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Approximation numérique d'une équation différentielle linéaire du second ordre avec conditions aux limites
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Le problème étudie l'équation différentielle -u''+cu=f avec conditions aux limites u(0)=u(1)=0. Il établit d'abord l'existence et l'unicité de la solution, puis introduit une matrice tridiagonale de discrétisation pour construire un schéma numérique aux différences finies, avant de démontrer deux résultats de convergence de ce schéma vers la solution exacte, l'un par un argument matriciel, l'autre par des polynômes de Bernstein et un argument probabiliste.

  1. 11. Existence et unicité des solutions de (1)Démontre l'existence et l'unicité de la solution de l'équation différentielle avec conditions aux limites, et montre qu'elle est positive lorsque le second membre l'est.
  2. 22. Une matrice de discrétisationÉtudie les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice tridiagonale constante par diagonale, introduit la notion de M-matrice et montre que l'inverse de cette matrice est à coefficients positifs.
  3. 33. Une suite d'approximations de la solution de (1)Construit un schéma aux différences finies discrétisant l'équation différentielle et montre l'existence, l'unicité et la positivité de la solution approchée.
  4. 44. Un premier résultat de convergenceDémontre, à l'aide d'une norme matricielle subordonnée, que l'erreur entre la solution exacte et la solution approchée est majorée par une constante divisée par le carré du nombre de points de discrétisation.
  5. 55. Un second résultat de convergenceUtilise les polynômes de Bernstein et des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes pour établir un second résultat de convergence du schéma vers la solution exacte sous une hypothèse höldérienne sur le second membre.

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X-ENS PSI 2018

On note C([0, 1], ℝ) l'ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans ℝ et pour tout k ∈ ℕ^∗, on note C^k([0, 1], ℝ) l'ensemble des fonctions de classe C^k de [0, 1] dans ℝ. On dit qu'une fonction f ∈ C([0, 1], ℝ) est positive si :
∀x ∈ [0, 1], f(x) ≥ 0
Pour toute fonction f ∈ C([0, 1], ℝ), on définit sa norme infinie par :
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)|
Etant donné un entier n ∈ ℕ^∗, on note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille n. On définit également I_n la matrice identité de taille n. Si x = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, on note :
‖x‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ n)|x_i|
Si X est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d'existence, 𝔼(X) et 𝕍(X) son espérance, respectivement sa variance.
Enfin, si n ∈ ℕ^∗ et k ∈ ℕ, alors (n/k) désigne le nombre de parties à k éléments d'un ensemble de cardinal n.
On étudie ici l'équation différentielle avec conditions aux limites suivantes :
{− u^(′′)(x) + c(x)u(x) = f(x), x ∈ [0, 1]; u(0) = u(1) = 0
où c ∈ C([0, 1], ℝ), f ∈ C([0, 1], ℝ) et c positive.
Après avoir montré l'existence et l'iunicité d'une solution u ∈ C^2([0, 1], ℝ) au problème (1), on s'intéressera à la construction d'une suite d'approximations de u.
Les parties 1,2 et 5 sont indépendantes. Les parties 3 et 4 nécessitent d'utiliser certains résultats établis dans les parties 1 et 2 .

1 Existence et unicité des solutions de (1)

  1. Soit λ ∈ ℝ. Montrer que le problème
{− v_λ^(′′)(x) + c(x)v_λ(x) = f(x), x ∈ [0, 1]; v_λ(0) = 0; v_λ^′(0) = λ
admet une unique solution v_λ ∈ C^2([0, 1], ℝ).
2. Montrer que pour tout λ ∈ ℝ, v_λ peut s'exprimer sous la forme :
v_λ = λw_1 + w_2
avec w_1 ∈ C^2([0, 1], ℝ) l'unique solution du système
{− w_1^(′′)(x) + c(x)w_1(x) = 0, x ∈ [0, 1]; w_1(0) = 0; w_1^′(0) = 1
et w_2 une fonction indépendante de λ à caractériser.
3. Montrer que w_1(1) ≠ 0.
4. En déduire qu'il existe une solution u ∈ C^2([0, 1], ℝ) du problème (1). Montrer que cette solution est unique.
5. Montrer que si f est positive, alors u est également positive.

