Centrale Mathématiques 1 PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Gestion d'erreurs d'un processus automatisé : loi de Poisson, théorème de Perron-Frobenius et chaînes de Markov

Le sujet étudie des probabilités liées à la gestion d'erreurs d'un processus automatisé. Il traite d'abord un cas particulier lié à la loi de Poisson, démontre ensuite partiellement le théorème de Perron-Frobenius sur les matrices positives, puis établit une inégalité pour les chaînes de Markov, avec deux questions d'informatique en Python.

1Partie I : cas de la loi de PoissonSomme de variables indépendantes et fonctions génératrices, série de fonctions normalement convergente, puis estimation asymptotique d'une probabilité à l'aide de la formule de Stirling.
2Partie II : quelques résultats sur les matricesDémonstration partielle du théorème de Perron-Frobenius : rayon spectral, vecteur propre strictement positif, valeur propre dominante et convergence des puissances.
3Partie III : une inégalité pour les chaînes de MarkovMatrice de transition, fonction de taux définie par une valeur propre dominante, fonctions Python sur les puissances de matrices et majoration par l'inégalité de Markov.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet plutôt long mais progressif, ce qui a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions ; la troisième partie a été moins abordée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,59 / 20 · écart-type 4,19 · 4 106 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,59/ 20
Écart-type: 4,19
Présents: 4 106
Coefficient: 12
Durée: 4 h
1er quartile: 4,4
Médiane: 6,9
3e quartile: 10,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 27 juin 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre variable aléatoire et événement · Convergence normale mal justifiée · Série prise à tort pour géométrique

La première partie a été abordée presque entièrement par tous, avec certaines questions très bien traitées, mais des résultats de cours mal cités. La deuxième partie, très largement traitée, a été moins réussie par manque de rigueur. La troisième partie a été moins abordée, et peu de candidats ont réussi les questions d'informatique, pourtant classiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre variable aléatoire et événement
De nombreuses copies écrivent des expressions comme P(X), qui n'ont aucun sens.
« Il est important de bien faire la différence entre une variable aléatoire et un évènement. »
2
Convergence normale mal justifiéeQ7
Beaucoup majorent u_k(x) sans valeur absolue ni étude du signe, et le vocabulaire des séries de fonctions est confus.
3
Série prise à tort pour géométriqueQ8
La série des (1/(1 + kx))^k n'est pas géométrique dès que x est non nul.
4
Valeurs propres et polynôme annulateurQ13
Des candidats confondent « admettre 0 pour seule valeur propre » et « admettre 0 pour valeur propre ». Un polynôme annulateur donne seulement l'inclusion du spectre dans ses racines.
5
Inégalités entre valeurs propres complexesQ24
Les matrices n'étaient supposées diagonalisables que sur C, mais beaucoup écrivent des inégalités entre valeurs propres a priori complexes.
6
Hypothèse de positivité oubliéeQ36
Pour appliquer l'inégalité de Markov, la positivité de la variable aléatoire est trop souvent omise.

Ce qui a été bien réussi

La première partie a été abordée presque entièrement par tous les candidats, avec certaines questions très bien traitées.
Beaucoup de très bonnes réponses ont été proposées dans la deuxième partie.
Une majorité de copies est clairement présentée.
De nombreux candidats maîtrisent le langage des probabilités, les séries génératrices, la formule des probabilités totales et le théorème de Cayley-Hamilton.

Conseils du jury

Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre en laissant des blancs si besoin, et encadrer les résultats.
Limiter les abréviations peu courantes et articuler le raisonnement avec des mots de liaison.
Justifier une formule donnée par l'énoncé plutôt que la recopier.
Utiliser directement les résultats du programme, comme la fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes.
Utiliser un brouillon avant de rédiger et s'appuyer sur des exemples simples pour comprendre les questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Objectif

L'objectif de ce sujet est l'étude de la gestion des erreurs dans un processus industriel.
On considère un processus industriel automatisé au cours duquel une tâche répétitive est effectuée à chaque instant

n \in ℕ^*

. On note

X_n

la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs susceptibles de se produire à l'instant

n

. On admet que le système parvient à corriger ces erreurs et à maintenir son fonctionnement si le nombre total d'erreurs enregistrées jusqu'à l'instant

n

, noté

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

, reste inférieur à une quantité de la forme amn, où

a > 1

est une constante fixée et

m

est le nombre moyen d'erreurs enregistrées à chaque instant. On est donc amené à estimer une probabilité de la forme

