Centrale Mathématiques 2 PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury
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DifficileRéduction des endomorphismes nilpotents : décomposition de type Jordan, racines carrées et partitions d'entiersAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileRéduction des endomorphismes nilpotents : décomposition de type Jordan, racines carrées et partitions d'entiers
Le problème porte uniquement sur l'algèbre linéaire. Il établit une décomposition de type Jordan des endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel complexe, d'abord dans des cas particuliers puis en général. Il en tire des applications : racines carrées de matrices nilpotentes, similitude de M, 2M et de sa transposée, lien avec le nombre de partitions d'un entier et un algorithme Python.
- 1Partie I : premiers résultatsNilpotents d'indice 2 en dimension 2 puis n, valeurs propres, polynôme caractéristique et polynômes annulateurs d'une matrice nilpotente, racines carrées de matrices nilpotentes.
- 2Partie II.A : réduction des matrices nilpotentesSous-espaces cycliques et décomposition de l'espace en somme directe par récurrence sur l'indice de nilpotence.
- 3Parties II.B et II.C : partitions d'entiers et applicationsUnicité de la partition associée à un nilpotent via les rangs des puissances, puis similitude de M, 2M et de sa transposée.
- 4Partie II.D : calcul du nombre de partitionsRelation de récurrence sur le nombre de partitions, tableau de valeurs et fonction Python.
Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long et juge les résultats assez décevants, la compréhension des notions restant souvent superficielle.
L'épreuve en chiffres
Moyenne 9,39 / 20 · écart-type 3,52 · 3 827 présents · où vous situez-vous ?Afficher ou masquer la section
L'épreuve en chiffres
Moyenne 9,39 / 20 · écart-type 3,52 · 3 827 présents · où vous situez-vous ?
- Moyenne
- 9,39/ 20
- Écart-type
- 3,52
- Présents
- 3 827
- Durée
- 4 h
- 1er quartile
- 6,7
- Médiane
- 8,9
- 3e quartile
- 11,6
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesFamille libre et nature des objets · Complémentaire et supplémentaire confondus · Polynôme annulateur et polynôme caractéristiqueAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesFamille libre et nature des objets · Complémentaire et supplémentaire confondus · Polynôme annulateur et polynôme caractéristique
Le sujet a bien classé les candidats, et les meilleurs, capables de construire des bases adaptées et de tout justifier, se sont nettement distingués. Le jury trouve néanmoins les résultats assez décevants : les savoir-faire élémentaires d'algèbre linéaire sont peu acquis. La notion de matrice d'un endomorphisme dans une base est en revanche assez bien comprise.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Famille libre et nature des objets
Une part importante des candidats ne sait pas montrer qu'une famille est libre et mélange scalaires, vecteurs et applications.
« Un gros tiers des candidats ne sait pas prouver qu'une famille est libre »
- 2Complémentaire et supplémentaire confondus
Beaucoup affirment que le complémentaire d'un sous-espace est un sous-espace, ou que celui du noyau est l'image. Le jury considère cette confusion de vocabulaire comme grossière.
« utiliser le terme « complémentaire » à la place de « supplémentaire » est une erreur grossière »
- 3Polynôme annulateur et polynôme caractéristique
Certains affirment qu'un polynôme annulateur est forcément le polynôme caractéristique, ou appellent à tort des théorèmes hors programme.
- 4Réponses incomplètes à un résultat donné
Quand l'énoncé fournit le résultat, oublier l'existence, l'unicité, la réciproque ou un argument clé ne rapporte aucun point. Pour obtenir le polynôme caractéristique X^n, il faut rappeler qu'il est unitaire, de degré n et scindé sur les complexes.
« une réponse incomplète ne rapporte alors aucun point »
- 5Récurrence mal poséeQ30
La question la plus difficile exige une proposition de récurrence valable pour tout endomorphisme et tout espace, puisqu'on l'applique à un induit sur un sous-espace.
- 6Code PythonQ48
Les quelques lignes de Python demandées n'ont été correctement écrites que dans une très faible proportion de copies.
« Seuls 2% des copies proposent une bonne réponse. »
Ce qui a été bien réussi
- La notion de matrice d'un endomorphisme dans une base donnée est assez bien comprise.
- Les meilleurs candidats traitent correctement une grande partie du sujet malgré sa longueur.
Conseils du jury
- Lire chaque question en entier et en identifier les hypothèses et tous les attendus.
- Justifier tout résultat : la mention « sans calcul » ne dispense pas de raisonner.
- Énoncer précisément la proposition démontrée par récurrence.
- Connaître les hypothèses des théorèmes, pas seulement leur conclusion.
