Centrale Physique Chimie 1 PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Magnétostatique et milieux ferromagnétiques
Conversion électro-magnéto-mécanique
Électrocinétique (ALI, filtrage, diagramme de Bode)
Thermodynamique des systèmes ouverts
Mécanique et mécanique des fluides (traînée)

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Trains à sustentation magnétique : Transrapid et SCMaglev

Le sujet étudie la sustentation magnétique des trains Transrapid et SCMaglev en quatre parties indépendantes. Il examine la production d'un champ magnétique intense et son refroidissement, la lévitation par attraction d'un électroaimant à entrefer variable, un capteur de position inductif avec son électronique de conditionnement, puis le bilan énergétique du Transrapid comparé au TGV. Le sujet compte 41 questions, dont plusieurs questions non guidées.

1Partie I : réalisation d'un champ magnétique intenseImpossibilité d'un solénoïde résistif, refroidissement à eau par bilan thermique et intérêt des bobines supraconductrices.
2Partie II : sustentation électromagnétique du TransrapidChamp dans l'entrefer d'un circuit magnétique ferromagnétique, inductance, force d'attraction et stabilité de la lévitation.
3Partie III : capteur de positionCapteur push-pull à entrefer variable, mesure des variations d'inductance, filtrage et diagramme de Bode.
4Partie IV : énergétique du TransrapidForce de traînée, puissance consommée par passager et freinage à puissance constante, en comparaison avec le TGV.

Accessible. Le jury juge le sujet de 41 questions, dont de nombreuses questions de cours, de longueur très raisonnable, et note que de nombreux candidats en parcourent l'intégralité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,19 / 20 · écart-type 3,59 · 3 529 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,19/ 20
Écart-type: 3,59
Présents: 3 529
Durée: 4 h
1er quartile: 7,4
Médiane: 9,9
3e quartile: 12,6

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Équations de Maxwell mal connues · Théorème d'Ampère écrit avec B au lieu de H · Applications numériques aberrantes

Beaucoup de candidats traitent une grande partie des questions, mais la maîtrise du cours est souvent insuffisante : lois connues sans leurs hypothèses ni leur sens. Les applications numériques sont fréquemment fausses ou aberrantes, sans commentaire, et parfois données sans expression littérale. Certaines copies sont d'un niveau remarquable.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Équations de Maxwell mal connuesQ7
L'ARQS n'implique pas un rotationnel de E nul. L'équation de Maxwell-Ampère était attendue avec l'excitation magnétique H.
« Cette question, notée en tout ou rien, n’a été que trop rarement bien traitée. »
2
Théorème d'Ampère écrit avec B au lieu de HQ6, Q14, Q17
Cette erreur fausse les calculs suivants et oblige à arranger le résultat pour retrouver l'inductance L(z). Les confusions entre μ, μr et μ0 sont fréquentes.
3
Applications numériques aberrantesQ20, Q21
Erreurs de puissances de 10, conversions kilogrammes et tonnes, et résultats absurdes non commentés.
« Certains candidats trouvent un nombre d’électroaimants de l’ordre du milliard sans en être troublés. »
4
Premier principe industriel appliqué mécaniquementQ3
Le système est rarement précisé et les hypothèses de travail rarement justifiées.
5
Filtrage et diagramme de Bode approximatifsQ28, Q30, Q31, Q32
Un diagramme de Bode comporte gain et phase, l'étude asymptotique est souvent bâclée, et la pulsation de coupure est rarement reliée à une atténuation de 3 dB.
« Beaucoup parlent de pulsation propre ou de pulsation de cassure ! »
6
Mauvaise lecture du bilan énergétiqueQ38, Q39
La masse volumique de la traînée est celle de l'air, un bilan par passager était attendu, et c'est la puissance de freinage qui était constante, pas la force.
« Trop souvent c’est la force de freinage qui a été considérée comme constante. »

Ce qui a été bien réussi

L'allure des cycles d'hystérésis doux et dur est globalement connue.
Les questions 24, 26, 27, 34, 35 et 36 de la partie III ont souvent été bien traitées.
La propriété de flux conservatif est bien repérée en Q8.
Certains candidats ont proposé une démarche complète et pertinente à la question non guidée Q1.

