Centrale Mathématiques 2 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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MATHÉMATIQUES II

Rappels, notations et objectifs du problème

Dans tout ce problème,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

𝒰_n(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre

n

. De plus :

$𝒰_n$ désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre $n$ ;
si $A \in ℳ_n(ℂ)$ , on note $A_(i, j)$ le terme de $A$ situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$ ;
$pour(α, β) \in ℝ^2, M(α, β)$ est la matrice $[α, - β; β, α]$ ;
si $(α_1, \dots, α_p)$ et $(β_1, \dots, β_p)$ sont dans $ℝ^p$ , on désigne par $diag(M(α_1, β_1), M(α_2, β_2), \dots, M(α_p, β_p))$ la matrice de $ℳ_(2p)$ définie par blocs carrés d'ordre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux $M(α_1, β_1), M(α_2, β_2), \dots, M(α_p, β_p)$ ;
$I_n$ est la matrice unité $diag(1, \dots, 1)$ élément de $𝒰_n$ ;
On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice et leur codage :

opérations	codage
échange des lignes $i$ et $j$	$L_i \leftrightarrow L_j$
multiplication de la ligne $i$ par $α \neq 0$	$L_i \leftarrow αL_i$
ajout de la ligne $j$ , multipliée par le scalaire $λ$ , à la ligne $i(i \neq j)$	$L_i \leftarrow L_i + λL_j$

On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice.
Si

A \in ℳ_n

et si

E

est la matrice obtenue à partir de

I_n

par utilisation d'une opération élémentaire, alors

EA

(resp.

AE

) est la matrice obtenue à partir de

A

en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de

A

(on ne demande pas de démontrer ce résultat).

Filière PSI

On confond respectivement :

matrice et endomorphisme de $ℝ^n$ (resp. $ℂ^n$ ) canoniquement associé,
vecteur de $ℝ^n$ (resp. $ℂ^n$ ) et matrice colonne de ses coordonnées,
matrice de taille 1 et scalaire la constituant.

On rappelle qu'une symétrie

s

ℝ^n

est un automorphisme de

ℝ^n

vérifiant

s^2 = s \circ s = Id_(ℝ^n)

; il existe alors deux sous-espaces supplémentaires

E_1

E_2

tel que

s

soit la symétrie par rapport à

E_1

parallèlement à

E_2

, définie par :

s|_(E_1) = Id_(E_1) et s|_(E_2) = - Id_(E_2).

Préciser la symétrie

s

, c'est déterminer les sous-espaces

E_1

E_2

associés.
On note (

P_A

) la propriété :

(P_A)

A

ne possède pas de valeur propre réelle

Le but de ce problème est d'étudier des matrices de

𝒰_n

vérifiant la propriété

(P_A)

.
Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particuliers dans les parties I et II et un cas plus général dans la partie III.

Résultats préliminaires

On se propose de démontrer le résultat suivant : «deux matrices de $𝒰_n$ semblables dans $𝒰_n(ℂ)$ sont semblables dans $» 𝒰_n»$ . Soit donc $A$ et $B$ deux matrices de $𝒰_n$ semblables dans $𝒰_n(ℂ)$ et $P$ un élément de $GL_n(ℂ)$ tel que $A = PBP^(- 1)$ .
a) Montrer qu'il existe $R, J \in ℳ_n$ tels que $P = R + iJ$ avec $i^2 = - 1$ .
b) Montrer que, pour tout $t \in ℂ, A(R + tJ) = (R + tJ)B$ .
c) Montrer qu'il existe $t_0 \in ℝ$ tel que $det(R + t_0 J) \neq 0$ .
d) En déduire que $A$ et $B$ sont semblables dans $𝒰_n$ .

a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle.
b) En déduire que s'il existe une matrice

A

𝒰_n

vérifiant

(P_A)

, alors

n

est pair.

Dans toute la suite du problème, on suppose

n

pair et on note

n = 2p

avec

p \in ℕ∖{0}

Partie I -

I.A - Dans cette section I.A.1, on se place dans

ℝ^2

et on désigne par (

e_1, e_2

) la base canonique, avec

e_1 = (1, 0)

e_2 = (0, 1)

.
I.A.1) On considère la matrice

M(0, 1) = [0, - 1; 1, 0]

et on désigne par

u

l'endo-
morphisme associé. morphisme associé.
a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de

s_1

, symétrie par rapport à la droite

ℝe_1

parallèlement à la droite

ℝe_2

.
b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l'application

u \circ s_1

En déduire qu'il existe une symétrie

s_2

, qu'on précisera, telle que

u = s_2 \circ s_1

.
I.A.2) On considère la matrice

A = [2, - 5; 1, - 2]

.
a) Montrer que

A

est semblable à

M(0, 1)

et donner une matrice

P

ℳ_2

à coefficients entiers et de déterminant 1 telle que

M(0, 1) = P^(- 1)AP

.
b) Montrer que

A

est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on précisera.

