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Centrale Mathématiques 1 PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Analyse combinatoire de différents modèles d'urne

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Analyse combinatoire de différents modèles d'urne : urnes de Pólya et de Friedman
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Le sujet étudie des tirages successifs dans des urnes à boules noires et blanches, où l'on ajoute des boules après chaque tirage, modèles utilisés pour la propagation d'épidémies. Après des résultats préliminaires sur les séries entières, il traite un cas particulier d'urne de Pólya, un modèle général d'urne équilibrée à l'aide de séries génératrices, puis l'urne de Pólya générale et l'urne de Friedman reliée aux montées des permutations.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesDéveloppement en série entière de (1-x)^(-α) par une équation différentielle, produit de Cauchy et somme de la série des p^n x^p.
  2. 2Partie II : un modèle particulier d'urne de PólyaLoi du nombre de boules blanches par récurrence sur les fonctions génératrices, jusqu'à une loi uniforme.
  3. 3Partie III : modèle général d'urne équilibréeDénombrement des issues et série génératrice associée à une urne équilibrée.
  4. 4Partie IV : modèle général d'une urne de PólyaRésolution d'une équation aux dérivées partielles par une série de fonctions et loi explicite du nombre de boules blanches.
  5. 5Partie V : urne de Friedman et montées de permutationsDéveloppement limité de la fonction génératrice, puis lien entre les tirages et le nombre de permutations ayant un nombre donné de montées.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet long, mais progressif et varié, ce qui a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions ; la partie III, plus abstraite, a été moins bien réussie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,49 / 20 · écart-type 3,56 · 3 884 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,49/ 20
Écart-type
3,56
Présents
3 884
Durée
4 h
1er quartile
6,8
Médiane
9,3
3e quartile
11,9
moyenne 9,4905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorèmes de cours mal énoncés · Somme de la série géométrique · Polynômes et séries confondus
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La première partie a été abordée presque entièrement par tous, et la deuxième a donné beaucoup de très bonnes réponses, parfois sans assez de rigueur. La troisième partie, plus longue et plus technique, a été moins bien réussie, et les parties IV et V ont été nettement moins abordées. Le jury relève des lacunes sur des théorèmes de base et sur les probabilités.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorèmes de cours mal énoncésQ2, Q3

    Le théorème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire du premier ordre et le produit de Cauchy de deux séries entières sont souvent mal cités ; le produit de Cauchy est parfois écrit avec des coefficients binomiaux en trop.

  2. 2
    Somme de la série géométriqueQ5

    La somme des x^p pour p allant de 1 à l'infini n'est pas 1/(1-x), puisque le terme d'indice 0 manque.

  3. 3
    Polynômes et séries confondus

    Le jury signale cette confusion dans de nombreuses copies, ainsi que celle entre intervalle réel et intervalle d'entiers.

    « Beaucoup de candidats confondent polynômes et séries. »
  4. 4
    Système complet d'événements mal utilisé

    Il s'agit d'un ensemble d'événements, non de probabilités, et il doit être explicité avant d'appliquer la formule des probabilités totales.

    « La notion de système complet d'événements n'est pas toujours bien maitrisée »
  5. 5
    Unicité oubliée ou formule recopiéeQ6

    « Montrer qu'il existe un unique » demande aussi l'unicité, et une formule donnée par l'énoncé doit être justifiée, pas recopiée.

  6. 6
    Règle de d'Alembert et lois incomplètesQ11

    La règle de d'Alembert porte sur la limite du quotient, et une loi de probabilité doit être donnée avec son paramètre.

Ce qui a été bien réussi

  • La première partie a été abordée presque entièrement et certaines questions ont été très bien traitées.
  • La deuxième partie a été très largement étudiée, avec beaucoup de très bonnes réponses.
  • Une majorité de copies est clairement présentée, avec des questions numérotées et des résultats encadrés.

Conseils du jury

  • Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre et encadrer les résultats.
  • Limiter les abréviations peu courantes et articuler les raisonnements avec des mots de liaison.
  • Utiliser qu'une série entière est de classe C∞ sur son intervalle ouvert de convergence plutôt que les théorèmes généraux sur les séries de fonctions.
  • Traiter les questions de probabilités avec autant de rigueur que l'analyse ou l'algèbre.
  • Utiliser un brouillon avant de rédiger et s'appuyer sur des exemples simples vus dans l'année.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Analyse combinatoire de différents modèles d'urne

