Centrale Mathématiques 2 PSI 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout ce problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension d ≥ 1. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté (u|v), la norme du vecteur u est notée ‖u‖.
L'espace des endomorphismes de E est noté L(E). Le composé de deux éléments f et g de L(E) est noté indifféremment fg ou f o g et l'identité I_E. L'adjoint de f est noté f^∗; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante :

Si f est un élément de L(E), Tr(f) désigne la trace de f. Le composé de p exemplaires de f est noté f^p (avec, par convention, f^0 = I_E ). Si F est un sous espace de E stable par f, l'endomorphisme induit par f sur F est noté f_F.
On notera S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints) de E et S^+(E) le sous ensemble de S(E) constitué des endomorphismes symétriques dont les valeurs propres sont positives.
On rappelle que, si t ↦ x(t) est une application de ℝ dans E et (e) = ( e_1, e_2, …, e_d ) une base de E, par rapport à laquelle les coordonnées de x(t) sont x_1(t), x_2(t), …, x_d(t) :

alors x est de classe C^k sur ℝ, si et seulement si, pour tout entier i ∈ {1, 2, …, d} l'application t ↦ x_i(t) est une application de classe C^k de ℝ dans ℝ.
Soit f un élément de L(E) et x_0 un élément de E. On considère l'équation

dont l'inconnue x est la fonction t ↦ x(t) de classe C^1 de ℝ dans E.
On rappelle que, pour tout x_0 de E, il existe une unique solution de 𝒫(f, x_0). On l'appelle f-trajectoire de x_0.

Afin d'alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d'une trajectoire x concerne en réalité l'ensemble x(ℝ) = {x(t)|t ∈ ℝ}; par exemple, on dira que la trajectoire x est un cercle si x(ℝ) est un cercle.
On désigne par B(E) l'ensemble des f, éléments de L(E), tels que toutes les f-trajectoires sont bornées, c'est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de x_0, il existe un réel M ≥ 0, dépendant de x_0, pour lequel on a :

si x désigne la f-trajectoire de x_0.
De même, on note SP(E) l'ensemble des f, éléments de L(E), tels que toutes les f-trajectoires sont sphériques, c'est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de x_0, il existe un élément γ ∈ E et un réel r ≥ 0, dépendants de x_0, pour lesquels on a:

si x désigne la f-trajectoire de x_0.
L'objectif du problème est de caractériser les ensembles B(E) et SP(E).

I.A - Soit F un sous-espace de E, stable par f. Montrer que si x_0 ∈ F, la f-trajectoire de x_0 est contenue dans F.
I.B - Soit f un élément de L(E), x_0 un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ et x la f-trajectoire de x_0. Exprimer x(t) en fonction de x_0, λ, t.
I.C - Soit f un élément de L(E), x_0 un élément de Kerf^2 n'appartenant pas à Ker f et x la f-trajectoire de x_0. Exprimer x(t) en fonction de x_0, f(x_0), t et préciser la nature géométrique de cette trajectoire.
I.D - Soit f un élément de L(E), x_0 un élément de E − {0}. On suppose qu'il existe un réel φ n'appartenant pas à πℤ et un réel k strictement positif tels que

On note t ↦ x(t) la f-trajectoire de x_0.
I.D.1) Montrer que la famille ( x_0, f(x_0) ) est libre et justifier l'existence de deux applications u et v de ℝ dans E, telles que

I.D.2) Montrer que u et v sont de classe C^2. Former une équation différentielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u. En déduire l'expression de u.
I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cosφ = 0. Dans ce cas, décrire géométriquement la f-trajectoire x. À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle?
I.E - Soit k un réel strictement positif, f un élément de L(E), g = f^2 + k^2 I_E et x_0 un élément de Kerg^2. On désigne par G la famille

I.E.1) Montrer que F = vect(G) est stable par f.
I.E.2) Montrer que G est libre si et seulement si g(x_0) ≠ 0.
I.E.3) On suppose que g(x_0) ≠ 0. Montrer que la f-trajectoire de x_0 peut s'écrire sous la forme :

Déterminer u(t), v(t), puis w(t), puis h(t). Montrer que cette trajectoire n'est pas bornée.

