Les plasmas sont des milieux macroscopiquement neutres, partiellement ou totalement ionisés. Naturels ou artificiels, on les rencontre sous de nombreuses formes: arcs et décharges électriques, foudre, vent solaire, ionosphère, étoiles, lasers à gaz... Dans ce problème on se propose de déterminer par interférométrie la densité électronique n_e d'un plasma d'argon créé par une onde de choc. On étudiera en premier lieu certaines propriétés générales des plasmas, puis les caractéristiques d'une onde de choc, et pour finir, le dispositif expérimental permettant la mesure de la densité électronique. Les différentes parties sont en grande partie indépendantes. On donne le laplacien en coordonnées sphériques d'une fonction f(r) :
Δf(r) = 1/r(∂^2(rf(r)))/(∂r^2).
Les données numériques nécessaires à la résolution de ce problème sont données ci-dessous :
Permittivité diélectrique du vide
ε_0 = (10^(− 9))/(36π) F ⋅ m^(− 1)
Constante de Boltzmann
k_B = 1, 38 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)
Charge élémentaire
e = 1, 60 × 10^(− 19)C
Masse de l'électron
m_e = 9, 11 × 10^(− 31) kg
Constante de Planck
h = 6, 62 × 10^(− 34) J ⋅ s
Nombre d'Avogadro
N_A = 6, 02 × 10^(23) mol^(− 1)
Énergie d'ionisation de l'atome d'Argon
E_(ion) = 15, 7eV
Masse molaire de l'argon
M = 39, 9 g ⋅ mol^(− 1)
Constante des gaz parfaits
R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1)
Vitesse de la lumière dans le vide
c = 3, 00 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Partie I - Quelques généralités sur les plasmas
On considère un plasma d'argon contenant, en moyenne et par unité de volume, n_e électrons libres de masse m_e et de charge − e, n_i = n_e ions Ar^+de
Filière PSI
masse m_i et n_0 atomes Ar de masse m_0. On définit le degré d'ionisation de ce plasma par le rapport
α = (n_e)/(n_e + n_0).
On considère d'autre part que le plasma est en équilibre thermodynamique local, ce qui permet de définir la température thermodynamique T de ce plasma.
I.A - Étude de l'écart local à la neutralité : longueur de Debye
Considérons un ion argon Ar^+particulier, placé en O, et pris comme origine. Du fait de l'attraction Coulombienne, au voisinage de cet ion, on observe un surplus de charge négative, responsable d'un écart local à la neutralité globale du plasma. Soit V(r) le potentiel qui règne en un point M situé à la distance r de l'ion Ar^+situé en O (l'origine des potentiels est prise à l'infini). Les densités volumiques d'ions et d'électrons en M s'écrivent respectivement :
avec k_B constante de Boltzmann.
I.A.1) Quelle(s) remarque(s) vous suggère(nt) les expressions de n_+et n_−? Quel nom donne-t-on usuellement à ces lois de répartition?
I.A.2)
a) Donner l'expression de la densité volumique totale de charges au point M, ρ_c(r) pour r ≠ 0.
b) Quelle est l'équation locale satisfaite en M par le potentiel V(r) ?
c) On se place dorénavant dans l'hypothèse eV(r)_(«k)k_B T. Simplifier l'équation obtenue en I.A.2-b, et la résoudre en introduisant la fonction u(r) = rV(r). On introduira pour cela deux constantes d'intégration A_1 et A_2.
d) On admet que V(∞) = 0 et qu'au voisinage immédiat de l'ion Ar^+, l'influence de sa charge, supposée ponctuelle, l'emporte sur celle des charges électroniques distribuées en volume. Déterminer les constantes A_1 et A_2. Donner ensuite l'expression du potentiel V(r) en fonction de e, ε_0 permittivité diélectrique du vide, r, et d'une distance caractéristique λ_D (appelée longueur de
Debye) que l'on explicitera en fonction de ε_0, k_B, T, n_e et e. Commenter le résultat obtenu.
I.A.3) En déduire la densité volumique totale de charge ρ_c(r) en r ≠ 0, puis la charge totale Q(r) (y compris la charge ponctuelle centrale) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r en fonction de e, λ_D et r. Discuter les cas r → 0 et r → ∞. Conclure.
I.A.4) Application numérique: on donne pour ce plasma d'Argon n_e = 3, 0 × 10^(21) m^(− 3). Calculer la valeur numérique de λ_D à la température de 1000 K , puis de 10000 K . Discuter la validité de l'approximation faite en I.A.2-c.