P(S_n > nam)

, dans le but de montrer qu'elle tend vers 0 très rapidement lorsque

n

tend vers l'infini.
Dans la première partie, on étudie le cas particulier où les variables aléatoires

X_n

sont mutuellement indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre

1/2

. Dans la deuxième partie, on démontre partiellement le théorème de Perron-Frobenius, qui permet, dans la troisième partie, d'étudier le cas où les variables aléatoires

X_n

forment une chaîne de Markov, c'est-à-dire où le nombre d'erreurs enregistrées à l'instant

n + 1

dépend uniquement de celui enregistré à l'instant

n

I Cas de la loi de Poisson

Dans cette partie, on étudie le modèle élémentaire où la suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

du nombre d'erreurs aux instants successifs est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, mutuellement indépendantes, et suivant une loi de Poisson de paramètre

1/2

.
L'objectif de cette partie est de donner un équivalent de

P(S_n > n)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

, afin de s'assurer que celle-ci converge vers 0 avec une vitesse de convergence exponentielle.
Pour tout

n \in ℕ^*

, on note

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

G_(X_n)

la fonction génératrice de

X_n

I.A -

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Q 1. Montrer que

S_n

X_(n + 1)

sont indépendantes.
Q 2. Expliciter le calcul de la fonction génératrice

G_(X_1)

de la variable aléatoire

X_1

.
Q 3. Justifier que

\forallt \in ℝ, G_(S_n)(t) = (G_(X_1)(t))^n

.
Q 4. Montrer que la variable aléatoire

S_n

suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

I.B -

Q 5. Vérifier que, pour tout

n \in ℕ^*

n!(2/n)^n P(S_n > n) = e^(- n/2)\sum_(k = 1)^\infty(n!n^k)/((n + k)!)(1/2)^k.

Q 6. Soit

n \in ℕ^*

. Montrer que pour tout

k \in ℕ^*

(n/(n + k))^k ⩽ (n!n^k)/((n + k)!) ⩽ 1

Q 7. Montrer que la série de fonctions

\sumu_k

où pour tout

k \in ℕ^*

, la fonction

u_k

est définie sur

[0, + \infty[

par

u_k : x \mapsto (1 + kx)^(- k)(1/2)^k

est normalement convergente sur

[0, + \infty[

Q 8. En déduire que pour tout

n \in ℕ^*, \sum_(k ⩾ 1)(1 + k/n)^(- k)(1/2)^k

converge et que

lim_(n \to + \infty)\sum_(k = 1)^\infty(1 + k/n)^(- k)(1/2)^k = 1

Q 9. En déduire que, lorsque

n

tend vers

+ \infty

P(S_n > n) \sim (e^(- n/2))/(n!)(n/2)^n.

Q 10. En déduire, à l'aide de la formule de Stirling, qu'il existe un réel

α \in ]0, 1[

tel que

P(S_n > n) = O(α^n)

II Quelques résultats sur les matrices

L'objectif de cette partie est de démontrer un certain nombre de résultats d'algèbre linéaire qui serviront dans la partie suivante.

Notations

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soit $A \in M_n(ℝ)$ . On note $sp(A)$ l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ et pour $λ \in sp(A)$ , $E_λ(A) = ker(A - λI_n)$ . On note $ρ(A) = max{|λ|, λ \in sp(A)}$ .
On dit que $A \in M_n(ℝ)$ est positive si tous ses coefficients sont positifs. On note alors $A ⩾ 0$ .
On dit que $A \in M_n(ℝ)$ est strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors $A > 0$ .
Un vecteur $x$ de $ℝ^n$ est dit positif si tous ses coefficients sont positifs. On note alors $x ⩾ 0$ .
Un vecteur $x$ de $ℝ^n$ est dit strictement positif si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors $x > 0$ .
On définit une relation d'ordre sur $M_n(ℝ)$ par $A ⩾ B$ si $A - B ⩾ 0$ .
On définit une relation d'ordre sur $ℝ^n$ par $x ⩾ y$ si $x - y ⩾ 0$ .
Si $A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℝ)$ alors $|A|$ désigne la matrice $|A| = (|a_(i, j)|)_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℝ)$ .
Si $x = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) \in ℂ^n$ alors $|x|$ désigne le vecteur $|x| = (|x_i|)_(1 ⩽ i ⩽ n) \in ℝ^n$ .
On dit que $λ_0 \in sp(A)$ est une valeur propre dominante de $A$ si, pour tout $λ ∈ sp(A)∖{λ_0}, |λ_0| > |λ|$ .

