_x(θ) = ∑_(n ≥ 0)(x^n)/(n!)e^(inθ)
I.3/ Montrer que g_x(θ) est bien définie comme fonction de θ, périodique et de classe C^1 et donner une expression explicite de g_x(θ) comme fonction de z = xe^(iθ).
I.4/ Calculer les coefficients de Fourier de g_x(θ) et en déduire que
1/(2π)∫_0^(2π)|g_x(θ)|^2 dθ = f(x^2)
I.5/ Étudier la convergence de la suite (|g_p|^2)_(p ∈ ℕ) de fonctions de θ lorsque θ ∈ ]π/2, (3π)/2[, et en déduire que
lim_(x → + ∞)∫_(π/2)^(3π/2)|g_x(θ)|^2 dθ = 0
I.6/ Montrer que, pour x > 0,
∫_0^(π/2)e^(2xcosθ)dθ = (e^(2x))/(√x)∫_0^(2√x)(e^(− (u^2)/2))/(√(2 − (u^2)/(4x)))du
On prendra garde de justifier l'existence des diverses intégrales rencontrées dans le calcul.
I. 7/ Montrer que si 0 ≤ λ ≤ 1/2, alors
|1/(√(1 − λ)) − 1| ≤ λ√2
et en déduire que pour x → + ∞,
∫_0^(π/2)e^(2xcosθ)dθ ∼ (e^(2x))/(√x)∫_0^(2√x)(e^(− (u^2)/2))/(√2)du
puis que
∫_0^(π/2)e^(2xcosθ)dθ ∼ (e^(2x))/(√x)∫_0^(+ ∞)(e^(− (u^2)/2))/(√2)du
Quel est donc un équivalent de f(x) lorsque x → + ∞ ?

Problème II

Ensembles de Besicovitch

On considère la bande D du plan ℝ^2 définie par x ∈ [0, 1], où ( x, y ) sont les coordonnées d'un point dans le repère orthonormé usuel. On appelle ensemble de Besicovitch toute partie K de D ayant la propriété suivante : pour tout réel p ∈ [0, 1] (la pente), K contient un segment de droite, rejoignant le côté gauche de la bande ( x = 0 ) à son côté droit ( x = 1 ), et ayant p pour pente. Autrement dit,
∀p ∈ [0, 1], ∃b ∈ ℝ, ∀x ∈ [0, 1], (x, px + b) ∈ K
On va montrer qu'il existe des ensembles de Besicovitch dont l'aire est aussi petite que l'on veut.
L'ensemble des notations introduites dans chaque partie est conservé pour les parties suivantes.
On se donne N ∈ ℕ, avec N ≥ 2.

Première partie : construction

II.1/ Montrer que la partie T définie par T = {(x, y), x ∈ [0, 1], x ≥ y ≥ 0} est un ensemble de Besicovitch. Quelle est son aire?
II.2/ Soient q_1, q_2, ⋯, q_N ∈ {0, 1, ⋯, N − 1} des nombres entiers, et notons q ∈ ℚ le nombre rationnel défini par
q = ∑_(k = 1)^N(q_k)/(N^k)
a) Montrer que q ∈ [0, 1[.
b) Montrer que si r_1, r_2, ⋯, r_N ∈ {0, 1, ⋯, N − 1} sont tels que
∑_(k = 1)^N(r_k)/(N^k) = ∑_(k = 1)^N(q_k)/(N^k)
alors ∀k ∈ {1, ⋯, N}, r_k = q_k.
c) A q on associe la fonction l_q de [0, 1] dans ℝ,
l_q(x) = ∑_(k = 1)^N(q_k(Nx − k + 1))/(N^(k + 1))
On définit le segment L_q comme l'ensemble {(x, l_q(x)), x ∈ [0, 1]} de ℝ^2. Quelle est la pente de L_q ?
II.3/ Soit δ ∈ [0, 1]. On considère la bande B_q^δ, définie par
(x, y) ∈ B_q^δ ⟺ x ∈ [0, 1], |y − l_q(x)| ≤ δ.
a) Montrer que B_q^δ est contenue dans une partie compacte de D indépendante de δ et de q.
b) Montrer que B_q^δ contient un segment de pente p pour tous les p dans l'intervalle [q − 2δ, q + 2δ].
II.4/ On appelle Q_N l'ensemble des nombres q qui s'écrivent de la forme décrite dans la question II. 2 :
q ∈ Q_N ⟺ ∃q_1, q_2, ⋯, q_N ∈ {0, 1, ⋯, N − 1}, q = ∑_(k = 1)^N(q_k)/(N^k)
(C'est l'ensemble des nombres de [0, 1[ dont la représentation en base N n'a pas plus de N "chiffres".)
On fixe δ = N^(− N) et l'on définit alors l'ensemble K_N = ∪ _(q ∈ Q_N)B_q^δ.
a) On fixe N = 2. Représenter graphiquement l'ensemble K_2 et montrer qu'il s'agit d'un ensemble de Besicovitch.
b) On revient au cas général, N ∈ ℕ, N ≥ 2, montrer que K_N est un ensemble de Besicovitch.