Conseils du jury

Ne pas aller trop vite sur les questions proches du cours.
Annoncer les étapes du raisonnement et justifier les hypothèses dans les questions non guidées.
Donner d'abord une expression littérale, puis l'application numérique avec un nombre adapté de chiffres significatifs, et la commenter.
Comparer des grandeurs de même dimension dans une analyse en ordre de grandeur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Trains à sustentation électromagnétique

Un train à sustentation magnétique utilise les forces magnétiques pour léviter au dessus de la voie ; il n'est donc pas en contact avec des rails, contrairement aux trains classiques. Ce procédé permet de supprimer la résistance au roulement et d'atteindre des vitesses élevées.

Il existe actuellement deux types de trains à grande vitesse à sustentation magnétique :

un train à sustentation électromagnétique dans lequel le train lévite par attraction grâce à des aimants (Transrapid développé en Allemagne) ;
un train à sustentation électrodynamique dans lequel le train lévite par répulsion grâce aux courants de Foucault induits par le déplacement du train (SCMaglev développé au Japon).
La seule réalisation commerciale du Transrapid est à l'heure actuelle la ligne de 30 kilomètres qui fonctionne depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport international de Pudong. Le trajet s'effectue en moins de 8 minutes, à la vitesse moyenne de $245 km/h$ . Sur ce parcours le train atteint la vitesse de $430 km/h$ , il a la capacité d'accélérer de 0 à $350 km/h$ en 2 minutes.
La première version commerciale du SCMaglev doit relier en une heure Tokyo et Osaka, distantes de 400 km à vol d'oiseau. L'ouverture du premier tronçon de la ligne (Tokyo-Nagoya) est prévu en 2027 avec une vitesse de pointe sur le parcours de $505 km/h$ . En 2015 une rame de test de sept voitures a atteint la vitesse de $603 km/h$ , établissant ainsi l'actuel record de vitesse pour un train.

Figure 1

Nous étudions ici quelques aspects du fonctionnement de ces trains, en accordant - sauf en partie I - une attention particulière au Transrapid.
Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat sur sa copie ; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.
Des données utiles, un formulaire et deux annexes sont regroupés en fin d'énoncé.

I Réalisation d'un champ magnétique intense

Dans le système à sustentation électrodynamique (SCMaglev), un champ magnétique est créé par des bobines supraconductrices placées dans le train en mouvement. Le constructeur indique que pour faire léviter le train le champ magnétique produit doit dépasser la valeur de 4 teslas.
Q 1. Expliquer pourquoi il n'est pas possible de réaliser un tel champ magnétique avec un solénoïde constitué d'un fil résistif. Pour répondre à cette question, vous pourrez vous appuyer sur les données fournies en annexe 1. Vous préciserez clairement les différentes étapes de votre raisonnement.
On se propose d'évacuer la puissance produite par la bobine avec un refroidissement à eau.
Q 2. Proposer une valeur maximale acceptable de la différence de température entre la bobine et l'eau. En déduire la valeur minimum de la surface de contact entre la bobine et l'eau.
Q 3. Quel débit d'eau faudrait-il assurer pour évacuer la puissance thermique produite par la bobine ?
Q 4. Commenter et conclure quant à la faisabilité d'un tel refroidissement.
Q 5. En quoi l'utilisation de bobines supraconductrices permet-elle la création de champs magnétiques très intenses?

II La sustentation électromagnétique du Transrapid

II.A - Modélisation du champ magnétique dans l'entrefer

La figure 2 présente la rame du Transrapid sur son rail et, dans un plan de coupe, le détail du système de sustentation. Ce système est constitué d'un électroaimant dont le circuit magnétique est composé :

d'une portion de rail (1) en matériau ferromagnétique doux de perméabilité relative $μ_r$ ;
d'une portion (2) solidaire de la rame, constituée du même matériau ferromagnétique, sur lequel sont bobinées $N$ spires alimentées par un courant d'intensité $i(t)$ .
Les deux portions sont séparées par un entrefer de largeur $z$ variable. La section $S$ du matériau ferromagnétique dans les portions (1) et (2) du circuit magnétique est supposée commune aux portions (1) et (2), constante le long du circuit magnétique et carrée de côté $a : S = a^2$ . (C) est une ligne de champ magnétique du circuit (figure 2).