On se propose de démontrer les deux propositions suivantes :

Proposition 1

A \in M_n(ℝ)

est une matrice strictement positive, alors

ρ(A)

est une valeur propre dominante de

A

. Le sous-espace propre associé

ker(A - ρ(A)I_n)

est de dimension 1 et est dirigé par un vecteur propre strictement positif.

Proposition 2

A \in M_n(ℝ)

est une matrice strictement positive diagonalisable sur

ℂ

, si

Y

est un vecteur positif non nul de

ℝ^n

, alors

(A/(ρ(A)))^p Y

converge, lorsque

p

tend vers

+ \infty

, soit vers le vecteur nul, soit vers un vecteur directeur strictement positif de

ker(A - ρ(A)I_n)

Dans toute cette partie II,

A \in M_n(ℝ)

est une matrice strictement positive.

II.A -

Q 11. Montrer que, pour tout

x \in ℝ^n

{x ⩾ 0 ⟹ Ax ⩾ 0,; x ⩾ 0 et x \neq 0 ⟹ Ax > 0.

Q 12. Montrer que

\forallk \in ℕ^*, A^k > 0

.
Q 13. En déduire que

ρ(A) > 0

puis montrer que

ρ(A/(ρ(A))) = 1

Q 14. On suppose

A

diagonalisable sur

ℂ

. Montrer que, si

ρ(A) < 1

alors

lim_(k \to + \infty)A^k = 0

.
Dans la suite du problème, on admettra que cette dernière implication est vraie même si la matrice

A

n'est pas diagonalisable sur

ℂ

.
II.B - On suppose, dans les sous-parties II.B et II.C, que

A

est une matrice strictement positive vérifiant

ρ(A) = 1

.
On considère une valeur propre

λ \in ℂ

A

de module 1 et

x

un vecteur propre associé à

λ

. On se propose de démontrer que 1 est valeur propre de

A

.
Q 15. Montrer que

|x| ⩽ A|x|

.
Dans les questions qui suivent, on suppose que

|x| < A|x|

.
Q 16. Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que

A^2|x| - A|x| > εA|x|

.
Q 17. On pose

B = 1/(1 + ε)A

. Montrer que pour tout

k ⩾ 1, B^k A|x| ⩾ A|x|

.
Q 18. Déterminer

lim_(k \to + \infty)B^k

.
Q 19. Conclure.
II. C -

Q 20. Montrer que

A

admet un vecteur propre strictement positif associé à la valeur propre 1.
Q 21. Montrer que 1 est la seule valeur propre de module 1 de

A

.
On pourra admettre sans démonstration que si

z_1, z_2, \dots, z_k

sont des nombres complexes, tous non nuls, tels que

|z_1 + \dots + z_k| = |z_1| + \dots + |z_k|

, alors

\forallj \in [ [1, k] ], \existsλ_j \in ℝ^+

tel que

z_j = λ_j z_1

.
Q 22.

Montrer

que

dim(ker(A - I_n)) = 1

.
Q 23. En regroupant les résultats des sous-parties II.B et II.C, justifier qu'on a démontré la proposition 1.
II.

D

- Dans cette sous-partie, on se propose de démontrer la proposition 2.