I.B - Comportement collectif d'un plasma : pulsation plasma
Tout gaz ionisé dont la dimension caractéristique est grande devant la longueur de Debye λ_D est dominé par les effets collectifs induits par la charge d'espace, effets qui viennent masquer les comportements individuels étudiés dans le I.A. Pour illustrer le comportement collectif, qui se manifeste notamment lorsqu'on observe ses fluctuations autour de l'équilibre, on s'intéresse à une boule de plasma de centre O et de rayon R, qu'on considérera comme la superposition de deux fluides incompressibles : un fluide d'électrons, susceptible de se
Figure 1
mouvoir, et un fluide d'ions qu'on suppose au repos (les densités ioniques et électroniques des deux fluides précédents sont considérées comme uniformes). On admet qu'à l'instant t, le gaz d'électrons s'est déplacé radialement et qu'il occupe la région de l'espace comprise entre deux sphères, une sphère de rayon r_0(t), et une sphère de rayon R + r_1(t), avec r_1(t) très petit devant R (voir figure 1).
I.B.1) Sachant que le fluide d'électrons est supposé incompressible, quelle est la relation qui relie r_0(t) à r_1(t) et R ?
I.B.2) On considère un électron de ce fluide, situé au point M à la distance r de O, avec r ∈ [r_0, R]. Déterminer, en fonction de e, n_e, r, ε_0 et r_0(t) puis de e, n_e, R, r, ε_0 et r_1(t), le champ électrique E⃗(M, t) régnant en M à l'instant t. En déduire la force électrique s'exerçant sur l'électron situé en M.
I.B.3) Un électron, évoluant à la distance moyenne R du point O, possède à l'instant t le vecteur vitesse r˙_1(t)u⃗_r. De même, le vecteur vitesse d'un électron oscillant autour du point M précédent est v⃗(r, t) = v(r, t)u⃗_r. En utilisant l'incompressibilité du gaz d'électrons, écrire la relation existant entre la vitesse v(r, t) de l'électron, r˙_1(t), r et R.
I.B.4) Déduire des deux questions précédentes l'équation différentielle satisfaite par r_1(t). Mettre en évidence l'existence d'une pulsation ω_p caractéristi-
que de ce comportement collectif, appelée pulsation plasma, dont on donnera l'expression en fonction de n_e, e, m_e et ε_0.
I.B.5) Quel phénomène vient en pratique amortir les oscillations collectives du plasma?
I.B.6) Calculer, pour un plasma d'argon de densité électronique n_e = 3, 0 × 10^(21) m^(− 3) à la température de 10000 K , la valeur de la pulsation plasma ω_p. En réalité, à un éventuel mouvement pulsatoire collectif, radial, se superpose le mouvement désordonné du plasma, dû à l'agitation thermique de ses constituants. L'ordre de grandeur de la section efficace moyenne σ_(eff) lors d'une collision élastique ion-électron est de 5 × 10^(− 17) m^2. On donne d'autre part l'expression de la valeur moyenne du module de la vitesse d'un électron :
v¯ = √((8k_B T)/(πm_e)).
Compte tenu de ces valeurs, le mouvement collectif peut-il être mis en évidence?
Partie II - Étude d'une onde de choc droite dans le gaz
argon
La température d'un gaz peut être fortement élevée par compression adiabatique ; l'ionisation a alors lieu, et un plasma se forme. Une telle compression peut être obtenue par une onde de choc. Une onde de choc droite est une surface plane au travers de laquelle les variables caractérisant l'état fluide subissent une discontinuité, ou un «saut». Cette onde de choc se propage à une vitesse U⃗ normale à la surface de discontinuité par rapport au référentiel de l'observateur. Le passage de cette onde de choc dans l'argon gazeux est responsable de l'apparition d'un plasma partiellement ionisé.
Dans le cadre de notre étude, l'argon est contenu dans un tube rectangulaire, de section S suivant les axes OX et OY, de grande longueur suivant l'axe OZ (voir figure 2 ci-après). O est choisi à l'extrémité gauche du tube, et le référentiel R(O, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z) lié à la cuve est supposé galiléen. On note R^′(O^′, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z) le référentiel lié à l'onde de choc. Les coordonnées d'un point quelconque M dans R (resp. R^′ ) sont ( X, Y, Z ) (resp. X^′ = X, Y^′ = Y, Z^′ ). À l'instant initial t = 0, l'onde de choc est créée dans le plan Z = 0; elle se propage ensuite suivant l'axe OZ avec une vitesse U⃗ = Ue⃗_z(U > 0) uniforme et supérieure à celle du son dans le même milieu.