Dans les questions II.A à II.D incluses, f désigne un endomorphisme de E tel que toutes les f-trajectoires sont bornées: f ∈ B(E).
II.A - Soit λ une valeur propre réelle de f. Montrer que λ = 0.
II.B - Montrer que Kerf = Kerf^2 et E = Imf ⊕ Kerf.
II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule f. Démontrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de ℝ[X] annulant f.
Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté P.
II.C.1) Soit Q(Q ∈ ℝ[X]) un diviseur non constant de P. Montrer que Q(f) ne peut être inversible.
II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle λ. Montrer que λ = 0 et, en s'aidant de la question II.B, que l'ordre de multiplicité de cette racine dans P est égal à 1 .
II.C.3) Que dire de f si P est scindé sur ℝ ?
II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe λ non réelle. On écrit λ sous forme trigonométrique : λ = ke^(iφ), avec k et φ réels, k > 0 et φ n'appartenant pas à πℤ. Démontrer qu'il existe un vecteur x_0 ≠ 0 tel que: (f^2 − 2k(cosφ)f + k^2 I_E)(x_0) = 0. En déduire la valeur de cosφ. Qu'en conclure sur les racines non réelles de P ?
II.C.5) Soit k > 0, montrer que Ker(f^2 + k^2 I_E)^2 = Ker(f^2 + k^2 I_E).
II.C.6) On suppose f ≠ 0; démontrer qu'il existe un entier s ≥ 1 et des réels a_1, a_2, …, a_s strictement positifs et distincts tels que P soit de l'une ou l'autre des deux formes suivantes :

II.D - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :
i) L'endomorphisme f^2 est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls.
ii) rgf = rgf^2.

Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de f^2 associés à ses valeurs propres strictement négatives sont paires.
II.E - Réciproquement soit f un élément de L(E), non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l'existence d'un entier s strictement positif, de s sous-espaces E_1, E_2, …, E_s tous non réduits à {0}, de dimensions paires et stables par f et de s réels a_1, a_2, …, a_s, strictement positifs et distincts, tels que :
Kerf ⊕ [⨁_(i = 1)^s E_i] = E
∀i ∈ {1, …, s}, ∀x ∈ E_i, f^2(x) = − a_i^2 x
Étudier la f-trajectoire d'un vecteur appartenant à l'un des E_i et en conclure que f ∈ B(E).

III.A.1) Soit f un élément de L(E). Prouver l'équivalence des deux propriétés suivantes :
a) f^∗ + f = 0
b) ∀u ∈ E, (u|f(u)) = 0.

Un endomorphisme vérifiant l'une de ces deux propriétés est appelé endomorphisme antisymétrique de E. L'ensemble de ces endomorphismes est noté A(E).
III.A.2) Soit f un élément de A(E) et x une f-trajectoire associée ; calculer la dérivée de la fonction t ↦ ‖x(t)‖^2. Montrer que A(E) ⊂ SP(E).
III.B - Soit f un élément de SP(E) et F un sous-espace de E stable par F. Montrer que f_F est élément de SP(F).
III.C - Montrer que SP(E) ⊂ B(E).
III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non nul de SP(E).
III.D.1) Démontrer que f^2 est une homothétie de rapport strictement négatif.
III.D.2) Soit x_0 un élément de E − {0} et a le centre d'un cercle contenant la f-trajectoire de x_0. Justifier que a peut s'écrire sous la forme αx_0 + βf(x_0) et prouver que (x_0|f(x_0)) = 0.
III.D.3) Prouver que A(E) = SP(E).
III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de dimension 3.
Soit ω un élément de E − {0} et v un vecteur de E orthogonal à ω. On définit l'endomorphisme ψ de E par ψ : u ↦ ω ∧ u + (u|ω)v.
III.E.1) Montrer que ψ est antisymétrique si et seulement si v = 0.
III.E.2) Montrer que si v est non nul, ψ appartient à SP(E).

On pourra commencer par prouver que pour tout x_0 de E, si x désigne la f-trajectoire de x_0, (x|ω) est constant et l'on cherchera le centre de la sphère sous la forme α(ω + ω ∧ v), où α est une constante à déterminer.
On se propose de prouver que tout endomorphisme f élément de SP(E), non nul est de la même forme que ψ.
III.E.3) Soit f un élément de SP(E) − {0}. Établir que f^2 n'admet qu'une seule valeur propre strictement négative, notée − μ^2 et que Imf = Ker(f^2 + μ^2 I_E).
III.E.4) En déduire l'existence d'une base orthonormée de E où la matrice de f est de la forme

et conclure.
III.F - On suppose, dans cette question, que f, élément de SP(E), vérifie f^2 = − μ^2 I_E où μ > 0. À l'aide des résultats des questions III.B et III.D, montrer que f est antisymétrique.
III.G - Démontrer que, dans le cas général, SP(E) est constitué des endomorphismes f ∈ L(E) qui vérifient les deux propriétés suivantes :
i) E = Kerf ⊕ Imf.
ii) L'endomorphisme induit par f sur Imf est antisymétrique.

Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de x_0 élément de E, le centre d'une sphère qui contient la f-trajectoire de x_0.