On suppose donc que

A

est strictement positive et diagonalisable sur

ℂ

.
Pour tout

Y \in M_(n, 1)(ℝ)

, pour tout

p \in ℕ^*

, on note

Y_p = (A/(ρ(A)))^p Y

.
Q 24. Soit

λ \in S = sp(A)∖{ρ(A)}

. Soit

Y \in ker(A - λI_n)

. Montrer que la suite

(Y_p)_(p \in ℕ^*)

converge vers 0 .
Q 25. Soit

Y \in M_(n, 1)(ℝ)

un vecteur positif. Montrer que la suite

(Y_p)_(p \in ℕ^*)

converge vers le projeté de

Y

sur

E_(ρ(A))(A)

parallèlement à

⨁_(λ \in S)E_λ(A)

. Vérifier que, s'il est non nul, ce dernier vecteur (le projeté de

Y

) est strictement positif.

Dans la suite du problème, on admet que la proposition 2 se généralise à toute matrice

A

strictement positive, même non diagonalisable et que, si

Y \in M_(n, 1)(ℝ)

est un vecteur strictement positif, alors la suite

(Y_p)

converge vers un vecteur strictement positif dirigeant

E_(ρ(A))(A)

.
II.E - Cette sous-partie permet de déterminer la valeur propre dominante

ρ(A)

d'une matrice carrée

A

strictement positive de taille

n ⩾ 2

.
Q 26. Justifier que pour tout entier

k ⩾ 1, A^k

est semblable dans

M_n(ℂ)

à une matrice triangulaire, dont on précisera les coefficients diagonaux.
Q 27. Montrer que

lim_(k \to + \infty)(tr(A^(k + 1)))/(tr(A^k)) = ρ(A)

III Une inégalité pour les chaînes de Markov

Dans toute cette partie III,

N

est un entier naturel non nul fixé et

(X_n)_(n \in ℕ)

une suite de variables aléatoires à valeurs dans l'intervalle d'entiers

[ [0, N] ]

.
On suppose que

\foralln \in ℕ^*, \forall(i_1, i_2, \dots, i_(n + 1)) \in [ [0, N] ]^(n + 1)

P(X_(n + 1) = i_(n + 1)|X_n = i_n, X_(n - 1) = i_(n - 1), \dots, X_1 = i_1) = P(X_(n + 1) = i_(n + 1)|X_n = i_n)

On suppose que pour tout

(i, j) \in [ [0, N] ]^2, P(X_(n + 1) = j|X_n = i)

ne dépend pas de

n

et est strictement positif. On note alors

q_(i, j) = P(X_(n + 1) = j|X_n = i)

.
On dit que

(X_n)_(n \in ℕ^*)

est une chaine de Markov homogène sur

[ [0, N] ]

, de matrice de transition

Q

.
On attire l'attention sur les faits suivants:

la numérotation des lignes et des colonnes de $Q$ commence à 0 ;
$Q$ est une matrice carrée de taille $N + 1$ .

Dans toute la suite, pour

n ⩾ 1

fixé, on pose

Π_n

la matrice colonne

(P(X_n = 0); ⋮; P(X_n = N)) \in M_(N + 1, 1)(ℝ)

III.A - Justification de l'existence des lois $(Π_n)_(n ⩾ 1)$

Q 28. Justifier que

\foralli \in [ [0, N] ], \sum_(j = 0)^N q_(i, j) = 1

.
Q 29. Justifier que, pour tout

n \in ℕ^*, Π_(n + 1) = Q^⊤Π_n

.
Q 30. En déduire que la loi de

X_1

détermine entièrement les lois de toutes les variables aléatoires

X_n, n \in ℕ^*

.
Dans toute la suite, on considère une telle chaîne de Markov, et on pose

$S_n = \sum_(k = 1)^n X_k$ pour $n \in ℕ^*$ ;
$a_(i, j)(t) = q_(i, j)e^(jt)$ pour tout $(i, j) \in [ [0, N] ]^2$ et tout $t \in ℝ$ ;
$A(t) = (a_(i, j)(t))_(0 ⩽ i ⩽ N, 0 ⩽ j ⩽ N) \in M_(N + 1)(ℝ)$ ;
$z_j(t) = P(X_1 = j)e^(jt)$ pour tout $j \in [ [0, N] ]$ et tout $t \in ℝ$ ;
$- Z(t) = (z_0(t); ⋮; z_N(t)) \in M_(N + 1, 1)(ℝ)(ℝ)$ .