Pour Z^′ > 0, l'argon, qui n'a pas encore été atteint par l'onde de choc et qui est encore immobile dans R, est sous forme gazeuse (région 1). Pour Z^′ < 0 (région
2), l'argon est sous forme d'un plasma partiellement ionisé ( Ar, Ar^+, e^−) en mouvement par rapport à R à la vitesse uniforme V⃗ = Ve⃗_z avec V > 0.
Pour simplifier l'étude, on adopte les hypothèses suivantes :
les différentes grandeurs intensives caractérisant l'état du système de part et d'autre de l'onde de choc sont uniformes dans les régions considérées ;
l'écoulement est sta-
Figure 2
plasma et gaz d'argon sont en équilibre thermodynamique ;
l'onde de choc se produit de façon adiabatique non réversible.
On notera U_1^(→−) = − U_1 e_z→ (resp. U_2^(→−) = − U_2 e_z→ ) la vitesse dans R^′ de l'écoulement de la région 1 (resp. 2), T_1 (resp. T_2 ) la température, p_1 (resp. p_2 ) la pression, ρ_1 (resp. ρ_2 ) la masse volumique, h_1 (resp. h_2 ) l'enthalpie massique de la région 1 (resp. 2). U_1 et U_2 sont des grandeurs positives.
L'argon gazeux sera considéré comme un gaz parfait monoatomique constitué de n_1 molécules par unité de volume (densité particulaire), le plasma, comme un mélange idéal de trois gaz parfaits «monoatomiques »: un gaz d'électrons (de masse m_e ) de densité particulaire n_(e2), un gaz d'ions Ar^+(de masse m_i ) de densité particulaire n_(i2) = n_(e2), et un gaz d'argon (de masse m_0 ) de densité particulaire n_(02). On pose d'autre part n_2 = n_(e2) + n_(02) et α_2 = n_(e2)/(n_(e2) + n_(02)) (degré d'ionisation du plasma). On suppose d'autre part m_e < m_0, m_e < m_i et m_0 ≈ m_i.
II.A - Équation fondamentales de l'onde de choc droite
II.A.1) Afin de simplifier l'étude de l'onde de choc, on se place dans le référentiel mobile R^′. On rappelle que le gaz d'argon est initialement immobile dans le référentiel R lié à la cuve. Quelle relation simple relie U à U_1 ? Exprimer U_2 en fonction de U et de la vitesse V définie plus haut (on rappelle que V⃗ est la vitesse du plasma par rapport à R ).
II.A.2) Par application dans R^′ de principes fondamentaux à un système que l'on précisera soigneusement, établir les trois équations bilans suivantes:
II.B.1) Donner les relations reliant ρ_1 et n_1 d'une part, ρ_2 et n_2 d'autre part.
II.B.2) Donner, dans le milieu 1 , la relation liant p_1, T_1 et n_1. En déduire l'équation (4):
p_1 = ρ_1 rT_1
en donnant l'expression littérale puis la valeur numérique du coefficient r ainsi que son unité.
II.B.3) Donner, dans le milieu 2, la relation liant p_2, T_2, n_(e2) et n_(02). En déduire l'équation (5) :
p_2 = ρ_2 rT_2(1 + α_2)
II.B.4) Sachant que le milieu 1 est un gaz parfait monoatomique, donner l'expression de l'enthalpie massique h_1 en fonction de T_1, de r, et d'un coefficient numérique β dont on donnera la valeur.
II.B.5) Quelle serait l'expression de l'enthalpie massique h_2 obtenue en considérant le plasma comme mélange idéal de gaz parfaits monoatomiques, en fonction de T_2, r, β et α_2 ? En pratique, on est obligé, pour tenir compte des propriétés thermodynamiques complètes des plasmas, de rajouter à l'expression de h_2 obtenue ci-dessus un terme supplémentaire α_2 h_(ion), représentant la contribution du phénomène d'ionisation à l'enthalpie massique de l'écoulement plasmatique. h_(ion) s'obtient à partir de l'énergie d'ionisation par h_(ion) = E_(ion)/m_0. Donner alors l'expression complète de h_2 en fonction de T_2, r, β, h_(ion) et α_2. Calculer numériquement h_(ion) en J ⋅ kg^(− 1).
II.B.6) Réécrire alors l'équation (3) en fonction uniquement de α_2, r, T_2, U_2, h_(ion), T_1, U_1 et β. On obtient ainsi l'équation 3 bis.
