E3A Mathématiques PSI 2026Sujet et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a PSI 2026 ?

Il couvre le calcul différentiel à plusieurs variables, la réduction et les matrices symétriques, les suites récurrentes et séries de fonctions, les espaces préhilbertiens, les polynômes et les fonctions génératrices.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths e3a PSI 2026 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 5,95 avec un écart-type de 2,78, sur 2801 copies.

Q: Quelles erreurs le jury e3a maths PSI 2026 a-t-il le plus relevées ?

Gradient écrit comme une somme de dérivées partielles, confusion entre multiplicité et dimension d'un sous-espace propre, matrice d'un endomorphisme mal écrite et racines de X¹¹ - 1 mal déterminées.

Q: Quelles questions du sujet de maths e3a PSI 2026 ont été les moins traitées ?

La nature de l'extremum (question 8 de l'exercice 1) et la convergence uniforme de la série de fonctions (exercice 2) ont été rarement traitées, tout comme la première question préliminaire de l'exercice 4.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Extremum d'une fonction de n variables, suite récurrente et série de fonctions, polynômes propres d'un opérateur différentiel, dés truqués

Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier cherche un extremum d'une fonction de n variables à l'aide de la matrice hessienne, le deuxième étudie une suite récurrente contractante puis une série de fonctions, le troisième réduit un endomorphisme de Rn[X] et construit une base orthogonale de polynômes. Le dernier montre, avec les fonctions génératrices, qu'on ne peut pas truquer deux dés pour que leur somme suive une loi uniforme.

1Exercice 1 : extremum d'une fonction de plusieurs variablesFormule de Taylor-Young à l'ordre 2, matrice J remplie de 1 et matrice In + J définie positive, puis gradient, point critique, hessienne et nature de l'extremum.
2Exercice 2 : suite récurrente et série de fonctionsIntervalle stable, majoration de la dérivée et inégalité des accroissements finis pour la suite définie par ln(1 - v/2), puis convergence uniforme d'une série de fonctions.
3Exercice 3 : un endomorphisme de Rn[X]Matrice de l'endomorphisme P donne ((X²-1)P)'', valeurs propres distinctes, base de polynômes propres et parité, puis produit scalaire intégral pour lequel cette base est orthogonale.
4Exercice 4 : peut-on truquer deux dés ?Racine réelle d'un polynôme de degré impair et racines de X¹¹ - 1, puis fonctions génératrices de deux dés indépendants pour aboutir à une contradiction.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie plusieurs questions de faciles, dont une de niveau première année, mais la moyenne est de 5,95 et plusieurs questions (fin de l'exercice 1, série de fonctions de l'exercice 2) sont rarement traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 5,95 / 20 · écart-type 2,78 · 2 801 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 5,95/ 20
Écart-type: 2,78
Présents: 2 801
Coefficient: 6
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Formule de Taylor-Young à plusieurs variables · Vecteur gradient et matrice hessienne · Matrice définie positive

Le jury constate des lacunes énormes en algèbre linéaire : matrice d'un endomorphisme, rang, confusion entre multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre, matrices définies positives. Les fonctions de plusieurs variables restent mystérieuses (gradient écrit comme une somme, hessienne limitée au cas n = 2), et des bases d'analyse comme l'étude d'une fonction logarithme ou les racines de X¹¹ - 1 posent problème. Beaucoup de candidats traitent chaque question isolément, sans utiliser les précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formule de Taylor-Young à plusieurs variablesExercice 1, question 1
La plupart des copies écrivent la formule pour une fonction d'une seule variable au lieu de la version pour une fonction de Rn dans R.
2
Vecteur gradient et matrice hessienneExercice 1, questions 5 à 7
Le gradient est écrit comme la somme des dérivées partielles, ce qui fausse ensuite le point critique, et la hessienne est donnée en taille 2.
« La matrice H f(m) n’est pas une matrice 2×2. »
3
Matrice définie positiveExercice 1, question 2.3
Des coefficients positifs ne suffisent pas, et peu de candidats déduisent le spectre de In + J de celui de J.
« rappelons qu’une matrice symétrique réelle dont tous les coefficients sont positifs n’est pas forcément définie positive. »
4
Suite récurrente : variations et contractionExercice 2, questions 1.3 à 1.6
Les variations de f sont confondues avec celles de la suite, l'intervalle stable est oublié et l'inégalité des accroissements finis apparaît rarement.
« L’inégalité des accroissements finis n’apparaît que très rarement. »
5
Matrice de l'endomorphisme dans la base canoniqueExercice 3, question 3
Des puissances de X apparaissent dans la matrice et le décalage entre la colonne j et l'image de P(j-1) est rarement vu.
6
Racines de X¹¹ - 1Exercice 4, questions 2 et 3
Les racines onzièmes de l'unité sont souvent fausses, et la factorisation par X - 1 qui donne 1 + X + ... + X¹⁰ est inconnue de la plupart.

