E3A Mathématiques PSI 2025Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Trois exercices indépendants : série de fonctions et intégrale associée, diagonalisation d'un endomorphisme de Rn[X] et extrema d'une fonction de trois variables, étude spectrale d'une matrice construite à partir de la matrice des 1

Le sujet propose trois exercices indépendants. Le premier étudie la convergence d'une série de fonctions puis de l'intégrale de sa somme. Le deuxième diagonalise un endomorphisme de Rn[X] pour construire une famille de polynômes propres, utilisée ensuite pour déterminer les points critiques d'une fonction de trois variables. Le troisième étudie la matrice J dont tous les coefficients valent 1, puis la matrice Mr construite à partir de J, jusqu'à la résolution d'un système différentiel linéaire pour n=3.

1Exercice 1deuxième annéeÉtude de la convergence, de la décroissance et de la limite de la somme d'une série de fonctions, puis de la convergence de l'intégrale de cette somme sur [1,+∞[.
2Exercice 2deuxième annéeDiagonalisation de l'endomorphisme f(P) = P'' - 4XP' de Rn[X], construction des polynômes propres Hp, puis détermination des points critiques d'une fonction de trois variables à l'aide de ces polynômes.
3Exercice 3deuxième annéeÉtude de la matrice J dont tous les coefficients valent 1, de sa diagonalisation, puis de la matrice Mr = rJ + (1-r)In jusqu'à la résolution d'un système différentiel linéaire pour n=3.

Difficile. Le jury relève que la première question de cours de l'exercice 2 n'a été résolue correctement que par 10% des copies, et déplore qu'un trop grand nombre de candidats ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire ni les théorèmes principaux d'analyse de deuxième année.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Décroissance prouvée sans les sommes partielles · Théorème d'intégration terme à terme mal maîtrisé · Primitive de u'/u rarement juste

Le jury déplore un nombre important de copies mal ordonnées, mal présentées ou peu lisibles, ainsi qu'un usage fréquent d'affirmations non justifiées (« il est trivial que », « il est clair que »). Il constate qu'un trop grand nombre d'étudiants ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire, même de première année, ni les théorèmes principaux d'analyse du programme de deuxième année de PSI.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Décroissance prouvée sans les sommes partiellesEx1 Q2
Pour montrer que f est décroissante, trop de candidats comparent f(x) et f(x+1) au lieu de raisonner sur les sommes partielles.
« trop d’étudiants comparent f(x) et f(x+ 1) »
2
Théorème d'intégration terme à terme mal maîtriséEx1 Q5
Ce théorème semble peu connu, et pour ceux qui le connaissent, ses hypothèses restent vagues.
« Le théorème d’intégration termes à termes semble totalement inconnu »
3
Primitive de u'/u rarement justeEx2, question de cours
La question de cours sur la primitive de u'/u est très rarement résolue correctement, alors qu'elle porte sur un résultat classique.
« Seules 10% des copies donnent le bon résultat ! »
4
Endomorphisme affirmé sans démonstrationEx2 Q2.1
Dire que l'ensemble de départ est le même que l'ensemble d'arrivée, sans autre justification, ne suffit pas à prouver que f est un endomorphisme.
« l’ensemble de départ est le même que celui d’arrivée »
5
Orthogonalité de Im(J) et Ker(J) mal justifiéeEx3 Q8
Vérifier le produit scalaire avec un seul vecteur de la base de Ker(J) ne suffit pas à conclure à l'orthogonalité avec Im(J).
« Calculer le produit scalaire de (1,..., 1) avec un seul des vecteurs de la base de Ker(J) ne suffit pas »

Ce qui a été bien réussi

Le théorème de la double limite est généralement connu des candidats dans l'exercice 1.
Les questions 10 et 11 de l'exercice 3 ont, en général, été plutôt correctement traitées lorsqu'elles ont été abordées.