- Éviter d'empiler des réponses partielles et rester dans le cadre du programme.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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Lecture du sujet en ligne
L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.Afficher ou masquer la section
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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la partie II.
Notations et rappels
Dans tout le sujet,
n désigne un entier naturel non nul et
E un
ℂ -espace vectoriel de dimension
n .
SiM ∈ M_n(ℂ) , on note
M^⊤ la transposée de la matrice
M .
SiM est une matrice de
M_n(ℂ) , on définit la suite des puissances de
M par
M^0 = I_n et, pour tout entier naturel
k, M^(k + 1) = MM^k .
Si
Si
De même, si
u est un endomorphisme de
E , on définit la suite des puissances de
u par
u^0 = Id_E et, pour tout entier naturel
k, u^(k + 1) = u ∘ u^k .
Une matrice
M est dite nilpotente s'il existe un entier naturel
k ⩾ 1 tel que
M^k = 0 . Dans ce cas, le plus petit entier naturel
k ⩾ 1 tel que
M^k = 0 s'appelle l'indice de nilpotence de
M .
Soit
B une base de
E , un endomorphisme de
E est nilpotent d'indice
p si sa matrice dans
B est nilpotente d'indice
p .
On pose
J_1 = (0) et, pour
α ⩾ 2, J_α = (0, ⋯, ⋯, ⋯, 0; 1, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; 0, ⋯, 0, 1, 0) ∈ M_α(ℂ) .
SiA ∈ M_n(ℂ) et
B ∈ M_m(ℂ) , on note
diag(A, B) , la matrice diagonale par blocs
Si
Plus généralement, si
A_1 ∈ M_(n_1)(ℂ), A_2 ∈ M_(n_2)(ℂ), …, A_k ∈ M_(n_k)(ℂ) , on note
I Premiers résultats
Q 1. Que peut-on dire d'un endomorphisme nilpotent d'indice 1 ?
I.A - Réduction d'une matrice de
M_2(ℂ) nilpotente d'indice 2
On suppose que
n = 2 . Soit
u un endomorphisme de
E nilpotent d'indice
p ⩾ 2 .
Q 2. Montrer qu'il existe un vecteurx de
E tel que
u^(p − 1)(x) ≠ 0 .
Q 3. Vérifier que la famille(u^k(x))_(0 ⩽ k ⩽ p − 1) est libre. En déduire que
p = 2 .
Q 4. Montrer queKeru = Imu .
Q 5. Construire une base deE dans laquelle la matrice de
u est égale à
J_2 .
Q 6. En déduire que les matrices nilpotentes deM_2(ℂ) sont exactement les matrices de trace nulle et de déterminant nul.
Q 2. Montrer qu'il existe un vecteur
Q 3. Vérifier que la famille
Q 4. Montrer que
Q 5. Construire une base de
Q 6. En déduire que les matrices nilpotentes de
I.B - Réduction d'une matrice de
M_n(ℂ) nilpotente d'indice 2
On suppose que
n ⩾ 3 . Soit
u un endomorphisme de
E nilpotent d'indice 2 et de rang
r .
Q 7.Imu ⊂ Keru et que
2r ⩽ n .
Q 8. On suppose queImu = Keru . Montrer qu'il existe des vecteurs
e_1, e_2, …, e_r de
E tels que
(e_1, u(e_1), e_2, u(e_2), …, e_r, u(e_r)) est une base de
E .
Q 7.
Q 8. On suppose que
Q 9. Donner la matrice de
u dans cette base.
Q 10. On supposeImu ≠ Keru . Montrer qu'il existe des vecteurs
e_1, e_2, …, e_r de
E et des vecteurs
v_1, v_2, …, v_(n − 2r) appartenant à
Keru tels que
(e_1, u(e_1), e_2, u(e_2), …, e_r, u(e_r), v_1, …, v_(n − 2r)) est une base de
E .
Q 10. On suppose
Q 11. Quelle est la matrice de
u dans cette base ?
I.C - Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d'une matrice nilpotente
Dans cette sous-partie,
A désigne une matrice de
M_n(ℂ) .
Q 12. Montrer que, siA est nilpotente, alors 0 est l'unique valeur propre de
A .
Q 13. Quelles sont les matrices deM_n(ℂ) à la fois nilpotentes et diagonalisables ?
Q 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal àX^n .
Q 15. Montrer la réciproque de la question 12.
Q 16. Montrer qu'une matrice triangulaire deM_n(ℂ) à diagonale nulle est nilpotente et qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.
Q 12. Montrer que, si
Q 13. Quelles sont les matrices de
Q 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal à
Q 15. Montrer la réciproque de la question 12.