Vue de face

Système de sustentation (demi-coupe)

Figure 2 Transrapid et son système de sustentation

Les hypothèses d'étude sont les suivantes:

les milieux ferromagnétiques sont supposés doux ;
on néglige les pertes par courants de Foucault ;
toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique.

On note :

$B⃗_1$ le champ magnétique dans la portion (1);
$B⃗_2$ le champ magnétique dans la portion (2);
$- B⃗_a$ le champ magnétique dans les entrefers;
$z$ la largeur, variable, des entrefers entre les deux portions ferromagnétiques du circuit magnétique (l'origine $O$ sur l'axe descendant ( $O, u⃗_x$ ) est choisie sur le rail fixe) ;
$ℓ$ la longueur moyenne de la partie de la ligne de champ (C) située à l'intérieur des portions ferromagnétiques (1) et (2) du circuit.

II.A.1)

Q 6. Définir l'excitation magnétique

H⃗

et donner l'expression reliant le vecteur

H⃗

au champ magnétique

B⃗

dans la matière et à l'aimantation

M⃗

de la matière.
Q 7. Rappeler les équations de Maxwell valables dans un milieu ferromagnétique dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

II.A.2)

Q 8. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique dans le circuit magnétique ?
Q 9. En déduire les relations liant

B⃗_1, B⃗_2

B⃗_a

.
Q 10. À quelle condition, supposée vérifiée ici, les lignes de champ restent-elles parallèles dans l'entrefer ?

II.A.3)

Q 11. Rappeler les caractéristiques d'un milieu ferromagnétique doux.
Q 12. Quelle relation lie alors le champ magnétique

B⃗

et l'excitation magnétique

H⃗

dans un tel milieu?
Q 13. Définir la perméabilité relative et en donner un ordre de grandeur pour un milieu ferromagnétique doux.

II.A.4)

Q 14. Écrire le théorème d'Ampère sur le contour (C).
Q 15. En déduire

B_2

en fonction de

ℓ, z, N, i, μ_0

μ_r

.
Q 16. Simplifier cette écriture en utilisant la question 12.

II.B - Lévitation par attraction

On rappelle que la force électromagnétique s'exerçant sur une partie mobile d'un circuit magnétique, parcouru par un courant d'intensité

i

, en translation suivant la direction

u⃗_z

s'écrit

F⃗_(em) = ((\partialE_m)/(\partialz))_i u⃗_z

où

E_m

est l'énergie magnétique.
Q 17. Montrer que l'inductance propre

L(z)

du bobinage peut s'écrire sous la forme

L(z) = (μ_0 N^2 S)/(2z)

.
Q 18. Rappeler l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine d'inductance

L(z)

parcourue par le courant d'intensité

i(t)

.
Q 19. En déduire la force électromagnétique

F_(em)

s'exerçant sur la rame.
Q 20. Calculer la masse

m

qui peut ainsi être mise en sustentation à une distance

δ = 10 mm

du rail pour un électroaimant alimenté avec un courant d'intensité

i_e = 10 A

.
Q 21. Une rame a une masse d'environ 180 tonnes. En déduire le nombre d'électroaimants nécessaires pour la sustentation de la rame. On donne :

N = 1000, S = 0, 50 m^2

.
Q 22. Montrer que le système de sustentation électromagnétique est instable.

III Capteur de position

L'instabilité de l'équilibre de la rame en sustentation nécessite l'asservissement en position de l'entrefer. Cet asservissement est réalisé en utilisant un capteur de position. On se propose dans cette partie d'étudier le principe d'un capteur de position à inductance variable.