En 1923, le mathématicien George Pólya introduit une expérience d'urne aléatoire pour modéliser la propagation d'épidémies. Ce modèle, à base de tirages de boules colorées dans une urne, et ses généralisations ont donné naissance à un grand nombre d'études qui ont conduit à des applications variées, notamment en économie et en finance.
Au milieu des années 2000, le chercheur français Philippe Flajolet propose une nouvelle approche de ces modèles, à base de combinatoire et de séries génératrices. Sa méthode s'applique à la totalité des modèles d'urne dite «équilibrée», là où les techniques de résolution antérieures étaient spécifiques de chaque protocole de tirage. Cette épreuve est organisée en cinq parties dans une large mesure indépendantes :
  • dans la partie I, il est demandé de démontrer un résultat du cours qui est utilisé dans la partie IV ; le résultat de la question 6 sert dans la partie V ;
  • la partie II traite un cas particulier qui est généralisé dans la partie IV ;
  • la partie III introduit la méthode de Philippe Flajolet ;
  • les parties IV et V étudient deux protocoles différents de tirage ; la partie V permet également d'établir un lien avec certaines permutations d'un ensemble fini.

Notations

Dans tout le problème, on définit la famille de polynômes (L_k)_(k ∈ ℕ) par
{L_0 = 1; L_k = X(X + 1)⋯(X + k − 1) ∀k ∈ ℕ^∗
On appelle fonction polynomiale de deux variables réelles u et v, toute combinaison linéaire d'applications de la forme (u, v) → u^i v^j où (i, j) ∈ ℕ^2.

I Résultats préliminaires

I.A − Soit α un réel. On note f_α : x ⟼ (1 − x)^(− α).
Q 1. Préciser le domaine de définition D de f_α. Justifier que f_α est de classe C^1 sur D et donner une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par f_α sur D.
Q 2. Énoncer le théorème de Cauchy pour une équation différentielle scalaire linéaire du premier ordre et démontrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
f_α(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)L_n(α)(x^n)/(n!).
Q 3. Rappeler la définition du produit de Cauchy de deux séries entières et énoncer le théorème qui s'y rapporte.
Q 4. En déduire que, pour tout entier n et tous réels α et β,
L_n(α + β) = ∑_(k = 0)^n(n/k)L_k(α)L_(n − k)(β).

I.B -

Q 5. Pour x ∈ ] − 1, 1[, donner la valeur de la somme de la série entière ∑_(p = 1)^(+ ∞)x^p ainsi que celle de sa dérivée.
Q 6. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n ∈ ℕ^∗, il existe un unique polynôme R_n ∈ ℝ_n[X] tel que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
∑_(p = 1)^(+ ∞)p^n x^p = (R_n(x))/((1 − x)^(n + 1)).

II Un modèle particulier d'urne de Pólya

On dispose d'un stock infini de boules noires et blanches. Une urne contient initialement une boule noire et une boule blanche. On effectue une suite de tirages selon le protocole suivant :
  • on tire au hasard une boule de l'urne;
  • on replace dans l'urne la boule tirée;
  • on ajoute dans l'urne une boule de la même couleur que la boule tirée.
On définit la suite (X_n)_(n ∈ ℕ) de variables aléatoires par X_0 = 1 et, pour tout entier n ⩾ 1, X_n donne le nombre de boules blanches dans l'urne après n tirages. On note g_n la fonction génératrice de la variable X_n. On rappelle que g_n(t) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)P(X_n = k)t^k.
Q 7. Déterminer les lois de X_1, X_2 et X_3 puis les fonctions g_1, g_2 et g_3.
Q 8. Soient n et k deux entiers supérieurs ou égaux à 1 . Établir que
P(X_n = k) = (k − 1)/(n + 1)P(X_(n − 1) = k − 1) + (n + 1 − k)/(n + 1)P(X_(n − 1) = k).
Q 9. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et tout réel t,
g_n(t) = (t^2 − t)/(n + 1)g_(n − 1)^′(t) + g_(n − 1)(t).
Q 10. Démontrer que, pour tout entier n ∈ ℕ^∗ et tout réel t,
g_n(t) = 1/(n + 1)∑_(k = 1)^(n + 1)t^k
Q 11. Identifier la loi de X_n et donner son espérance.