Conseils du jury

Éviter les expressions telles que « il est trivial que » ou « il est clair que » sans démonstration : toute affirmation doit être justifiée.
En cas de blocage, mieux vaut admettre clairement un résultat intermédiaire et poursuivre l'exercice plutôt que d'avancer un argument fallacieux.
Se relire pour éviter les erreurs de calcul basiques, notamment sur les limites et les développements limités.
Ne pas omettre les quantificateurs et les symboles d'implication ou d'équivalence lorsqu'ils sont essentiels au raisonnement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

On rappelle qu'une fonction

f

définie sur un intervalle

I

ℝ

est décroissante sur

I

si :

\forall(x, y) \in I^2, x ⩽ y ⟹ f(x) ⩾ f(y)

Pour tout

n \in ℕ^*

et tout

x \in ℝ

, on pose

u_n(x) = e^(- x\sqrtn)

Déterminer l'ensemble $D$ des $x \in ℝ$ pour lesquels la série $\sum_(n ⩾ 1)u_n(x)$ converge.
On note alors, pour tout $x \in D, f(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n(x)$ .
Montrer, sans calculer sa dérivée, que la fonction $f$ est décroissante sur $D$ .
Montrer que la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 1)u_n$ converge normalement sur $[1, + \infty[$ .
Déterminer alors $lim_(x \to + \infty)f(x)$ .
Soit $J = \int_1^(+ \infty)f(t)dt$ . Montrer que l'intégrale $J$ converge et prouver que $J = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(e^(- \sqrtn))/(\sqrtn)$ .
Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et on s'assurera que leurs hypothèses sont bien vérifiées.

EXERCICE 2

Question de cours

Soit $u$ une fonction réelle de la variable réelle, de classe $C^1$ sur $ℝ$ et qui ne s'annule pas.
Déterminer une primitive de la fonction $x \mapsto (u^'(x))/(u(x))$ .

*****

Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 , on note

E_n = ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

à coefficients réels.
Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, on note

P_k(X) = X^k

et on rappelle que

ℬ = (P_0, P_1, \dots, P_n)

est une base de

E_n

.
On considère l'application

f

qui à tout polynôme

P \in E_n

, associe le polynôme :

P^('')(X) - 4XP^'(X)

, c'est-à-dire que :

f(P) = P^('') - 4XP^'

Étude de $f$
2.1. Justifier que $f$ est un endomorphisme de $E_n$ .
2.2. Déterminer la matrice $M$ de $f$ dans la base $ℬ$ de $E_n$ . Expliciter cette matrice dans le cas $n = 3$ .
2.3. Prouver que $f$ est diagonalisable et préciser la dimension de ses sous-espaces propres.
2.4. Soit $P$ un vecteur propre associé à la valeur propre $λ$ . Montrer que $λ = - 4deg(P)$ .
2.5. En déduire que pour tout $p \in [ [0, n] ]$ , il existe un unique polynôme unitaire $H_p$ , de degré $p$ et tel que :

f(H_p) = - 4pH_p

On rappelle qu'un polynôme est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1.
3. Étude de

H_p

pour

p \in [ [0, n] ]

3.1. Démontrer que l'on a :

\forallp \in [ [1, n] ], f(H_p^') = - 4(p - 1)H_p^'

3.2. En déduire que :

\forallp \in [ [1, n] ], H_p^' = pH_(p - 1)

et que :

\forallp \in [ [2, n] ], H_p - XH_(p - 1) + (p - 1)/4H_(p - 2) = 0

3.3. Déterminer

H_j

pour tout

j \in [ [0, 3] ]

.
4. On note

U

l'ouvert de

ℝ^3

défini par :

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^3, x ≠ y et y ≠ z et z ≠ x}

Soit alors

G

la fonction définie sur

U

par :

\forallm = (x, y, z) \in U, G(m) = x^2 + y^2 + z^2 - ln|x - y| - ln|y - z| - ln|z - x|

4.1. Établir que

m_0 = (a, b, c)

est un point critique de

G

si, et seulement si,

(a, b, c)

est solution du système :

(S){2a(a − c)(a − b) = 2a − b − c, (L_1); 2b(b − a)(b − c) = 2b − a − c, (L_2); 2c(c − a)(c − b) = 2c − a − b, (L_3)

On ne cherchera pas à résoudre le système

(S)

.
4.2. On note

Q = (X - a)(X - b)(X - c)

.
4.2.1. Déterminer les coefficients du polynôme

Q

.
4.2.2. Montrer que

(L_1)

équivaut au fait que

a

est racine de

f(Q)

On admettra dans la suite que :

« è » é à « » « (a, b, c) est solution du système (S) » équivaut à « f(Q) admet pour racines a, b et c ».