Q 16. Montrer qu'une matrice triangulaire de
Q 17. Démontrer que, si
A est une matrice nilpotente d'indice
p , alors tout polynôme de
ℂ[X] multiple de
X^p est un polynôme annulateur de
A .
On suppose que
P est un polynôme annulateur de
A nilpotente.
Q 18. Démontrer que 0 est racine deP .
Q 19. On notem la multiplicité de 0 dans
P , ce qui permet d'écrire
P = X^m Q où
Q est un polynôme de
ℂ[X] tel que
Q(0) ≠ 0 . Démontrer que
Q(A) est inversible puis que
P est un multiple de
X^p dans
ℂ[X] .
Q 18. Démontrer que 0 est racine de
Q 19. On note
I.D - Racines carrées de matrices nilpotentes
Pour une matrice
V ∈ M_n(ℂ) donnée, on dit qu'une matrice
R ∈ M_n(ℂ) est une racine carrée de
V si
R^2 = V . On se propose d'étudier l'existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines matrices nilpotentes.
I.D.1) On noteA = (1, 3, − 7; 2, 6, − 14; 1, 3, − 7) et
u l'endomorphisme de
ℂ^3 canoniquement associé à
A .
I.D.1) On note
Q 20. Calculer la trace et le rang de
A . En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique de
A . Montrer que
A est nilpotente et donner son indice de nilpotence.
Q 21. Démontrer que
A est semblable à la matrice
diag(J_2, J_1) . Donner la valeur d'une matrice
P inversible telle que
A = Pdiag(J_2, J_1)P^(− 1) .
On cherche à déterminer l'ensemble des matrices
R ∈ M_3(ℂ) telles que
R^2 = A . On note
ρ l'endomorphisme canoniquement associé à
R .
Q 22. Démontrer que
Imu et
Keru sont stables par
ρ et que
ρ est nilpotent.
Q 23. En déduire l'ensemble des racines carrées deA .
On pourra considérerR^′ = P^(− 1)RP .
I.D.2) On se propose dans cette question d'étudier l'équation matricielleR^2 = J_3 .
Q 23. En déduire l'ensemble des racines carrées de
On pourra considérer
I.D.2) On se propose dans cette question d'étudier l'équation matricielle
Q 24. Soit
R une solution de cette équation. Donner les valeurs de
R^4 et
R^6 , puis l'ensemble des solutions de l'équation.
I.D.3) Plus généralement, soitV ∈ M_n(ℂ) une matrice nilpotente d'indice
p . On se propose d'étudier l'équation
R^2 = V .
I.D.3) Plus généralement, soit
Q 25. Montrer que, si
2p − 1 > n , alors il n'existe aucune solution.
Q 26. Pour toute valeur de l'entiern ⩾ 3 , exhiber une matrice
V ∈ M_n(ℂ) , nilpotente d'indice
p ⩾ 2 et admettant au moins une racine carrée.
Q 26. Pour toute valeur de l'entier
II Deuxième partie
On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties I.A et I.B.
II.A - Réduction des matrices nilpotentes
On suppose
n ⩾ 2 . Soit
u un endomorphisme de
E nilpotent d'indice
p ⩾ 2 .
Q 27. Démontrer queImu est stable par
u et que l'endomorphisme induit par
u sur
Imu est nilpotent. Préciser son indice de nilpotence.
Q 27. Démontrer que
Q 28. Pour tout vecteur
x non nul de
E , on note
C_u(x) l'espace vectoriel engendré par les
(u^k(x))_(k ∈ ℕ) ; démontrer que
C_u(x) est stable par
u et qu'il existe un plus petit entier
s(x) ⩾ 1 tel que
u^(s(x))(x) = 0 .
Q 29. Démontrer que
(x, u(x), …, u^(s(x) − 1)(x)) est une base de
C_u(x) et donner la matrice, dans cette base, de l'endomorphisme induit par
u sur
C_u(x) .
Q 30. Démontrer par récurrence sur
p qu'il existe des vecteurs
x_1, …, x_t de
E tels que
E = ⨁_(i = 1)^t C_u(x_i) .
On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit parusurIm(u) .
Q 31. Donner la matrice deu dans une base adaptée à la décomposition
E = ⨁_(i = 1)^t C_u(x_i) .
On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit par
Q 31. Donner la matrice de
II.B - Partitions d'entiers
On appelle partition de l'entier
n toute suite finie
(α_1, …, α_k) ∈ (ℕ^∗)^k telle que
On note
Γ_n l'ensemble des partitions de l'entier
n . Ainsi,
Γ_1 = {(1)}, Γ_2 = {(2), (1, 1)}, Γ_3 = {(3), (2, 1), (1, 1, 1)} .
Soitu un endomorphisme de
E nilpotent d'indice
p et de rang
r .