III Modèle général d'urne équilibrée

Dans cette partie, on généralise le modèle de la partie précédente.
Soient a_0, b_0, a, b, c et d six entiers naturels. On dispose à nouveau d'un stock infini de boules noires et blanches, mais celles-ci sont cette fois numérotées, à partir de zéro, de manière à pouvoir les différencier. L'urne contient initialement a_0 boules blanches et b_0 boules noires. On effectue une suite de tirages selon le protocole suivant:
  • on tire au hasard une boule dans l'urne;
  • on replace cette boule dans l'urne;
  • si la boule tirée est blanche, on ajoute dans l'urne a boules blanches et b boules noires;
  • si la boule tirée est noire, on ajoute dans l'urne c boules blanches et d boules noires.
On suppose que a + b = c + d, on dit alors que l'urne est équilibrée et on note s = a + b = c + d.
Pour n ⩾ 1, une issue résultant de n tirages successifs est modélisée par le n-uple indiquant la couleur et le numéro des boules successivement obtenues. On note Ω_n l'ensemble des issues possibles de ces n tirages.
La figure 1 donne deux exemples de 3 tirages ( n = 3 ), pour a_0 = b_0 = 1, a = d = 1 et b = c = 0 (modèle de la partie précédente). La boule au dessus de chaque flèche représente celle qui a été tirée.
Figure 1 Deux exemples de 3 tirages
La première suite de trois tirages est modélisée par l'issue ω_1 = (B_0, B_0, N_0) ∈ Ω_3; la deuxième suite est modélisée par l'issue ω_2 = (B_0, N_0, B_1) ∈ Ω_3. On note que ces deux issues différentes aboutissent à la même composition de l'urne.
Pour ω ∈ Ω_n on note b(ω) (respectivement n(ω) ), le nombre de boules blanches (respectivement noires) présentes dans l'urne à la fin des n tirages modélisés par ω.
Pour tous réels u et v, on pose P_0(u, v) = u^(a_0)v^(b_0) et P_n(u, v) = ∑_(ω ∈ Ω_n)u^(b(ω))v^(n(ω)).
Pour n ⩾ 1, on note à nouveau X_n le nombre de boules blanches présentes dans l'urne après n tirages et g_n sa fonction génératrice.
Dans les deux questions suivantes, on suppose a_0 = 1, b_0 = 0, a = d = 0 et b = c = 1. En d'autres termes, l'urne contient, au départ, une boule blanche et, à chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur opposée à celle qui a été tirée.
Q 12. En dressant la liste de toutes les issues possibles, donner la loi de X_3.
Q 13. Vérifier que P_3(u, v) = uv^3 + 4u^2 v^2 + u^3 v.
On revient désormais au cas général d'une urne équilibrée.
Q 14. En examinant le nombre de boules dans l'urne juste avant chaque tirage, justifier que, pour n ⩾ 1,
card(Ω_n) = (a_0 + b_0) × ⋯ × ((a_0 + b_0 + s(n − 1)) = s^n L_n((a_0 + b_0)/s).
Q 15. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout k ∈ ℕ,
P(X_n = k) = (card({ω ∈ Ω_n; b(ω) = k}))/(cardΩ_n).
  1. Justifier les égalités
g_n(t) = 1/(card(Ω_n))P_n(t, 1); E(X_n) = 1/(card(Ω_n))(∂P_n)/(∂u)(1, 1)
Q 17. Démontrer que, pour tout entier n,
P_(n + 1)(u, v) = u^(a + 1)v^b(∂P_n)/(∂u)(u, v) + u^c v^(d + 1)(∂P_n)/(∂v)(u, v)
Pour tous réel x, u et v, on pose, sous réserve d'existence,
H(x, u, v) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P_n(u, v)(x^n)/(n!)
Soit ρ > 0. On pose D_ρ = ] − ρ, ρ[ × ]0, 2[^2 = {(x, u, v) ∈ ℝ^3; |x| < ρ, 0 < u < 2, 0 < v < 2}.
Q 18. Justifier que, pour ρ assez petit, la fonction H est bien définie sur D_ρ.
On fixe un tel ρ dans toute la suite de cette partie.
Q 19. Justifier que H admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à x sur le domaine D_ρ, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à x de l'expression de H.
Q 20. Démontrer que H admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à u sur le domaine D_ρ, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à u de l'expression de H.
On admet qu'il en est de même pour la variable v.
Q 21. Vérifier que H(0, u, v) = u^(a_0)v^(b_0) puis que H est solution sur D_ρ de l'équation aux dérivées partielles
(∂H)/(∂x)(x, u, v) = u^(a + 1)v^b(∂H)/(∂u)(x, u, v) + u^c v^(d + 1)(∂H)/(∂v)(x, u, v).