4.3. Prouver que si

m_0 = (a, b, c)

est un point critique de

G

, alors

f(Q) = - 12Q

.
4.4. Déterminer alors le polynôme

Q

.
4.5. En déduire les points critiques de

G

EXERCICE 3

Soient

r

un nombre réel non nul,

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

M_r

la matrice de

ℳ_n(ℝ)

définie par :

M_r = (1, r, \dots, r; r, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, r; r, \dots, r, 1)

On munit l'espace vectoriel

ℝ^n

de son produit scalaire canonique.
On note enfin

J

la matrice de

ℳ_n(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1.

1.Exprimer $J^2$ en fonction de $J$ .
2.En déduire, selon les valeurs de l'entier naturel $ℓ$ , l'expression de $J^ℓ$ .
3.Déterminer une base de $Im(J)$ et le rang de la matrice $J$ .
4.Déterminer une base de $Ker(J)$ .
5.Justifier que la matrice $J$ est diagonalisable dans $ℳ_n(ℝ)$ .
6.Déterminer les valeurs propres ainsi que les sous-espaces propres de la matrice $J$ .
7.Déterminer une matrice diagonale $D$ semblable à $J$ .
8.Démontrer que $Im(J)$ et $Ker(J)$ sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans $ℝ^n$ .
9.Justifier que $M_r \in Vect(I_n, J)$ .
10.Soit $k \in ℕ$ . Déterminer explicitement deux réels $α_k$ et $β_k$ tels que $(M_r)^k = α_k I_n + β_k J$ .

On exprimera le résultat sans le symbole

\sum

11.Montrer que la matrice $M_r$ est diagonalisable dans $ℳ_n(ℝ)$ .
12.Déterminer une matrice $Δ_r$ diagonale semblable à $M_r$ .
13.Dans cette question, on prend $n = 3$ .
13.1.Déterminer une matrice $P$ inversible telle que :
$ù Δ_r = P^(- 1)M_r P, où Δ_r = diag(λ_1, λ_2, λ_3) avec λ_1 = λ_2.$
13.2.Résoudre le système différentiel : $Y^' = Δ_r Y$ .
13.3.En déduire les solutions du système différentiel : $Z^' = M_r Z$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths E3A PSI 2025 ?

Il comporte trois exercices indépendants : séries de fonctions et intégration terme à terme, réduction d'un endomorphisme de Rn[X] avec recherche d'extrema d'une fonction de trois variables, et étude spectrale d'une matrice construite à partir de la matrice des 1, jusqu'à un système différentiel.

Le sujet E3A maths PSI 2025 est-il difficile ?

Le jury note que de nombreux candidats ne maîtrisent pas les bases d'algèbre linéaire ni les théorèmes d'analyse de deuxième année ; sur la question de cours de l'exercice 2, seules 10 % des copies donnaient le bon résultat.

Quelles erreurs reviennent le plus dans les copies sur ce sujet E3A PSI 2025 ?

Des justifications manquantes (théorème de la double limite, notion d'endomorphisme), une méconnaissance du théorème d'intégration terme à terme, et des confusions sur les sous-espaces supplémentaires orthogonaux dans l'exercice 3.

Ce sujet nécessite-t-il de bien maîtriser la réduction des endomorphismes ?

Oui, l'exercice 2 repose entièrement sur la diagonalisation d'un endomorphisme de Rn[X], et l'exercice 3 sur la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle.

Pas de description pour le moment

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