Deuxième partie : partition des pentes

Soit m ∈ {1, ⋯, N} un entier, et R_m la relation définie sur Q_N par
qR_m q~ ⟺ ∀k ≤ m − 1, q_k = q~_k.
II.5/ Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence et en déduire une partition de l'ensemble Q_N.
II.6/ Caractériser les classes d'équivalence de R_m et montrer qu'il y en a N^(m − 1). Quel est le cardinal de chacune?
II.7/ Montrer que si deux nombres q et q~ de Q_N sont équivalents pour la relation R_m, alors, si x ∈ [(m − 1)/N, m/N] on a
|l_q(x) − l_(q~)(x)| ≤ ∑_(k = m)^N((k − m + 1)|q_k − q~_k|)/(N^(k + 1))
En déduire que
|l_q(x) − l_(q~)(x)| ≤ C/(N^m)
où C est une constante indépendante de x, m, q, q~, N.
II.8/ Soit x_0 ∈ [0, 1] et A_(x_0) = {l_q(x_0), q ∈ Q_N}. Montrer qu'il existe un entier m ∈ {1, ⋯, N} tel que A_(x_0) soit contenu dans la réunion de N^(m − 1) intervalles de ℝ (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus CN^(− m).

Troisième partie : calcul de l'aire

II.9/ On conserve x_0 ∈ [0, 1] fixé.
a) On appelle D_(x_0) la droite d'équation x = x_0, et on considère son intersection avec une bande B_q^δ de l'ensemble K_N. Montrer que cette intersection est un intervalle de longueur 2δ. On notera par la suite t_(x_0)^q la fonction caractéristique de cet intervalle.
b) Montrer qu'il existe m ∈ {1, ⋯, N} tel que l'ensemble K_N ∩ D_(x_0) est contenu dans la réunion de N^(m − 1) intervalles (non nécessairement disjoints), chacun de longueur au plus CN^(− m) + 2N^(− N) (un dessin pourra utilement guider le raisonnement).
II.10/ On appelle t_(x_0) la fonction caractéristique de l'ensemble K_N ∩ D_(x_0). Montrer que
t_(x_0)(y) = sup_(q ∈ Q_N)t_(x_0)^q(y)
et en déduire qu'il existe (a, b) ∈ ℝ^2, avec a < b tel que pour tout y ∈ ℝ on a
0 ≤ t_(x_0)(y) ≤ χ_([a, b])(y)
où χ_([a, b]) est la fonction caractéristique de l'intervalle [a, b]. Retrouver ainsi le résultat de la question II.3.a.
II.11/ On définit alors
h(x_0) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)t_(x_0)(y)dy
a) Montrer que h(x_0) est bien définie.
b) Que représente géométriquement h(x_0) ?
c) Montrer que h(x_0) ≤ (C + 2)/N.
II.12/ On admet que la fonction h(x) définie pour x ∈ [0, 1] est affine par morceaux. En déduire que A_N = ∫_0^1 h(x)dx est bien définie. Expliquer brièvement pourquoi il s'agit de l'aire de K_N.
II.13/ Montrer que lim_(N → + ∞)A_N = 0.
Pourquoi l'ensemble K_N est-il une réponse au problème initialement posé?
II.14/En déduire qu'il existe dans le plan des ensembles contenant un segment de longueur au moins 1 dans toutes les directions et dont l'aire est aussi petite que l'on veut.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X-ENS PSI 2004 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X-ENS PSI 2004 ?

Le premier problème porte sur les séries de fonctions, les coefficients de Fourier et les équivalents d'intégrales ; le second porte sur la construction géométrique d'ensembles du plan (ensembles de Besicovitch) et le calcul de leur aire.

Les deux problèmes de ce sujet sont-ils indépendants ?

Oui, l'énoncé précise que les deux problèmes sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre choisi par le candidat.

Qu'est-ce qu'un ensemble de Besicovitch, étudié dans le second problème ?

C'est une partie du plan qui contient, pour chaque pente entre 0 et 1, un segment de longueur 1 traversant la bande étudiée avec cette pente ; le problème montre qu'on peut en construire d'aire aussi petite que l'on veut.

Ce sujet utilise-t-il les séries de Fourier ?

Oui, le premier problème calcule les coefficients de Fourier d'une fonction auxiliaire pour établir un équivalent de la série entière étudiée.

Pas de description pour le moment