III.A - Capteur à entrefer variable «push-pull»

La figure 3 décrit le schéma de principe d'un capteur inductif à entrefer variable dans un montage «push-pull ». Le capteur comprend un circuit magnétique composé d'un noyau solidaire du rail fixe et de deux bobines B1 et B2 sur deux noyaux ferromagnétiques en vis-à-vis, solidaires de la rame. Les bobines B1 et B2 du capteur sont identiques et placées de façon symétrique par rapport au rail lorsque la rame est à l'équilibre (figure 3 à gauche). Ces bobines B1 et B2 sont indépendantes des bobines assurant la lévitation. Elles sont constituées de

N_c

spires de surface

S

Figure 3

Q 23. Écrire l'inductance

L_e

des bobines B 1 et B 2 lorsque la rame est à l'équilibre.
On envisage une variation

Δz

de la position du train par rapport à la position d'équilibre

z_e = δ

(figure 3 à droite), en considérant

Δz≪δ

.
Q 24. Écrire les inductance

L_1

L_2

de chacun des bobines B1 et B2 en se limitant au terme du premier ordre en

Δz/δ

III.B - Mesure des variations d'inductance

Les bobines B1 et B2 sont alimentées par un générateur délivrant une tension électrique

e(t) = Ecos(ωt)

, de pulsation

ω

, en série avec une résistance

R

(figure 4). On néglige ici les résistances des deux bobines.

Figure 4 Alimentation du capteur

Q 25. Déterminer les expressions des tensions électriques complexes

u_-_1

u_-_2

en fonction de

R, L_1, L_2, ω

e_-

.
Ces tensions sont placées à l'entrée du montage présenté figure 5. L'ALI est supposé idéal en fonctionnement linéaire.

Figure 5 Montage soustracteur

Q 26. Montrer que la tension électrique de sortie du montage peut s'écrire sous la forme

u_-_s = K(u_-_1 - u_-_2)

où

K

est une constante que l'on déterminera en fonction des composants du montage.
Q 27. Exprimer la fonction de transfert complexe

T_-(jω)

sous la forme

T_-(jω) = (u_-_s)/(e_-) = T_0(j(ω/ω_0))/(1 + j(ω/ω_0))

où

T_0

ω_0

sont des fonctions de

L_e, R, Δz

δ

, que l'on déterminera.
Q 28. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de

T_-(jω)

.
Q 29. De quel type de filtre s'agit-il ?

Q 30. Quelle est la signification de la pulsation

ω_0

?
Q 31. Dans quelle gamme de fréquences doit-on travailler pour que

T_-(jω)

soit indépendant de

ω

et proportionnel au déplacement de la rame ?
On a

R = 750Ω, L_e = 60mH

et une fréquence d'utilisation

f = 4kHz

.
Q 32. Montrer que le signal de sortie peut se mettre sous la forme

u_s(t) = E(Δz)/δcos(ωt + φ)

.
Q 33. Exprimer et calculer le déphasage

φ

III.C - Électronique de conditionnement

On souhaite obtenir un signal continu image de la position

z

de la rame. On utilise pour cela un multiplieur analogique, avec une constante de multiplication

K_m

, dans le montage donné figure 6 .

Figure 6 Multiplieur analogique

Q 34. Exprimer la tension électrique

s_m(t)

à la sortie du multiplieur et donner sa décomposition spectrale. Préciser le terme représentatif de la position

z

de la rame.
Q 35. Quel montage doit-on placer à la sortie du multiplieur pour récupérer une tension continue

S_m

proportionnelle au déplacement

Δz

? Préciser la nature et les caractéristiques de ce montage.
Q 36. Exprimer la sensibilité du capteur définie par

(ΔS_m)/(Δz)

.
Q 37. Application numérique Le capteur permet de mesurer la tension de sortie à 10 mV près. En déduire le plus petit écart relatif mesurable par rapport à la position d'équilibre. On prendra

E = 6, 00 V, K_m = 1, 00 V^(- 1)

IV Énergétique du Transrapid

Q 38. En vous appuyant sur les documents fournis (annexes 1 et 2), évaluer les puissances consommées par le Transrapid et par un train conventionnel sur rail lorsqu'ils circulent à

300 km \cdot h^(- 1)

. Discuter de la pertinence du dispositif Transrapid.
Le constructeur indique que la distance de freinage du Transrapid est de

3, 6 km

300 km \cdot h^(- 1)

.
Q 39. En déduire la puissance de freinage, supposée constante au cours du freinage, en négligeant la trainée aérodynamique du train devant la force de freinage.

