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Centrale Mathématiques 1 PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Matrices de Toeplitz : matrices tridiagonales, matrices circulantes et matrices cycliques
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Le sujet étudie les matrices de Toeplitz, déterminées par 2n − 1 coefficients. Une première partie les découvre à travers la taille 2 et les matrices tridiagonales, une deuxième, plus courte, traite des matrices circulantes et de leur diagonalisabilité. La troisième, qui pèse près de la moitié du problème, relie les matrices cycliques aux matrices de Toeplitz à l'aide de l'opérateur de Sylvester.

  1. 1Partie I : généralités et quelques exemplesStructure d'espace vectoriel, diagonalisabilité en taille 2, réduction d'une matrice 2 × 2 sous forme de Toeplitz et valeurs propres des matrices tridiagonales par une suite récurrente linéaire.
  2. 2Partie II : matrices circulantesPuissances d'une matrice de permutation circulaire, polynômes de matrices, racines de l'unité et diagonalisation de toute matrice circulante.
  3. 3Partie III : étude des matrices cycliquesVecteurs cycliques, matrices compagnons, commutant d'un endomorphisme cyclique, calcul matriciel par diagonales et opérateur de Sylvester pour montrer que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de long, et sa troisième partie, près de la moitié du problème, a été peu abordée avec peu de questions correctement traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,67 / 20 · écart-type 3,52 · 3 550 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,67/ 20
Écart-type
3,52
Présents
3 550
Durée
4 h
1er quartile
7,1
Médiane
9,2
3e quartile
11,9
moyenne 9,6705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Raisonner dans R au lieu de C · Base mal justifiée · Critères de diagonalisabilité erronés
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La première partie a été traitée presque entièrement par tous et certaines questions très bien réussies. La deuxième partie a aussi été largement étudiée. La troisième, plus abstraite et plus technique, a été nettement moins abordée. Le jury relève des lacunes sur les nombres complexes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Raisonner dans R au lieu de CQ4

    Beaucoup de calculs sont menés comme si les scalaires étaient réels. Il n'y a pas d'ordre dans C, donc discuter selon le signe du discriminant n'a pas de sens.

    « les calculs ont trop souvent été fait dans le corps des réels alors que les matrices et scalaires étaient des nombres complexes »
  2. 2
    Base mal justifiéeQ1

    Pour prouver qu'une famille est une base, il faut établir qu'elle est libre et génératrice, ce que trop de candidats n'ont pas fait.

    « Pour démontrer qu’une famille est une base, il faut démontrer qu’elle est libre et génératrice. »
  3. 3
    Critères de diagonalisabilité erronés

    Une matrice symétrique complexe n'est pas forcément diagonalisable, contrairement au cas réel. Un polynôme caractéristique scindé à racines simples est suffisant mais pas nécessaire.

    « Une matrice symétrique à coefficients complexes n’est pas nécessairement diagonalisable. »
  4. 4
    Discussion de cas incomplèteQ4

    Quand un raisonnement est découpé en cas, il faut vérifier qu'ils couvrent toutes les possibilités sans doublon.

  5. 5
    Racines conjuguées supposées à tort

    Les racines d'une équation de degré 2 à coefficients complexes ne sont pas forcément conjuguées.

    « Les racines complexes d’une équation de degré 2 à coefficients complexes ne sont pas nécessairement conjuguées. »
  6. 6
    Polynôme annulateur et spectre

    Le spectre est inclus dans l'ensemble des racines d'un polynôme annulateur, mais l'inclusion inverse est fausse en général.

    « l’inclusion réciproque ne l’est pas forcément »

Ce qui a été bien réussi

  • Une grande majorité connaît la définition et les propriétés élémentaires d'une matrice diagonalisable et d'une suite récurrente linéaire.
  • Les polynômes de matrices, centraux dans la partie II, semblent bien compris.
  • Certains candidats ont traité presque les trois quarts du sujet.
  • La majorité des copies est clairement présentée, avec des questions numérotées et des résultats encadrés.