IV Modèle général d'une urne de Pólya

Dans cette partie, on considère le modèle d'urne équilibrée pour lequel b = c = 0. On a donc nécessairement a = d. En d'autres termes, à chaque fois qu'on tire une boule, on ajoute a boules de sa couleur dans l'urne. La composition initiale de l'urne est de a_0 boules blanches et b_0 boules noires. Compte tenu des résultats de la partie III, on s'intéresse à l'équation aux dérivées partielles
(∂Y)/(∂x)(x, u, v) = u^(a + 1)(∂Y)/(∂u)(x, u, v) + v^(a + 1)(∂Y)/(∂v)(x, u, v)
d'inconnue Y définie sur une partie de ℝ^3 avec la condition Y(0, u, v) = u^(a_0)v^(b_0).
On admet que la fonction G définie sur U = {(x, u, v) ∈ ℝ × ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗; axu^a < 1, axv^a < 1} par
G(x, u, v) = u^(a_0)v^(b_0)(1 − axu^a)^(− a_0/a)(1 − axv^a)^(− b_0/a)
est solution de l'équation (IV.1).
On reprend la notation de la partie précédente : D_ρ = ] − ρ, ρ[ × ]0, 2[^2.
Q 22. À l'aide des résultats préliminaires, démontrer qu'il existe ρ > 0 tel que D_ρ ⊂ U et, pour tout (x, u, v) ∈ D_ρ,
G(x, u, v) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)Q_n(u, v)(x^n)/(n!)
où Q_n est une fonction polynomiale de deux variables à préciser.
Q 23. Justifier que G admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à x sur le domaine D_ρ, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à x de l'expression de H.
Q 24. Démontrer que G admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à u sur le domaine D_ρ, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à u de l'expression de H.
On admet qu'il en est de même pour la variable v.
Q 25. En déduire que, pour tout entier n, P_n = Q_n, puis que H et G coïncident sur D_ρ, où H et (P_n)_(n ∈ ℕ) ont été définis dans la partie III.
Q 26. Conclure que, pour tout entier n et pour tout k ∈ [ [0, n] ],
P(X_n = a_0 + ka) = (n/k)(L_k(a_0/a)L_(n − k)(b_0/a))/(L_n(a_0/a + b_0/a)).
Q 27. À l'aide du résultat précédent, retrouver celui de la question 10.
Q 28. À l'aide des résultats des questions 16 et 19 , déterminer l'espérance de X_n.

V Urne de Friedman et montées de permutations

Dans cette partie, on suppose que a_0 = 1, b_0 = 0, a = d = 0, b = c = 1, ce qui correspond au protocole utilisé dans les questions 12 et 13 (modèle introduit par Friedman en 1945).

V.A −

On conserve toutes les notations de la partie III (tous les résultats de cette partie peuvent être admis). On a donc en particulier card(Ω_n) = n!. On admet, pour 0 < u < v et |x| assez petit, l'égalité
H(x, u, v) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n!)(∑_(p = 1)^(+ ∞)p^n(v − u)^(n + 1)(u/v)^p)
Q 29. À l'aide de la question 6, justifier que, pour tout entier n et tous u et v tels que 0 < u < v, la somme
∑_(p = 1)^(+ ∞)p^n(v − u)^(n + 1)(u/v)^p
est une fonction polynomiale de u et v.
On a donc, d'après la question 16 , pour tout entier n et tout t ∈ ]0, 1[, g_n(t) = 1/(n!)∑_(p = 1)^(+ ∞)p^n t^p(1 − t)^(n + 1).
Dans toute la suite, on fixe un entier n ⩾ 2.
Q 30. Montrer que ∑_(p = n + 1)^(+ ∞)p^n t^p(1 − t)^(n + 1) = _(t → 0^+)O(t^(n + 1)).
Q 31. En utilisant ce qui précède et en développant (1 − t)^(n + 1), déterminer le développement limité de g_n à l'ordre n en 0 .
Q 32. En déduire que, pour tout m dans [ [1, n] ],
P(X_n = m) = 1/(n!)∑_(k = 0)^(m − 1)(− 1)^k((n + 1)/k)(m − k)^n