Q 32. Montrer qu'il existe une partitionσ = (α_1, …, α_k) de
n et une base
B de
E dans laquelle la matrice de
u est égale à la matrice
N_σ = diag(J_(α_1), …, J_(α_k)) .
Soit
Q 32. Montrer qu'il existe une partition
Q 33. Soit
α un entier naturel non nul. Calculer le rang de
J_α^j pour tout entier naturel
j . En déduire que
J_α est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.
Q 34. En déduire la valeur de
α_1 .
Q 35. Pourj ∈ ℕ , on note
Λ_j = {i ∈ [ [1, k] ]|α_i ⩾ j} . Démontrer que
rg(N_σ^j) = ∑_(i ∈ Λ_j)(α_i − j) .
Q 36. Démontrer que, pour toutj ∈ ℕ^∗ , l'entier
d_j = rg(u^(j − 1)) − rg(u^j) est égal au nombre de blocs
J_(α_i) dont la taille
α_i est supérieure ou égale à
j .
Q 35. Pour
Q 36. Démontrer que, pour tout
Q 37. Donner la valeur de l'entier
k , nombre de blocs
J_(α_i) intervenant dans
N_σ .
Q 38. Pour tout entierj compris entre 1 et
n , exprimer le nombre de blocs
J_(α_i) de taille exactement égale à
j .
Q 38. Pour tout entier
Q 39. On suppose qu'il existe une partition
σ^′ de l'entier
n et une base
B^′ de
E telles que la matrice de
u dans
B^′ soit égale à
N_(σ^′) . Montrer que
σ = σ^′ .
Q 40. Quel est le cardinal maximal d'un ensemble de matrices nilpotentes, toutes de même taille
n , telles qu'il n'y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables ?
II.C - Applications
Q 41. Soient
A la matrice
(0, − 1, 2, − 2, − 1; 0, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 1, − 1, 1, 0) et
u l'endomorphisme canoniquement associé à
A . Déterminer la partition
σ de l'entier 5 associée à
u et donner la matrice
N_σ .
Q 42. À l'aide du résultat de la question 31, démontrer que si
M ∈ M_n(ℂ) est nilpotente, alors
M, 2M et
M^⊤ sont semblables.
Q 43. À l'aide du résultat de la question 15 , démontrer que si
M et
2M sont semblables, alors
M est nilpotente.
II.D - Un algorithme de calcul du nombre de partitions de
n
Pour
j ∈ ℕ , on note
Y_(n, j) l'ensemble des partitions dont le premier terme
α_1 est inférieur ou égal à
j et
y_(n, j) le cardinal de
Y_(n, j) ; on pose
y_(0, 0) = 1 .
Q 44. Calculer
y_(n, 1) .
On se propose de montrer que, si2 ⩽ j ⩽ n , alors
y_(n, j) = y_(n, j − 1) + y_(n − j, min(j, n − j)) .
Q 45. Démontrer que cette égalité est vraie pourj = n .
Q 46. Pourj < n , vérifier que
y_(n, j) = y_(n, j − 1) + y_(n − j, j) . Conclure.
Q 47. Calculer lesy_(n, j) pour
1 ⩽ j ⩽ n ⩽ 5 en présentant les résultats sous la forme d'un tableau.
Q 48. Écrire une fonction Python qui prend en argument un entiern ⩾ 1 et qui renvoie
y_(n, n) .
Q 49. Comparer ce résultat à celui de la question 40.
On se propose de montrer que, si
Q 45. Démontrer que cette égalité est vraie pour
Q 46. Pour
Q 47. Calculer les
Q 48. Écrire une fonction Python qui prend en argument un entier
Q 49. Comparer ce résultat à celui de la question 40.
Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PSI 2019 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PSI 2019 ?
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PSI 2019 ?
Uniquement sur l'algèbre linéaire : réduction des endomorphismes nilpotents sous une forme de type Jordan, racines carrées de matrices nilpotentes et lien avec les partitions d'un entier.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Centrale PSI 2019 ?
Des familles libres mal justifiées, la confusion entre complémentaire et supplémentaire, un polynôme annulateur pris pour le polynôme caractéristique, des réponses incomplètes et des récurrences mal énoncées.
Le sujet maths 2 Centrale-Supélec PSI 2019 est-il difficile ?
Le jury le juge très long et trouve les résultats assez décevants. Les meilleurs candidats en ont toutefois traité correctement une grande partie.
Quel chapitre réviser avant de travailler maths 2 Centrale PSI 2019 ?
La réduction des endomorphismes et les bases de l'algèbre linéaire des deux années : familles libres, noyau et image, sommes directes, sous-espaces stables et polynômes annulateurs.
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