Ce qui a été bien réussi

Les dérivées partielles des questions 4.1 à 4.3 de l'exercice 1 sont la plupart du temps bien traitées.
La parité des polynômes Qk (question 9 de l'exercice 3) est réussie.
Les racines de GS (question 6 de l'exercice 4) ne posent pas de souci, et la question 8 est bien traitée.

Conseils du jury

Exploiter les questions préliminaires et les résultats précédents au lieu de traiter chaque question isolément.
Traiter le cas général demandé, sans remplacer n par 2 ou 3.
Distinguer ordre de multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé.
Suivre les indications de l'énoncé, par exemple la forme ((X²-1)P)'' pour l'intégration par parties.
Soigner la présentation de la copie, car des points de barème y sont consacrés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Questions préliminaires

1.Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur $ℝ^n$ .
Écrire pour la fonction $f$ , sans la redémontrer, la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 en un point $a$ de $ℝ^n$ .
2.Soient $J \in ℳ_n(ℝ)$ la matrice dont tous les éléments sont égaux à 1 et $I_n$ la matrice identité de $ℳ_n(ℝ)$ .
- 2.1.Déterminer le rang de $J$ .
- 2.2.Justifier que 0 est valeur propre de $J$ . Quel est son ordre de multiplicité ?
- 2.3.Démontrer alors que la matrice $I_n + J$ est symétrique réelle définie positive.

On considère la fonction

f

définie sur

ℝ^n

par :

\forallm = (x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n, f(m) = \sum_(k = 1)^n x_k^2 + (\sum_(k = 1)^n x_k)^2 - \sum_(k = 1)^n x_k,

c'est-à-dire :

f(m) = (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) + (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 - (x_1 + x_2 + \dots + x_n).

3.Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur $ℝ^n$ .
4.Soit $m = (x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n$ .
- 4.1.Calculer $(\partialf)/(\partialx_1)(m)$ .
- 4.2.Calculer $(\partial^2 f)/(\partialx_2\partialx_1)(m)$ et $(\partial^2 f)/(\partialx_1\partialx_2)(m)$ .
- 4.3.Calculer $(\partial^2 f)/(\partialx_1^2)(m)$ .
5.Déterminer le vecteur gradient $\nablaf(m)$ de $f$ au point $m = (x_1, \dots, x_n)$ .
6.Déterminer le seul point critique $a = (a_1, \dots, a_n)$ de $f$ dans $ℝ^n$ .
7.Soit $m = (x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n$ .
- 7.1.Déterminer la matrice Hessienne $H_f(m)$ de $f$ .
- 7.2.Déterminer le spectre de $H_f(m)$ .
8.Montrer que $f$ admet un extremum local en $a$ et préciser sa nature et sa valeur.

EXERCICE 2

On définit, lorsque cela est possible, la suite réelle

(v_n)_(n \in ℕ)

par :

{v_0 ∈ [ − 1, 1]; et; ∀n ∈ ℕ, v_(n + 1) = ln(1 − 1/2v_n)

Étude de la suite $(v_n)_(n \in ℕ)$
1.1. Dresser le tableau de variations sur $[ - 1, 1]$ de la fonction $f : x \mapsto ln(1 - 1/2x)$ .
En particulier, on déterminera les deux réels $a$ et $b$ tels que $f([ - 1, 1]) = [a, b]$ .
1.2. Justifier que $[a, b] \subset ] - 1, 1[$ .
1.3. Montrer que, pour tout $n \in ℕ^*, v_n$ est bien défini et que $v_n \in [a, b]$ .
1.4. Démontrer qu'il existe $k \in ]0, 1[$ tel que, pour tout $x \in [a, b], |f^'(x)| ⩽ k$ .
1.5. Prouver alors que pour tout entier $n ⩾ 2, |v_n| ⩽ k \times |v_(n - 1)|$ .
1.6. Démontrer que la suite $(v_n)_(n \in ℕ)$ converge et déterminer sa limite.
Étude d'une série de fonctions

On définit la suite de fonctions

(u_n)_(n \in ℕ)

sur

[ - 1, 1]

par :

{u_0(x) = x; et; ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1)(x) = ln(1 − 1/2u_n(x))

Prouver que la série de fonctions

\sum_(n ⩾ 1)u_n

converge uniformément sur

[ - 1, 1]

EXERCICE 3

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à 3, et

E_n = ℝ_n[X]

.
Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.
Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, on pose

P_k(X) = X^k

et on rappelle que

ℬ = (P_0, P_1, \dots, P_n)

est une base de

E_n

.
On note

Φ

l'application qui à tout polynôme

P

E_n

associe :

Φ(P) = ((X^2 - 1)P)^('') = (X^2 - 1)P^('') + 4XP^' + 2P.

Vérifier que $Φ$ est un endomorphisme de $E_n$ .
Soit $k \in [ [0, n] ]$ . Calculer $Φ(P_k)$ .
Déterminer la matrice $M$ de $Φ$ dans la base $ℬ$ .
On explicitera soigneusement les trois premières colonnes et, en fonction de $j$ , une $j$ -ième colonne de la matrice $M$ , avec $j \in [ [3, n + 1] ]$ .