Conseils du jury

  • Utiliser un brouillon au lieu de rédiger dès la lecture de l'énoncé.
  • Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre en laissant des blancs si besoin, et encadrer les résultats.
  • Limiter les abréviations à celles d'usage courant.
  • Vérifier dans une récurrence que l'hypothèse sert bien dans l'hérédité.
  • Travailler des exemples simples pendant l'année pour mieux comprendre les questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Autour des matrices de Toeplitz

Dans tout le problème, 𝕂 désigne le corps ℝ ou ℂ, n un entier naturel supérieur ou égal à 2, 𝕌_n l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. Si a et b sont deux entiers relatifs tels que a ⩽ b, [ [a, b] ] désigne l'ensemble {a, a + 1, …, b − 1, b}.𝕂[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂. L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans 𝕂 est noté M_n(𝕂).
Si (t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 1)) ∈ 𝕂^(2n − 1), on note T(t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 2), t_(n − 1)) la matrice
T(t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 2), t_(n − 1)) = (t_0, t_1, t_2, ⋯, ⋯, t_(n − 1); t_(− 1), t_0, t_1, ⋱, ⋮; t_(− 2), t_(− 1), ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, t_1, t_2; ⋮, ⋱, t_(− 1), t_0, t_1; t_(− n + 1), ⋯, ⋯, t_(− 2), t_(− 1), t_0)
Une telle matrice est appelée matrice de Toeplitz d'ordre n. On nomme Toep _n(𝕂) l'ensemble des matrices de Toeplitz d'ordre n à coefficients dans 𝕂 :
Toep_n(𝕂) = {M ∈ M_n(𝕂)|∃(t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 1)) ∈ 𝕂^(2n − 1), M = T(t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 2), t_(n − 1))}
Une matrice N de M_n(𝕂) est dite nilpotente s'il existe p ∈ ℕ^∗ tel que N^p = 0. On admettra qu'une telle matrice vérifie N^n = 0.
Pour toute matrice M de M_n(𝕂), on note χ_M son polynôme caractéristique défini par χ_M(X) = det(XI_n − M). Si P = a_0 + a_1 X + ⋯ + a_p X^p(p ∈ ℕ) est un polynôme de 𝕂[X], P(M) désigne la matrice
P(M) = a_0 I_n + a_1 M + ⋯ + a_p M^p
Le but de ce problème est l'étude de certaines propriétés des matrices de Toeplitz. La partie I traite de généralités sur les matrices de Toeplitz et de quelques exemples. La partie II, indépendante de la partie I, étudie un type particulier de matrices de Toeplitz - les matrices circulantes - en s'intéressant à leur structure et à leur diagonalisabilité. Enfin, la partie III, indépendante des précédentes, aborde l'étude des matrices cycliques et les relie aux matrices de Toeplitz.

I Généralités et quelques exemples

I.A - Généralités

Q 1. Montrer que Toep_n(ℂ) est un sous-espace vectoriel de M_n(ℂ). En donner une base et en préciser la dimension.
Q 2. Montrer que si deux matrices A et B commutent (AB = BA) et si P et Q sont deux polynômes de ℂ[X], alors P(A) et Q(B) commutent.

I.B - Cas de la dimension 2

Soit A = (a, b; c, a) une matrice de Toeplitz de taille 2 × 2, où ( a, b, c ) sont des complexes.
Q 3. Donner le polynôme caractéristique de A.
Q 4. Discuter, en fonction des valeurs de (a, b, c), de la diagonalisabilité de A.

Réduction d'une matrice sous forme de Toeplitz

Q 5. Soit M = (a, b; c, d) une matrice de M_2(ℂ). Montrer que M est semblable à une matrice de type (α, 0; 0, β) ou de type (α, γ; 0, α), où α, β et γ sont des complexes avec α ≠ β.
Q 6. En déduire que toute matrice de M_2(ℂ) est semblable à une matrice de Toeplitz.