Soit

α

β

des nombres réels tels que

β^2 - α^2 = 1

B = [α, - β; β, - α]

.
c) Montrer que

B

est semblable à

M(0, 1)

et donner une matrice

Q

𝒰_2

telle que

M(0, 1) = Q^(- 1)BQ

Indication : on pourra calculer

Be_1 = B[1; 0]

.
d) Montrer que

B

est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.

MATHÉMATIQUES II

I.A.3) On considère la matrice

M(α, β) = [α, - β; β, α]

où

α

β

sont des nombres
réels tel que

α^2 + β^2 = 1

. réels tel que

α^2 + β^2 = 1

.
Montrer que

M(α, β)

est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.
I.A.4) On considère à présent la matrice

M(α, β) = [α, - β; β, α]

où

α

β

sont des nombres réels tels que

α^2 + β^2 \neq 0

. Montrer que

M(α, β)

est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie.
I.A.5) Soit

A = [a, b; c, d]

appartenant à

𝒰_2

.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de

A

pour que (

P_A

) soit réalisée.
b) En supposant que

A

vérifie (

P_A

), et en étudiant la diagonalisation dans

ℳ_2(ℂ)

A

, montrer qu'il existe une unique matrice, semblable à

A

, du type

M(α, β)

avec

α

réel et

β

réel strictement positif. Expliciter

α

β

en fonction de

a, b, c

d

.
c) Que peut-on dire

dedet(A)

A

vérifie

(P_A)

et est dans

ℳ_2

?
d) Montrer que

A

est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie.
I.A.6) On suppose que

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. (

e_1, e_2

) est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphismes de matrice

M(α, β)

(avec

α

β

réels tels que

α^2 + β^2 \neq 0

) dans la base canonique?
I.B - Soit

B

une matrice de

𝒰_p

vérifiant

B^2 = I_p

. Soit

A

la matrice de

ℳ_n

définie par blocs sous la forme

A = [2B, - 5B; B, - 2B]

.
I.B.1)

Montrer que

B

est diagonalisable dans

ℳ_p

et qu'il existe une matrice

Q

𝒰_p

inversible, des entiers naturels

q

r

tels que

Q^(- 1)BQ

soit sous la forme d'une matrice par blocs

[I_q, 0; 0, - I_r]

On convient que cette matrice vaut

I_p

lorsque

r = 0

q = p

et qu'elle vaut

- I_p

lorsque

q = 0

r = p

.
I.B.2) Déterminer une matrice par blocs

P

𝒰_n

inversible et constituée de multiples de

I_p

telle que :

P^(- 1)AP = [0, - B; B, 0]

.
I.B.3) En déduire que

A

est semblable dans

𝒰_n

à la matrice

[0, [- I_q, 0; 0, I_r]; [I_q, 0; 0, - I_r], 0]

I.B.4) Montrer alors que

A

est semblable dans

ℳ_n

à une matrice du type

diag(M(0, 1), M(0, 1), \dots, M(0, 1))

.
I.B.5) Exemple : on considère dans

𝒰_4

la matrice

A = [4, 6, - 10, - 15; - 2, - 4, 5, 10; 2, 3, - 4, - 6; - 1, - 2, 2, 4]

a) Déterminer une matrice inversible

M

ℳ_4

telle que

M^(- 1)AM = diag(M(0, 1), M(0, 1))

b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que

A

est la matrice, dans la base canonique de

ℝ^4

de la composée de deux symétries qu'on précisera.

Partie II -

II.A - Dans cette question,

A

désigne une matrice de

ℳ_n

telle que

A^2 = - I_n

.
II.A.1) Montrer que (

P_A

) est réalisée.
II.A.2) Si

E

est obtenue à partir de

I_n

par utilisation d'une opération élémentaire, comment déduit-on

EAE^(- 1)

A

?
On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :
a)

L_i \leftrightarrow L_j

,
b)

L_i \leftarrow αL_i

avec

α \in ℝ^*

,
c)

L_i \leftarrow L_i + λL_j

avec

λ \in ℝ

.
II.A.3)
a) En utilisant II.A.1, montrer qu'il existe

i \geq 2

tel que

A_(i, 1) \neq 0

.
b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe

P \in ℳ_n

inversible telle que si

A^' = PAP^(- 1)

alors

A^'_(i, 1) = 0

i \neq 2

A^'_(2, 1) = 1

.
c) Montrer alors que

A^'_(i, 2) = 0

i \neq 1

A^'_(1, 2) = - 1

.
II.A.4) Montrer qu'il existe

Q \in ℳ_n

inversible telle que

QA^' Q^(- 1)

soit de la forme par blocs

[M(0, 1), 0; 0, B]

avec

B \in ℳ_(n - 2)