2 Une matrice de discrétisation

Soit n ∈ ℕ^∗. On considère A_n la matrice carrée de taille n, constante par diagonale :
A_n = (2, − 1, 0, …, …, 0; − 1, 2, − 1, ⋱, ⋮; 0, − 1, 2, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 2, − 1; 0, …, …, 0, − 1, 2)
  1. Soit V = ^t(v_1, …, v_n) un vecteur propre de A_n associé à une valeur propre complexe λ. Montrer que λ est nécessairement réelle et que les composantes v_i de V vérifient la relation :
v_(i + 1) − (2 − λ)v_i + v_(i − 1) = 0, 1 ≤ i ≤ n
où on pose v_0 = v_(n + 1) = 0.
7. Montrer que toute valeur propre de A_n est dans l'intervalle ]0, 4[.
8. Soit λ une valeur propre de A_n.
(a) Montrer que les racines complexes r_1, r_2 du polynôme
P(r) = r^2 − (2 − λ)r + 1
sont distinctes et conjuguées.
(b) On pose r_1 = r_2^– = ρe^(iθ) avec ρ > 0 et θ ∈ ℝ.
Montrer qu'on a nécessairement sin((n + 1)θ) = 0 et ρ = 1.
9. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de A_n ainsi qu'une base de vecteurs propres.
10. On considère la famille de matrices B = [b_(i, j)]_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(ℝ) vérifiant les trois propriétés suivantes (appelées M-matrices) :
∀i ∈ {1, …, n}, {b_(i, i) > 0; b_(i, j) ≤ 0 pour tout j ≠ i; ∑_(j = 1)^n b_(i, j) > 0
Montrer que si B est une M-matrice, alors on a
(a) B est inversible
(b) Si F = ^t(f_1, …, f_n) a des coordonnées toutes positives, alors B^(− 1)F aussi,
(c) tous les coefficients de B^(− 1) sont positifs.
11. En appliquant les résultats précédents à A_n + εI_n avec ε > 0, montrer que tous les coefficients de A_n^(− 1) sont positifs.

3 Une suite d'approximations de la solution de (1)

Soit n ∈ ℕ^∗ fixé. On note h = 1/(n + 1) et on considère les réels (x_i)_(0 ≤ i ≤ n + 1) définis par x_i = ih pour tout i ∈ {0, …, n + 1}.
12. Montrer que pour toute fonction v ∈ C^4([0, 1], ℝ), il existe une constante C ≥ 0, indépendante de n, telle que
∀i ∈ {1, …, n}, |v^(′′)(x_i) − 1/(h^2)(v(x_(i + 1)) + v(x_(i − 1)) − 2v(x_i))| ≤ Ch^2
  1. Montrer qu'il existe une unique famille de réels (u_i)_(0 ≤ i ≤ n + 1) vérifiant
{− 1/(h^2)(u_(i + 1) + u_(i − 1) − 2u_i) + c(x_i)u_i = f(x_i), pour 1 ≤ i ≤ n; u_0 = u_(n + 1) = 0
  1. On suppose (dans cette question seulement) que c(x) = 0 et f(x) = 1 pour tout x ∈ [0, 1]. On note u la solution exacte du problème (1). Montrer que pour tout i ∈ {0, …, n + 1}, on a
u_i = u(x_i) = 1/2x_i(1 − x_i)
  1. Montrer que si f est positive, alors u_i ≥ 0 pour tout i ∈ {0, …, n + 1}.

4 Un premier résultat de convergence

Dans toute cette partie, on supposera de plus que c ∈ C^2([0, 1], ℝ) et que f ∈ C^2([0, 1], ℝ) (c est toujours positive également).
16. Soit n ∈ ℕ^∗. On définit l'application N de M_n(ℝ) dans ℝ par la relation :
N(A) = sup{‖Ax‖_∞, ‖x‖_∞ ≤ 1}
Montrer que N est une norme sur M_n(ℝ) et que si A = [a_(i, j)]_(1 ≤ i, j ≤ n), alors
N(A) = max_(i ∈ {1, …, n})∑_(j = 1)^n|a_(i, j)|
  1. Soit n ∈ ℕ^∗.
    (a) En utilisant les résultats des questions 14 et 15 , montrer que pour la matrice A_n définie au début de la partie 2 , on a :
N(((n + 1)^2 A_n)^(− 1)) ≤ 1/8
(b) En déduire que pour toute matrice diagonale D_n = [d_(i, j)]_(1 ≤ i, j ≤ n) telle que d_(i, i) ≥ 0 pour tout i ∈ {1, …, n}, on a également
N(((n + 1)^2 A_n + D_n)^(− 1)) ≤ 1/8
  1. Soit u l'unique solution du problème (1) et (u_i)_(0 ≤ i ≤ n + 1) la famille définie par la relation (2) pour n ∈ ℕ^∗. Montrer qu'il existe une constante C~ > 0, indépendante de n, telle que
max_(0 ≤ i ≤ n + 1)|u(x_i) − u_i| ≤ (C~)/(n^2)
Indication : on pourra introduire le vecteur X = ^t(ε_1, …, ε_n) où on a posé ε_i = u(x_i) − u_i et calculer A_n X.