I.C - Un autre cas particulier: les matrices tridiagonales

Une matrice tridiagonale est une matrice de Toeplitz de la forme T(0, …, 0, t_(− 1), t_0, t_1, 0, …, 0), i.e. une matrice de la forme
A_n(a, b, c) = (a, b, (0); c, a, ⋱; ⋱, ⋱, b; (0), c, a)
où ( a, b, c ) sont des complexes.
On fixe ( a, b, c ) trois nombres complexes tels que bc ≠ 0. On se propose de chercher les éléments propres de A_n(a, b, c).
Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de A_n(a, b, c) et X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ ℂ^n un vecteur propre associé.
Q 7. Montrer que si l'on pose x_0 = 0 et x_(n + 1) = 0, alors ( x_1, …, x_n ) sont les termes de rang variant de 1 à n d'une suite (x_k)_(k ∈ ℕ) vérifiant x_0 = 0, x_(n + 1) = 0 et
∀k ∈ ℕ, bx_(k + 2) + (a − λ)x_(k + 1) + cx_k = 0
Q 8. Rappeler l'expression du terme général de la suite (x_k)_(k ∈ ℕ) en fonction des solutions de l'équation
bx^2 + (a − λ)x + c = 0
Q 9. À l'aide des conditions imposées à x_0 et x_(n + 1), montrer que (I.1) admet deux solutions distinctes r_1 et r_2.
Q 10. Montrer que r_1 et r_2 sont non nuls et que r_1/r_2 appartient à 𝕌_(n + 1).
Q 11. En utilisant l'équation (I.1) satisfaite par r_1 et r_2, déterminer r_1 r_2 et r_1 + r_2. En déduire qu'il existe un entier ℓ ∈ [ [1, n] ] et un nombre complexe ρ vérifiant ρ^2 = bc tels que
λ = a + 2ρcos((ℓπ)/(n + 1))
Q 12. En déduire qu'il existe α ∈ ℂ tel que, pour tout k dans [ [0, n + 1] ], x_k = 2iα(ρ^k)/(b^k)sin((ℓkπ)/(n + 1)).
Q 13. Conclure que A_n(a, b, c) est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

II Matrices circulantes

Une matrice circulante est une matrice de Toeplitz T(t_(− n + 1), …, t_0, …, t_(n − 2), t_(n − 1)), pour laquelle
∀k ∈ [ [1, n − 1] ], t_k = t_(− n + k)
Elle est donc de la forme
T(t_1, t_2, …, t_0, t_1, …, t_(n − 2), t_(n − 1)) = (t_0, t_1, ⋯, t_(n − 2), t_(n − 1); t_(n − 1), t_0, ⋱, t_(n − 2); t_(n − 2), ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, t_1; t_1, ⋯, t_(n − 2), t_(n − 1), t_0)
On pose M_n = (0, 1, 0, ⋯, 0; 0, 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋱, 1; 1, 0, ⋯, ⋯, 0) et ω_n = e^(2iπ/n).
Q 14. Calculer M_n^2, …, M_n^n. Montrer que M_n est inversible et donner un polynôme annulateur de M_n.
Q 15. Justifier que M_n est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées à l'aide de ω_n ) et donner une base de vecteurs propres de M_n.
Q 16. On pose Φ_n = (ω_n^((p − 1)(q − 1)))_(1 ⩽ p, q ⩽ n) ∈ M_n(ℂ). Justifier que Φ_n est inversible et donner sans calcul la valeur de la matrice Φ_n^(− 1)M_n Φ_n.
Q 17. Soit A une matrice circulante. Donner un polynôme P ∈ ℂ[X] tel que A = P(M_n).
Q 18. Réciproquement, si P ∈ ℂ[X], montrer, à l'aide d'une division euclidienne de P par un polynôme bien choisi, que P(M_n) est une matrice circulante.
Q 19. Montrer que l'ensemble des matrices circulantes est un sous-espace vectoriel de Toep_n(ℂ), stable par produit et par transposition.
Q 20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.