On pourra établir la loi de variation de la vitesse du train en fonction de la distance

x

parcourue à partir du début du freinage.
Q 40. Toujours dans la même approximation, calculer la valeur moyenne de la puissance de la trainée aérodynamique du train pendant la durée du freinage et la comparer à la puissance de freinage déterminée à la question précédente.
Q 41. Commenter la qualité de l'approximation utilisée.

Données et formulaire

Perméabilité magnétique du vide

μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1); ε_0 = 8, 854 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1); e = 1, 602 \times 10^(- 19)C; g = 9, 8 m \cdot s^(- 2); c_e = 4, 2 kJ \cdot kg^(- 1) \cdot K^(- 1)

Permittivité diélectrique du vide
Charge élémentaire
Intensité du champ de pesanteur terrestre
Capacité thermique massique de l'eau liquide

Loi de Newton du transfert conducto-convectif entre un solide et un fluide

P = hSΔT

où

P

est la puissance thermique échangée,

S

la surface de contact solide-fluide et

ΔT

la différence de température entre la surface du solide et celle du fluide très loin du solide. Pour le coefficient de transfert thermique conductoconvectif

h

, on prendra ici

h \approx 100 W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)

Annexe 1

Caractéristiques du solénoïde

Diamètre $D$	Longueur $L$	Nombre de spires $N$	Diamètre du fil de cuivre $d$
$0, 2 m$	$0, 5 m$	10000	$2, 0 mm$

Données sur le cuivre

Masse volumique
Capacité thermique massique
Résistivité électrique
Température de fusion

μ = 8, 96 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3); c = 385 J \cdot kg^(- 1) \cdot K^(- 1); ρ = 1, 68 \times 10^(- 8)Ω \cdot m; T_f = 1356 K

Annexe 2

Données comparatives Transrapid - TGV

	Transrapid	TGV duplex
Masse (tonnes)	190	390
Nombre de places	310	510
Longueur (m)	79,7	200
Puissance d'une motrice (kW)		8800
Composition du train	3 voitures motrices	motrice - 8 voitures - motrice
Type de moteur	Moteur synchrone linéaire	Moteur rotatif asynchrone embarqué dans la motrice
Alimentation	Sous-stations réparties sur la voie	Caténaire
Section aérodynamique ( $m^2$ )	11	12
$C_x$	0,24	0,35

D'après «Techniques de l'ingénieur - Ingénierie des transports | Systèmes ferroviaires»

Le Transrapid fonctionne avec des moteurs linéaires synchrones dont les bobinages «inducteurs » sont disposés le long de la voie. Les bogies d'articulation des rames comportent l'ensemble des «induits» de motorisation. Les constructeurs ont également combiné, sous les voies, les électroaimants de support vertical et le guidage. La résistance à l'avancement du train due au contact sur les rails horizontaux et alignés est définie par une action tangentielle, opposée au mouvement, dont la norme

‖T⃗‖

peut s'écrire sous la forme

‖T⃗‖ = μ(V)‖N⃗‖

où

V

est la vitesse du train,

N⃗

la composante de la réaction normale du rail sur le train et

μ(V)

le coefficient d'adhérence dont la forme est donnée figure 7.

Figure 7 Adhérence maximale sollicitable pour un train à grande vitesse en fonction de la vitesse et de l'état du rail

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-Chimie 1 PSI 2018 ?

Sur le magnétisme et le ferromagnétisme, la conversion électro-magnéto-mécanique, les circuits électriques et le filtrage, la thermodynamique et la mécanique des fluides, autour des trains à sustentation magnétique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Physique-Chimie 1 PSI 2018 ?

Des équations de Maxwell mal citées, le théorème d'Ampère écrit avec B au lieu de H, des applications numériques aberrantes non commentées, un diagramme de Bode incomplet et une force de freinage supposée constante à tort.

Le sujet Centrale Physique-Chimie 1 PSI 2018 est-il long ?

Selon le rapport, ses 41 questions forment un sujet de longueur très raisonnable pour la durée de l'épreuve, et de nombreux candidats l'ont parcouru en entier.

Comment traiter les questions non guidées de Centrale Physique-Chimie 1 PSI 2018 ?

Le jury apprécie qu'on annonce les étapes du raisonnement avant de calculer et qu'on explicite les hypothèses simplificatrices, comme celle du solénoïde infini en Q1.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 PSI 2018

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