5 Un second résultat de convergence

On suppose dans cette partie que f ∈ C([0, 1], ℝ) est telle que :
∃α ∈ ]0, 1], ∃K ≥ 0, ∀(y, z) ∈ [0, 1]^2, |f(y) − f(z)| ≤ K|y − z|^α
On suppose également que :
∀x ∈ [0, 1], c(x) = 0
On note u la solution associée au système (1).
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit les deux polynômes :
B_n f(X), = ∑_(k = 0)^n f(k/n)(n/k)X^k(1 − X)^(n − k); B^_(n + 1)u(X), = ∑_(k = 0)^n u_k((n + 1)/k)X^k(1 − X)^(n + 1 − k)
où u_0, …, u_n sont solutions du système (2), avec c = 0.
19. Soit x ∈ ]0, 1[ et n ∈ ℕ^∗. On considère X_1, …, X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre x. on pose
S_n = (X_1 + ⋯ + X_n)/n
(a) Exprimer 𝔼(S_n), 𝕍(S_n) et 𝔼(f(S_n)) en fonction de x, n et du polynôme B_n f.
(b) En déduire les inégalités :
∑_(k = 0)^n|x − k/n|(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) ≤ 𝕍(S_n)^(1/2) ≤ 1/(2√n)
  1. Montrer que λ^α ≤ 1 + λ pour tout réel λ > 0 et en déduire l'inégalité :
|x − k/n|^α ≤ n^(− α/2)(1 + √n|x − k/n|)
pour tous x ∈ ]0, 1[, n ∈ ℕ^∗ et k ∈ {0, …, n}.
21. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que
‖f − B_n f‖_∞ ≤ (3K)/21/(n^(α/2))
Indication : On pourra dans un premier temps exprimer f(x) − B_n f(x) en fonction de 𝔼(f(x) − f(S_n)).
22. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ]0, 1[ on a :
(B^_(n + 1)u)^(′′)(x) = − n/(n + 1)∑_(ℓ = 0)^(n − 1)f((ℓ + 1)/(n + 1))((n − 1)/ℓ)x^ℓ(1 − x)^(n − 1 − ℓ)
  1. Soit n ∈ ℕ^∗ tel que n ≥ 2. On pose χ_(n + 1) = B^_(n + 1)u − u.
    (a) Montrer que
‖χ_(n + 1)^(′′)‖_∞ ≤ ‖f − B_(n − 1)f‖_∞ + 1/(n + 1)‖f‖_∞ + K1/((n + 1)^α)
(b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] il existe ξ ∈ [0, 1] tel que
χ_(n + 1)(x) = − 1/2x(1 − x)χ_(n + 1)^(′′)(ξ)
Indication : on pourra pour x ∈ ]0, 1[ considérer la fonction
h(t) = χ_(n + 1)(t) − (χ_(n + 1)(x))/(x(1 − x))t(1 − t), t ∈ [0, 1]
  1. En déduire qu'il existe une constante M ≥ 0 telle que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a
‖u − B^_(n + 1)u‖_∞ ≤ M/(n^(α/2))

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2018 sur l'approximation numérique d'une équation différentielle ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2018 sur l'approximation numérique d'une équation différentielle ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre, la réduction des matrices, les normes matricielles subordonnées, les polynômes de Bernstein et les probabilités avec la loi de Bernoulli.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties 1, 2 et 5 sont indépendantes entre elles, mais les parties 3 et 4 nécessitent d'utiliser des résultats établis dans les parties 1 et 2.

Quelle méthode numérique est étudiée dans ce sujet ?

Le sujet étudie un schéma aux différences finies approximant la solution de l'équation différentielle, à l'aide d'une matrice tridiagonale de discrétisation.

Y a-t-il des probabilités dans ce sujet de mathématiques ?

Oui, la dernière partie utilise des variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli et les polynômes de Bernstein pour établir un second résultat de convergence du schéma numérique.

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