III Étude des matrices cycliques

III.A - Endomorphismes et matrices cycliques

Pour toute matrice M de M_n(ℂ), on note f_M l'endomorphisme de ℂ^n canoniquement associé à M.
Q 21. Montrer que si M est dans M_n(ℂ), alors les propositions suivantes sont équivalentes :
i. il existe x_0 dans ℂ^n tel que (x_0, f_M(x_0), …, f_M^(n − 1)(x_0)) est une base de ℂ^n;
ii. M est semblable à la matrice C(a_0, …, a_(n − 1)) définie par
C(a_0, …, a_(n − 1)) = (0, 0, ⋯, 0, a_0; 1, ⋱, ⋮, a_1; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, ⋮; 0, ⋯, 0, 1, a_(n − 1))
où ( a_0, …, a_(n − 1) ) sont des nombres complexes.
On dit alors que f_M est un endomorphisme cyclique, que M est une matrice cyclique et que x_0 est un vecteur cyclique de f_M.
III.A.1) Soit M dans M_n(ℂ). On suppose que f_M est diagonalisable. On note ( λ_1, …, λ_n ) ses valeurs propres (non nécessairement distinctes) et (e_1, …, e_n) une base de vecteurs associée à ces valeurs propres. Soit u = ∑_(i = 1)^n u_i e_i un vecteur de ℂ^n où (u_1, …, u_n) sont n nombres complexes.
Q 22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur (u_1, …, u_n, λ_1, …, λ_n) pour que (u, f_M(u), …, f_M^(n − 1)(u)) soit une base de ℂ^n.
Q 23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme diagonalisable soit cyclique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques.
III.A.2) Soit (a_0, …, a_(n − 1)) ∈ ℂ^n. On s'intéresse aux éléments propres de la matrice C(a_0, …, a_(n − 1)).
Q 24. Soit λ un nombre complexe. En discutant dans ℂ^n du système C(a_0, …, a_(n − 1))X = λX, montrer que λ est une valeur propre de C(a_0, …, a_(n − 1)) si et seulement si λ est racine d'un polynôme de ℂ[X] à préciser.
Q 25. Si λ est racine de ce polynôme, déterminer le sous-espace propre de C(a_0, …, a_(n − 1)) associé à la valeur propre λ et préciser sa dimension.
Q 26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice cyclique soit diagonalisable.

III.A.3) Commutant d'un endomorphisme cyclique

Soient M une matrice cyclique et x_0 un vecteur cyclique de f_M. On cherche à montrer que l'ensemble
C(f_M) = {g ∈ L(ℂ^n)|f_M ∘ g = g ∘ f_M}
est l'ensemble des polynômes en f_M.
Q 27. Soit P ∈ ℂ[X]. Montrer que P(f_M) ∈ C(f_M).
Q 28. Soit g ∈ C(f_M). Montrer qu'il existe (α_0, …, α_(n − 1)) ∈ ℂ^n tels que g = α_0 Id_(ℂ^n) + α_1 f_M + ⋯ + α_(n − 1)f_M^(n − 1). On pourra utiliser la base (x_0, f_M(x_0), …, f_M^(n − 1)(x_0)) et exprimer g(x_0) dans cette base.
Q 29. Conclure.
III.A.4) Soit N = (0, 0, ⋯, ⋯, 0; 1, 0, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; 0, ⋯, 0, 1, 0).
Q 30. Donner les valeurs propres de N et les sous-espaces propres associés. Est-elle diagonalisable ?
Q 31. La matrice N est-elle cyclique ?
Q 32. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec N est l'ensemble des matrices de Toeplitz triangulaires inférieures.

III.B - Quelques résultats de calcul matriciel dans M_n(ℝ)