4.Montrer que $Φ$ admet $n + 1$ valeurs propres deux à deux distinctes notées : $λ_0 < λ_1 < \dots < λ_n$ .
5.L'endomorphisme $Φ$ de $E_n$ est-il un automorphisme de $E_n$ ?
6.Vérifier que $Φ$ est diagonalisable et déterminer la dimension de ses sous-espaces propres.
7.Soient $k \in [ [0, n] ]$ et $T$ un vecteur propre de $Φ$ associé à la valeur propre $λ_k$ .
- 7.1.Montrer que le degré de $T$ est égal à $k$ .
- 7.2.Montrer que le polynôme $Q$ défini par : $Q(X) = T(- X)$ est un vecteur propre de $Φ$ associé à la valeur propre $λ_k$ .
8.Montrer qu'il existe une unique base $𝒰 = (Q_0, Q_1, \dots, Q_n)$ de $E_n$ constituée de vecteurs propres de $Φ$ , telle que, pour tout $k \in [ [0, n] ], Q_k$ est un polynôme unitaire de degré $k$ et vérifie :
$Q_k(- X) = (- 1)^k Q_k(X).$
9.Que peut-on en déduire sur la parité des polynômes $Q_k$ ?
10.Soit $k \in [ [0, n] ]$ . Justifier que $(Q_0, Q_1, \dots, Q_k)$ est une base de $ℝ_k[X]$ .
11.Calculer $Q_k$ pour $k \in [ [0, 3] ]$ .
- 12.Montrer que l'application $(P, Q) \mapsto (P|Q) = \int_(- 1)^1(1 - t^2)P(t)Q(t)dt$ définit un produit scalaire sur $E_n$ .
13.On munit alors $E_n$ de ce produit scalaire.
- 13.1.Montrer que $Φ$ est un endomorphisme symétrique de ( $E_n, (|)$ ).
  On pourra intégrer par parties.
- 13.2.Montrer que la base $𝒰$ est orthogonale pour le produit scalaire (|).
  On pourra calculer pour $(i, j) \in [ [0, n] ]^2, i \neq j$ , le produit scalaire $(Φ(Q_i)|Q_j)$ .
14.Soit $j \in [ [1, n] ]$ . Montrer que : $\forallS \in ℝ_(j - 1)[X], (S|Q_j) = 0$ .

EXERCICE 4

Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Questions préliminaires

1.Montrer qu'un polynôme de $ℝ[X]$ de degré impair possède au moins une racine réelle.
2.Déterminer les racines complexes du polynôme $X^(11) - 1$ .
3.En déduire les racines complexes du polynôme $1 + X + X^2 + \dots + X^(10) = \sum_(k = 0)^(10)X^k$ . Justifier qu'aucune n'est réelle.

Soient

U

V

les variables aléatoires de l'espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

correspondant chacune au lancer d'un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6 , pas forcément équilibré, les lancers étant indépendants. On suppose que chaque face de chaque dé possède une probabilité non nulle d'apparition. Enfin, on note

S = U + V

.
4. Déterminer les valeurs prises par les variables aléatoires

U, V

S

On suppose que

S

suit une loi uniforme.
5. Démontrer que la fonction génératrice

G_S

S

est une fonction polynomiale que l'on déterminera.
6. Déterminer les racines de

G_S

dans

ℂ

.
7. Soient

G_U

G_V

les fonctions génératrices des variables aléatoires

U

V

Déterminer un polynôme

Q

(respectivement

R

) dont les coefficients dépendent de la loi de la variable aléatoire

U

(respectivement de la variable aléatoire

V

), vérifiant :

\forallt \in ℝ, G_U(t) = tQ(t) et G_V(t) = tR(t).

Démontrer que les polynômes $Q$ et $R$ possèdent chacun au moins une racine réelle.

On pourra utiliser une des questions préliminaires.
9. Montrer que

\forallt \in ℝ, G_S(t) = t^2 Q(t)R(t)

.
10. Établir une contradiction qui démontre que la supposition encadrée est fausse.

On pourra utiliser une des questions préliminaires.
11. Est-il possible de truquer deux dés à six faces de façon à ce que la somme des résultats obtenus au cours de lancers suive une loi uniforme?

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a PSI 2026 ?

Il couvre le calcul différentiel à plusieurs variables, la réduction et les matrices symétriques, les suites récurrentes et séries de fonctions, les espaces préhilbertiens, les polynômes et les fonctions génératrices.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths e3a PSI 2026 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 5,95 avec un écart-type de 2,78, sur 2801 copies.

Quelles erreurs le jury e3a maths PSI 2026 a-t-il le plus relevées ?

Gradient écrit comme une somme de dérivées partielles, confusion entre multiplicité et dimension d'un sous-espace propre, matrice d'un endomorphisme mal écrite et racines de X¹¹ - 1 mal déterminées.

Quelles questions du sujet de maths e3a PSI 2026 ont été les moins traitées ?

La nature de l'extremum (question 8 de l'exercice 1) et la convergence uniforme de la série de fonctions (exercice 2) ont été rarement traitées, tout comme la première question préliminaire de l'exercice 4.

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