V.B - Montées d'une permutation

Soit n ∈ ℕ^∗ et u = (u_0, …, u_n) une suite finie d'entiers, deux à deux distincts. Une montée (respectivement descente) de u est un indice i ∈ [ [0, n − 1] ] tel que u_i < u_(i + 1) (respectivement u_i > u_(i + 1) ).
Q 33. Soit k un entier supérieur ou égal à 1, (u_0, …, u_k) une suite finie d'entiers, et a un entier tel que a > u_p pour tout p ∈ [ [0, k] ]. On insère la valeur a dans cette suite juste après u_i, avec i ∈ [ [0, k − 1] ], de manière à obtenir la suite ( u_0, …, u_i, a, u_(i + 1), …, u_k ). Comparer le nombre de montées et de descentes de la nouvelle suite par rapport à l'ancienne. On distinguera deux cas.
On note S_n l'ensemble des permutations de [ [1, n] ], c'est-à-dire des fonctions bijectives de [ [1, n] ] dans lui-même. On représente un élément σ de S_n par la suite finie ( σ(1), σ(2), …, σ(n) ) et on appelle montée (respectivement descente) de σ une montée de cette suite. Par exemple, avec n = 4, la permutation σ représentée par la liste (σ(1), σ(2), σ(3), σ(4)) = (4, 1, 3, 2) admet une montée et deux descentes. Pour tout entier m, on note A_(n, m) le nombre d'éléments de S_n avec m montées.
Q 34. Déterminer les éléments de S_3 et calculer parmi eux le nombre de permutations avec m montées pour tout entier m. Comparer les valeurs obtenues avec les coefficients de P_3(X, 1) où P_3 a été exprimé à la question 13.
Q 35. Soit n ⩾ 2. Déterminer A_(n, 0), A_(n, n − 1) et A_(n, m) pour m ⩾ n.
L'objectif de ces dernières questions est de déterminer A_(n, m) pour tous entiers n ⩾ 2 et m ⩽ n − 1 en établissant un lien entre ces valeurs et le modèle d'urne étudié dans cette partie.
On étudie un algorithme permettant de construire une permutation de S_n à partir d'une issue correspondant à n tirages.
  • On démarre la construction à la suite du premier tirage : on a nécessairement tiré la boule blanche et l'urne contient maintenant une boule de chaque couleur. On considère la suite ( 0, 1, 0 ) qui comporte exactement une montée et une descente.
  • Si on tire la boule blanche (respectivement noire) lors du deuxième tirage, on insère la valeur 2 au milieu de la première et unique montée (respectivement descente) de la suite pour obtenir la suite ( 0, 2, 1, 0 ) (respectivement (0, 1, 2, 0) ).
  • Plus généralement, pour tout k ∈ [ [2, n] ], si au k-ième tirage on tire une boule blanche (respectivement noire) numérotée p, on insère la valeur k dans la suite au milieu de la ( p + 1 )-ième montée (respectivement descente).
  • À la fin de la construction, on supprime les deux 0 de la liste (qui sont nécessairement restés en début et fin de liste). La liste obtenue contient les entiers de 1 à n et représente un élément σ de S_n. Si ω désigne la suite des tirages, on note σ(ω) la permutation obtenue.
    À titre d'exemple, construisons σ((B_0, N_0, B_1)).
  • Tirage 1: B_0
On démarre avec la suite (0, 1, 0).
  • Tirage 2: N_0
L'entier 2(k = 2) s'insère au milieu de la première ( p = 0 ) descente (la boule est noire) pour donner la nouvelle suite (0, 1, 2, 0)
  • Tirage 3 : B_1
L'entier 3 s'insère au milieu de la deuxième montée pour donner ( 0, 1, 3, 2, 0 ).
On obtient ainsi σ((B_0, N_0, B_1)) = (1, 3, 2).
Q 36. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, construire la permutation de S_5 associée à l'issue ( B_0, B_0, N_1, N_0, B_2 ).
Q 37. Réciproquement, soit σ l'élément de S_7 représenté par la suite ( 7, 1, 3, 6, 5, 4, 2 ). Déterminer une issue ω comportant 7 tirages telle que σ_ω = σ.
Q 38. À l'aide de la question 33, comparer, pour une issue quelconque, le nombre de boules blanches dans la composition finale de l'urne au nombre de montées de la permutation qui lui est associée par l'algorithme ci-dessus.
On admet que l'application ω ↦ σ(ω) est bijective de Ω_n dans S_n et qu'elle induit une bijection entre l'évènement ( X_n = m ) et l'ensemble des permutations de S_n ayant m − 1 montées.
Q 39. Soit m ∈ [ [1, n] ]. Déterminer, pour tout entier n ⩾ 2 et tout m ∈ [ [0, n − 1] ] le nombre A_(n, m) de permutations de S_n ayant m montées.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale PSI 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale PSI 2019 ?

Surtout sur les séries entières et les séries de fonctions, et sur les probabilités discrètes (probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales). Les polynômes, les fonctions de plusieurs variables, le dénombrement et les développements limités interviennent aussi.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Centrale PSI 2019 ?

Des théorèmes mal énoncés (théorème de Cauchy, produit de Cauchy), des confusions entre polynômes et séries, un système complet d'événements mal compris et des formules données simplement recopiées.

Le sujet de maths 1 Centrale-Supélec PSI 2019 était-il long ?

Oui selon le jury, mais sa progressivité et la variété des chapitres ont permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions. Les parties IV et V ont été nettement moins abordées.

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