II.B.7) L'état du gaz d'argon avant le passage de l'onde de choc est parfaitement connu de l'expérimentateur, et la vitesse de l'onde de choc est parfaitement maîtrisée. Les grandeurs p_1, T_1 (et donc ρ_1 ), ainsi que U_1 sont donc des grandeurs imposées dans cette expérience. Les inconnues du problème sont donc p_2, ρ_2, T_2, U_2, α_2 et h_2. Combien a-t-il établi d'équations indépendantes permettant de relier ces inconnues? Que pensez-vous alors de la résolution du problème?
II.B.8) L'équilibre d'ionisation-recombinaison dans le plasma d'argon en équilibre thermique se traduit par une équation d'équilibre appelée équation de Saha, dont l'expression est la suivante :
avec h constante de Planck. g_0 et g_1 sont deux constantes sans dimension physique représentant les poids statistiques de l'état électronique fondamental et du premier état excité. On donne g_0 = 1, 005 et g_1 = 5, 726. Commenter cette relation en vous aidant d'une analogie empruntée au cours de thermochimie.
Montrer que cette relation est homogène et qu'elle peut se mettre sous la forme suivante :
p_2 = A(1 − α_2^2)/(α_2^2)T_2^(5/2)exp(− B/(T_2))
avec A et B des constantes dont on donnera l'expression et l'unité. Le problème présenté est-il à présent soluble ?
II.B.9) Les équations obtenues ici, notamment l'équation de Saha, sont des équations non linéaires, et leur résolution passe par une approche numérique qu'on n'abordera pas ici. On introduit alors le nombre de Mach
M_1 = (U_1)/(√(γrT_1)),
avec γ = 5/3 dans le gaz argon.
Pour T_1 = 300 K, p_1 = 93, 3 Pa et M_1 = 20, 0 on trouve: α_2 = 0, 335, T_2 = 1, 30 × 10^4 K et ρ_2 = 0, 0159 kg ⋅ m^(− 3).
Que représente physiquement la quantité √(γrT_1) ?
Déterminer la vitesse U_2 et la pression p_2 correspondant aux données précédentes.
Déduire de ce qui précède la vitesse V avec laquelle le plasma se déplace dans le repère R (se reporter au résultat de la question II.A.1).
Partie III - Détermination interférométrique de la densité électronique du plasma d'argon
On se propose d'étudier la méthode expérimentale de détermination interférométrique de la densité électronique n_e du plasma d'argon créé par l'onde de choc précédente.
On utilise pour cela le montage de Mach-Zehnder représenté figure 3. Un faisceau laser de pulsation ω et de longueur d'onde dans le vide λ = 0, 6328μ m est divisé en deux faisceaux de même intensité par une lame séparatrice ( S ). Il transite ensuite selon deux trajets de même longueur jusqu'à un récep-
teur optique ( R ) supposé ponctuel. L'un des chemins traverse la largeur L du tube mentionné dans la partie II, parallèlement à OX et au voisinage de Z = L/2. L'autre s'effectue dans l'air, d'indice pris égal à celui du vide. On prendra pour les applications numériques L = 10, 0 cm.
On considérera que le faisceau laser initial peut être représenté par une onde électromagnétique plane monochromatique, d'intensité I_0 et que l'indice du gaz argon de faible densité est celui du vide.
III.A - Détermination de l'indice optique du plasma d'argon
On se place dans le référentiel lié au plasma, supposé galiléen. Dans ce référentiel, on considère le mouvement de l'un de ses électrons libres, en présence d'une onde électromagnétique plane de pulsation ω. On note r⃗(t) le vecteur position de cet électron à l'instant t dans le référentiel considéré. On utilisera pour ce plasma les notations de la partie I. On adopte les hypothèses simplificatrices suivantes :
le rôle du champ magnétique de l'onde est négligeable ; l'onde agit donc selon son seul champ électrique ;
l'expression complexe du champ électrique de l'onde agissant sur l'électron peut être écrite sous la forme simplifiée suivante : E⃗_– = E_0^(→−)e^(iωt);
l'électron est soumis de la part du plasma à une force de rappel d'expression
F⃗_p = − (n_e e^2)/(ε_0)r⃗;
les ions sont supposés immobiles ;
la force de frottement induite par les collisions est négligeable.
III.A.1) Discuter et justifier chacune des hypothèses adoptées. On pourra se servir des résultats de la partie I.