III.B - Définition de la fonction de taux $λ$

Soient

n

un entier naturel non nul et

t

un réel fixé.
On admet que l'espérance de la variable aléatoire

e^(tS_n)

est égale

E(e^(tS_n)) = \sum_(j = 0)^N Y_j^((n))(t)

où

Y^((n))(t) = (Y_0^((n))(t); ⋮; Y_N^((n))(t))

est le vecteur colonne défini par

Y^((n))(t) = (A(t))^(n - 1)Z(t)

.
Q 31. Justifier que

A(t)

possède une valeur propre dominante

γ(t) > 0

.
Q 32. Montrer que

lim_(n \to + \infty)(ln(E(e^(tS_n))))/n = λ(t)

où

λ(t) = ln(γ(t))

.
III.

C

- Dans cette sous-partie, on étudie deux programmes écrits en langage Python. On suppose que la bibliothèque numpy a été importée à l'aide de l'instruction

import numpy as np

On rappelle que les opérations suivantes sont alors disponibles.

range(n) renvoie la séquence des n premiers entiers ( $0 \to n - 1$ ).
np.array(u) crée un nouveau tableau contenant les éléments de la séquence u. La taille et le type des éléments de ce tableau sont déduits du contenu de u.
a.shape(a) renvoie un tuple donnant la taille du tableau a pour chacune de ses dimensions.
a.trace(a) donne la trace du tableau a.
np. $exp(a)$ renvoie un tableau de même forme que le tableau a dont chaque terme est l'exponentielle du terme correspondant du tableau a (exponentielle terme à terme).
np.dot(a, b) calcule le produit matriciel des tableaux $a$ et $b$ (sous réserve de compatibilité des dimensions).
$x*$ a renvoie un tableau de même forme que le tableau a correspondant au produit de chaque terme de a par le nombre x .
$a* b$ renvoie un tableau correspondant au produit terme à terme des deux tableaux a et b . Si a et b n'ont pas le même nombre de dimensions, le plus «petit» est virtuellement étendu afin de correspondre à la forme du plus «grand». Par exemple si a est une matrice et b un vecteur, b doit avoir le même nombre de composantes que a a de lignes, il est alors virtuellement transformé en matrice avec le même nombre de colonnes que a , chaque colonne valant b .

Q 33. Écrire en langage Python une fonction puiss 2 k qui prend en argument une matrice carrée

M

et un entier naturel

k

et renvoie la matrice

M^(2^k)

en effectuant

k

produits matriciels. On pourra exploiter le fait que

M^(2^(k + 1)) = M^(2^k)M^(2^k)

.
Q 34. Expliquer ce que fait la fonction Python maxSp définie par :

def maxSp(Q:np.ndarray, k:int, t:float) -> float:
    n = Q.shape[1]
    E = np.exp(t * np.array(range(n)))
    A = Q * E
    B = puiss2k (A, k)
    C = np.dot(A, B)
    return C.trace() / B.trace()

III.D - Une majoration théorique et son interprétation

On définit, pour tout

x \in ℝ, λ^*(x) = sup_(t ⩾ 0)(tx - λ(t))

.
On admet que cette borne supérieure existe et que la convergence de la suite de fonctions

(t \mapsto (ln(E(e^(tS_n))))/n)_(n \in ℕ^*)

vers la fonction

t \mapsto ln(γ(t))

démontrée à la question 32 est uniforme sur

ℝ^+

. On admet également dans toute la suite l'existence de

m = lim_(n \to + \infty)1/nE(S_n)

ainsi que les propriétés suivantes de

λ^*

{λ^∗(x) = 0, pour tout x ⩽ m; λ^∗(x) > 0, pour tout x > m

Dans toute la suite,

ε

désigne un réel strictement positif.
Q 35. Montrer qu'il existe un rang

n_0 \in ℕ^*

tel que, pour tout

t \in ℝ^+

et pour tout

n \in ℕ^*

n ⩾ n_0 ⟹ ln(E(e^(tS_n))) ⩽ n(λ(t) + ε)

Q 36. À l'aide de l'inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire

e^(tS_n)

, montrer que pour

a > 1, n ⩾ n_0

t ⩾ 0

P(S_n ⩾ nam) ⩽ e^(- ntam)e^(n(λ(t) + ε))

Q 37. En déduire que pour

n ⩾ n_0

P(S_n ⩾ nam) ⩽ e^(- n(λ^*(am) - ε))

Q 38. Donner un sens concret à

m

en rapport avec le processus industriel étudié et interpréter l'inégalité précédente. On pourra établir un lien intuitif avec la loi des grands nombres.
III.