.
II.A.5) Montrer que

A

est semblable à une matrice du type

diag(M(0, 1), M(0, 1), \dots, M(0, 1))

.
II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice

M

inversible de

ℳ_4

telle que

MAM^(- 1) = diag(M(0, 1), M(0, 1))

où

A

est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées.
II.B - Dans cette question

A

est une matrice de

𝒰_n

vérifiant

(A - αI_n)^2 + β^2 I_n = 0

avec

(α, β) \in ℝ \times ℝ^*

.
II.B.1) Montrer que

A

vérifie (

P_A

).
II.B.2) Montrer que

A

est semblable à la matrice d'ordre

ndiag(M(α, β), M(α, β), \dots, M(α, β))

.
Que peut-on dire

dedet(A)

?
II.C - Soit

u

l'endomorphisme de

ℝ_(n - 1)[X]

défini par : pour tout polynôme

P

ℝ_(n - 1)[X], u(P)

vérifie :

\forallx \in ℝ^*, u(P)(x) = x^(n - 1)P((- 1)/x)

II.C.1) Déterminer pour quelles valeurs de

i

j

dans

{0, \dots, n - 1}

, le plan

vect(X^i, X^j)

est stable par

u

.
II.C.2) En déduire que la matrice

A

ℳ_n

telle que

A_(n + 1 - i, i) = (- 1)^(i - 1)

1 \leq i \leq n

, les autres coefficients de

A

étant nuls, est semblable à

diag(M(0, 1), M(0, 1), \dots, M(0, 1))

Partie III -

Dans toute cette partie,

A

désigne une matrice de

ℳ_n

vérifiant

(P_A)

.
On se propose de montrer l'équivalence entre les trois propositions suivantes :
i)

A

est semblable à une matrice du type

diag(M(α_1, β_1), M(α_2, β_2), \dots, M(α_p, β_p)) avec (α_k, β_k) \in ℝ \times ℝ_+^* pour 1 \leq k \leq p.

ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé par

A

.
iii) Tout sous-espace vectoriel de

ℝ^n

de dimension 2 stable par

A

possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par

A

.
III.A - Dans cette section III.A, on montre que (i)

\Rightarrow

(ii).
III.A.1) Montrer que si

(α, β) \in ℝ \times ℝ^*

, le polynôme

(X - α)^2 + β^2

ne possède que des racines simples complexes non réelles.
III.A.2) En déduire que (i)

\Rightarrow

(ii).
III.B - Dans cette section III.B, on montre que (ii)

\Rightarrow

(iii).

On suppose donc que

A

vérifie (ii). Soit

E

un sous-espace vectoriel de

ℝ^n

de dimension 2 et stable par

A

. Soit (

f_1, f_2

) une base

E

que l'on complète en une base (

f_1, f_2, \dots, f_n

) de

ℝ^n

.
III.B.1) Montrer que dans la base (

f_1, f_2, \dots, f_n

) de

ℝ^n

, l'endomorphisme canoniquement associé à

A

a une matrice s'écrivant par blocs :

[A^', B; 0, C] avec A^' \in 𝒪_2.

III.B.2) Vérifier que

A^'

ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que

A^'

est semblable à une matrice du type

M(α, β)

avec

(α, β) \in ℝ \times ℝ^*

.
III.B.3) Montrer que

E

est inclus dans

Ker((A - αI_n)^2 + β^2 I_n)

.
III.B.4) Montrer que

Ker((A - αI_n)^2 + β^2 I_n)

possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par

A

dans

ℝ^n

.
III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A. 3 et II.A.4, montrer que

E

possède un supplémentaire stable par

A

dans

Ker((A - αI_n)^2 + β^2 I_n)

, puis conclure que iii) est réalisé.
III.C - En raisonnant par récurrence, montrer que (iii)

\Rightarrow

(i).

III.D - Exemple :

Soit

A = [- 1, - 2, 4, 0; 1, - 3, 0, 4; - 2, 0, 5, - 2; 0, - 2, 1, 3]

En admettant que

A

annule

(X^2 + 1)(X^2 - 4X + 5)

, déterminer une matrice inversible

M

𝒰_4

et des réels

α, β, α^'

β^'

tels que

A = M[M(α, β), 0; 0, M(α^', β^')]M^(- 1).

-••FIN •••

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