Dans toute la suite du problème, les matrices considérées sont à coefficients réels.
Si A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) est une matrice d'ordre n et k est un entier dans [ [ − n + 1, n − 1] ], on dit que le coefficient a_(ij) de A est un coefficient diagonal d'ordre k si j − i = k.
On note A^((k)) = (a_(ij)^((k)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) la matrice définie par ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, a_(i, j)^((k)) = {a_(ij), si j − i = k; 0, sinon
Tous les coefficients de cette matrice sont nuls sauf ses coefficients diagonaux d'ordre k qui sont égaux aux coefficients diagonaux d'ordre k de A.
Ainsi, si A = (1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9), A^((0)) = (1, 0, 0; 0, 5, 0; 0, 0, 9), A^((1)) = (0, 2, 0; 0, 0, 6; 0, 0, 0), A^((− 1)) = (0, 0, 0; 4, 0, 0; 0, 8, 0).
On note D_k la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux d'ordre k qui valent 1 . Pour tout entier relatif k, on définit l'espace vectoriel Δ_k par
Δ_k = {M = (m_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ)|∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(ij) = 0 si j − i ≠ k} si k ∈ [ [ − n + 1, n − 1] ]
et Δ_k = {0} sinon. Ainsi, Δ_0 est l'ensemble des matrices diagonales, Δ_1 l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre 1, Δ_(− 1) l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre -1 .
Pour tout k dans ℤ, on note H_k l'espace vectoriel ⨁_(i = k)^(n − 1)Δ_i.
Q 33. Montrer que si i et j sont dans [ [ − n + 1, n − 1] ], si A ∈ Δ_i et B ∈ Δ_j, alors AB ∈ Δ_(i + j).
Q 34. En déduire que si A ∈ H_i et B ∈ H_j, alors AB ∈ H_(i + j)
III.B.1)
Q 35. Soit C une matrice nilpotente. Montrer que I_n + C est inversible et que
(I_n + C)^(− 1) = I_n − C + C^2 + ⋯ + (− 1)^(n − 1)C^(n − 1)
On suppose que k ⩾ 0 et que C est une matrice de Δ_(k + 1). On pose P = I_n + C.
Q 36. Monter que P est inversible et que P^(− 1) ∈ ⨁_(p = 0)^(n − 1)Δ_(p(k + 1)).
On considère l'endomorphisme φ de M_n(ℝ) défini par ∀M ∈ M_n(ℝ), φ : M ↦ P^(− 1)MP.
Q 37. Soient i ∈ [ [0, k] ] et M ∈ Δ_i. Montrer qu'il existe M^′ dans H_(k + 1) tel que φ(M) = M + M^′.
Q 38. La matrice N étant la matrice définie en III.A.4, montrer qu'il existe N^′ dans H_(k + 1) tel que
φ(N) = N + NC − CN + N^′
Q 39. Soit T une matrice triangulaire supérieure. On pose A = N + T, B = φ(A). Montrer que B ∈ H_(− 1) et que
{∀i ∈ [ [ − 1, k − 1] ], B^((i)) = A^((i)); B^((k)) = A^((k)) + NC − CN

III.C - L'opérateur de Sylvester

On définit les opérateurs
S : | M_n(ℝ) → M_n(ℝ); X ↦ NX − XN et S^∗ : | M_n(ℝ) → M_n(ℝ); X ↦ ^t NX − X^t N
Q 40. Montrer que le noyau de S est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires inférieures. On admet que le noyau de S^∗ est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires supérieures.
Q 41. Montrer que S(Δ_(k + 1)) ⊂ Δ_k et S^∗(Δ_k) ⊂ Δ_(k + 1).
On munit M_n(ℝ) de son produit scalaire usuel défini par: ∀(M_1, M_2) ∈ M_n(ℝ), ⟨M_1, M_2⟩ = tr(^t M_1 M_2).
On note S_(k + 1) la restriction de S à Δ_(k + 1) et S_k^∗ la restriction de S^∗ à Δ_k.
Q 42. Vérifier que pour tous X dans Δ_(k + 1) et Y dans Δ_k, ⟨S_(k + 1)X, Y⟩ = ⟨X, S_k^∗ Y⟩. En déduire que ker(S_k^∗) et Im(S_(k + 1)) sont supplémentaires orthogonaux dans Δ_k, c'est-à-dire que
Δ_k = ker(S_k^∗) ⊕ ^⊥Im(S_(k + 1))
Q 43. Soient T une matrice triangulaire supérieure, A = N + T et k ⩾ 0. Montrer que A est semblable à une matrice L dont tous les coefficients diagonaux d'ordre k sont égaux et vérifiant ∀i ∈ [ [ − 1, k − 1] ], L^((i)) = A^((i)).
Q 44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PSI 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PSI 2018 ?

Surtout sur l'algèbre linéaire : espaces vectoriels, réduction des matrices et des endomorphismes, polynômes de matrices. Les nombres complexes, la trigonométrie, les polynômes et les suites récurrentes linéaires interviennent aussi.

Quelles erreurs le jury de Centrale maths 1 PSI 2018 a-t-il relevées ?

Des calculs menés dans R alors que tout est complexe, des bases justifiées sans liberté ni caractère générateur en Q1, des discussions de cas incomplètes en Q4 et des critères de diagonalisabilité faux, par exemple pour les matrices symétriques complexes.

Le sujet Centrale maths 1 PSI 2018 est-il long ?

Oui, le jury le juge long. Sa progressivité a permis à tous de traiter de nombreuses questions, mais la troisième partie, près de la moitié du problème, a été peu abordée.

Quelle partie de Centrale maths 1 PSI 2018 a été la mieux réussie ?

La première partie, abordée presque entièrement par tous les candidats. La deuxième, sur les matrices circulantes, a aussi été très largement étudiée.

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