E

- Cette sous-partie constitue une application numérique et peut être traitée en admettant les résultats précédents.
On dispose de deux suites finies de réels

0 = t_1 < t_2 < \dots < t_K(K ⩾ 2)

x_1 < x_2 < \dots < x_L(L ⩾ 2)

. La formule de la question 32 appliquée en

t_i

avec

n

suffisamment grand permet d'estimer

λ(t_i)

par une valeur approchée

λ^(t_i)

.
Q 39. Justifier que pour tout

i \in {1, \dots, L}

λ^^*(x_i) = max_(1 ⩽ j ⩽ K)(t_j x_i - λ^(t_j))

constitue une valeur approchée raisonnable de

λ^*(x_i)

.
Le tableau 1 donne ces valeurs pour

L = 20

$x_i$	4,50	4,55	4,60	4,65	4,70
$λ^^*(x_i)$	$4, 1 \times 10^(- 12)$	$4, 1 \times 10^(- 12)$	$4, 1 \times 10^(- 12)$	$4, 1 \times 10^(- 12)$	$4, 1 \times 10^(- 12)$
$x_i$	4,75	4,80	4,85	4,90	4,95
$λ^^*(x_i)$	$5, 1 \times 10^(- 4)$	$5, 5 \times 10^(- 3)$	$1, 1 \times 10^(- 2)$	$1, 6 \times 10^(- 2)$	$2, 1 \times 10^(- 2)$
$x_i$	5,00	5,05	5,10	5,15	5,20
$λ^^*(x_i)$	$2, 6 \times 10^(- 2)$	$3, 1 \times 10^(- 2)$	$3, 6 \times 10^(- 2)$	$4, 1 \times 10^(- 2)$	$4, 6 \times 10^(- 2)$
$x_i$	5,25	5,30	5,35	5,40	5,45
$λ^^*(x_i)$	$5, 1 \times 10^(- 2)$	$5, 6 \times 10^(- 2)$	$6, 1 \times 10^(- 2)$	$6, 6 \times 10^(- 2)$	$7, 1 \times 10^(- 2)$

Tableau 1

Q 40. À l'aide du tableau 1, donner un encadrement approximatif de la valeur de

m

et la valeur d'un réel

h > 0

tel qu'il existe un rang

n_0 \in ℕ^*

vérifiant pour tout

n ⩾ n_0

P(S_n > 1, 1 \times nm) ⩽ e^(- nh).

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

Sur les probabilités et variables aléatoires discrètes, la réduction des matrices, les suites et séries de fonctions et le calcul asymptotique, avec deux questions d'informatique en Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

La confusion entre variable aléatoire et événement, une convergence normale mal justifiée, des inégalités entre valeurs propres complexes et l'oubli de la positivité dans l'inégalité de Markov.

Le sujet Centrale Maths 1 PSI 2020 était-il long ?

Le jury le juge plutôt long, mais sa progressivité a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions. La troisième partie a été moins abordée.

Faut-il connaître les chaînes de Markov pour Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

Le sujet les introduit dans sa troisième partie. Le jury indique qu'il fallait surtout maîtriser les probabilités discrètes et les rudiments de réduction des matrices, et bien assimiler les résultats de la deuxième partie.

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Ce qui a été bien réussi

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I Cas de la loi de Poisson

I.B -

II Quelques résultats sur les matrices

Notations

Proposition 1

Proposition 2

II.A -

III Une inégalité pour les chaînes de Markov

III.A - Justification de l'existence des lois (Π_n)_(n ⩾ 1)

III.B - Définition de la fonction de taux λ

III.D - Une majoration théorique et son interprétation

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

Le sujet Centrale Maths 1 PSI 2020 était-il long ?

Faut-il connaître les chaînes de Markov pour Centrale Maths 1 PSI 2020 ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2020

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III.A - Justification de l'existence des lois $(Π_n)_(n ⩾ 1)$

III.B - Définition de la fonction de taux $λ$