III.A.2) Écrire et résoudre, en régime d'oscillations forcées, l'équation du mouvement de cet électron. On adoptera avec profit la notation complexe, et on introduira la pulsation plasma ω_p.
III.A.3) Chaque électron, écarté de sa_position d'équilibre due aux ions Ar^+, entraîne l'existence d'un dipôle p⃗ = − er⃗. Déterminer, en notation complexe, le vecteur polarisation P⃗_– du plasma. En déduire la susceptibilité diélectrique χ_e(ω) de ce milieu, puis sa permittivité diélectrique relative ε_R. Tracer le graphe de ε_R en fonction de ω.
III.A.4) Établir l'équation de dispersion du plasma (relation entre le module k du vecteur d'onde et la pulsation ω ). En déduire l'indice optique de ce milieu, n_–_p(ω) (grandeur éventuellement complexe). Étudier alors le comportement du plasma en fonction de la pulsation excitatrice ω. Que se passe-t-il lorsque ω → ∞ ?
III.A.5) Montrer que, si ω_p « ω (condition 1) l'indice du plasma prend l'expression simplifiée suivante :
n_–_p(ω) = 1 − 1/2((ω_p)/ω)^2.
Traduire la condition 1 en une condition numérique sur la densité électronique n_e (on rappelle que la pulsation ω est celle du faisceau laser de longueur d'onde dans le vide λ = 0, 6328μ m ). Expérimentalement, on n'a jamais n_e > 10^(24) m^(− 3). La condition 1 est-elle alors toujours satisfaite ?
III.B - Interférométrie laser
On suppose désormais que la condition 1 du III.A. 5 est satisfaite.
III.B.1) On admet que chacune des deux lames séparatrices S de l'interféromètre représenté sur la figure 3 possède un coefficient de réflexion en amplitude ρ_– et un coefficient de transmission en amplitude τ_– tels que
ρ_– = (e^(i(π/2)))/(√2) = i/(√2) et τ_– = 1/(√2)
Grâce à ces séparatrices, l'interféromètre de Mach-Zehnder peut être équipé d'un deuxième récepteur ( R^′ ), représenté en pointillés sur la figure 3 , susceptible de recevoir lui aussi deux faisceaux lumineux issus du faisceau initial d'intensité I_0.
Pour un certain état du tube contenant l'argon, les deux rayons qui interfèrent sur le récepteur ( R ) ont une différence de marche δ. Quel est le déphasage φ correspondant? Exprimer φ^′, déphasage entre les deux rayons pouvant interférer sur ( R^′ ), en fonction de φ.
III.B.2) Démontrer que l'intensité lumineuse recueillie par ( R ) peut se mettre sous la forme :
I(t) = I_0 cos^2((πδ(t))/λ)
Quelle est l'intensité lumineuse I^′(t) qui peut être recueillie sur ( R^′ ) ? Quelle est la relation entre I_0, I(t) et I^′(t) ?
Exprimer δ(t) en fonction de n(t) et L, avec n(t) indice du milieu contenu dans le tube au voisinage de L/2 à l'instant t, sachant que δ = 0 lorsque n = 1.
III.B.3) Montrer que le rapport δ(t)/λ peut se mettre sous la forme: δ(t)/λ = K(t)n_e λL. Préciser l'unité et l'évolution temporelle de la valeur numérique de K(t) (on rappelle que le front de l'onde de choc, qui se trouve en Z = 0 à t = 0, se déplace dans le tube, selon OZ à la vitesse U ).
III.B.4) Après le passage de l'onde de choc, le plasma ne présente pas, comme nous l'avions supposé dans la partie II, une distribution électronique uniforme. La figure 4 représente, à un instant donné, dans le référentiel R^′ lié à l'onde de choc, l'allure réelle du profil de densité électronique n_e(Z^′). Sa valeur maximale, mesurée juste derrière le choc, est notée n_(eM). C'est cette valeur n_(eM) qui correspond en fait à la valeur de n_(e2) de la partie II. Donner l'allure temporelle du signal observé pour :
n_(eM) = 3 × 10^(21) m^(− 3)
n_(eM) = 5 × 10^(23) m^(− 3)
III.B.5) Montrer que, si n_(eM) est supérieure à une valeur critique n_(e cr) qu'on déterminera, le passage de l'onde de choc produira au moins une oscillation du signal délivré par ( R ) autour de la valeur I_0/2. C'est ce critère qui garantit une détermination suffisamment précise de n_e(Z^′). Conclure sur la qualité des observations dans le cadre du III.B.4.
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