Mines Physique 1 PSI 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

(Durée de l'épreuve : 3 heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I - Filière PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A ; vecteur unitaire → â. Norme de A : ‖A‖

Le fonctionnement des organismes vivants met en jeu des phénomènes physiques et biochimiques complexes. L'étude de ces phénomènes a donné naissance à la biophysique. On aborde dans ce problème une modélisation simplifiée de certains phénomènes physiques mis en jeu dans la dynamique du corps humain et dans certaines techniques exploratoires. Le problème comporte deux parties indépendantes.

Le sang joue un rôle moteur dans le transport de l'oxygène et des nutriments vers les organes du corps et le transport des déchets produits par ces organes vers des organes spécialisés dans le traitement des déchets. Le cœur joue le rôle d'une pompe faisant circuler le sang vers les organes. Le sang arrive en contact avec les organes en passant par des artères, puis des artérioles et finalement des capillaires. Il revient au cœur en partant des capillaires, transitant par les veinules pour aboutir aux veines.

Le sang est un fluide visqueux, considéré comme incompressible. Les notations étant standard (la masse volumique est notée ρ et le coefficient de viscosité dynamique est noté η ), l'équation de Navier-Stokes, donnée ci-dessous, est une forme du théorème de la résultante dynamique, appliqué à une particule de fluide :

Toujours avec les notations standard, voici des relations utiles d'analyse vectorielle, pour
des phénomènes à symétrie cylindrique (∂/(∂θ) = 0) :
grad(f) = (∂f)/(∂r)r^ + (∂f)/(∂z)z^, div(A) = 1/r(∂(rA_r))/(∂r) + (∂A_z)/(∂z), Δf = 1/r∂/(∂r)(r(∂f)/(∂r)) + (∂^2 f)/(∂z^2).
θ1 - Quelle est votre estimation du volume sanguin d'un adulte? Définir les termes suivants : particule fluide, fluide incompressible, écoulement incompressible, écoulement laminaire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds R_e; préciser la nature de l'écoulement

(laminaire ou turbulent) selon la valeur de R_e, comparée au nombre de Reynolds critique R_(ec) = 2000.
θ2 - On modélise l'écoulement (supposé stationnaire) du sang dans un tuyau cylindrique d'axe Oz par un champ de vitesses de la forme v = v_z(r, θ, z)z^. Montrer que le champ des vitesses ne dépend que de la variable r.
θ3 - On néglige l'effet de la pesanteur. Montrer, à partir de l'équation de Navier-Stokes, que la pression p ne dépend que de z, puis que les équations différentielles vérifiées par les champs de pression et de vitesse sont, respectivement, (dp)/(dz) = k et 1/rd/(dr)(r(dv_z(r))/(dr)) = k/η, où k est une constante.
θ4 - Le tuyau cylindrique est rigide, horizontal, de longueur L et de rayon R. On note les pressions moyennes aux sections d'entrée et de sortie du tuyau par p(0) = p_e, p(L) = p_s. Exprimer k en fonction de ces données. Déterminer v_z(r), compte-tenu de la condition à la limite v_z(R) = 0.
θ5 - Exprimer le débit volumique Q en fonction de Δp = p_e − p_s, R, L et η; en déduire la loi de Hagen-Poiseuille, Q = (Δp)/(R_h), en exprimant la résistance hydraulique R_h en fonction de R, L et η. Déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de R_h en fonction des symboles M, L, T ayant respectivement les dimensions d'une masse, d'une longueur et d'un temps.
θ6 - L'expérience donne la relation Q = A(p_e − p_s)^n où n est un exposant dépendant de l'organe irrigué et A une constante dépendant de facteurs géométriques. Au vu de l'expérience, quelles sont les hypothèses du modèle qui vous semblent les plus critiquables?
θ7 - En utilisant la loi de Hagen-Poiseuille, déterminer ⟨v_z⟩, vitesse moyenne de l'écoulement du sang dans un capillaire où η = 4, 5.10^(− 3)Pl, R = 10^(− 5) m, L = 10^(− 3) m et p_e − p_s = 10^3 Pa. La masse volumique du sang étant ρ = 1, 05.10^3 kg.m^(− 3), déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans ce capillaire.
θ8 - La vitesse moyenne du sang dans une artère où R = 2 mm et L = 10 cm est v_m = 2, 6 m.s^(− 1). Calculer le débit volumique et le gradient de pression régnant dans l'artère. Déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans cette artère.
θ9 - La connaissance de la vitesse du sang est une aide au diagnostic. La mesure peut se réaliser par vélocimétrie Doppler ultrasonore. Une sonde émet une onde périodique ultraso-

nore de célérité c ≈ 1500 m.s^(− 1) dans le corps et de fréquence f = 4MHz. Un globule rouge, assimilé à une sphère de rayon r = 10μ m, rétrodiffuse une partie de l'onde qu'il reçoit. Doit-on tenir compte de la diffraction de l'onde ultrasonore par le globule rouge?
θ10 - L'effet Doppler consiste en ce que la fréquence f^′ d'une onde, perçue par un récepteur de vitesse v_r, est différente de la fréquence f de cette onde, émise par un émetteur de vitesse v_e. Admettant la formule f^′ = ⌊(1 − β_r cos(θ_r))/(1 − β_e cos(θ_e))⌋f où β_r = (‖v_r‖)/c et β_e = (‖v_e‖)/c sont constants, calculer la fréquence f^′ reçue par le globule

rouge (la sonde est fixe). La sonde émettrice peut aussi fonctionner en récepteur. Elle réceptionne alors, en provenance du globule rouge (en mouvement), un signal de fréquence f^(′′); on mesure Δf = f − f^(′′). Compte tenu de l'inégalité ‖v‖≪c, exprimer la vitesse v = ‖v‖ du globule rouge en fonction de (Δf)/f, c et α. Calculer v pour Δf = 3kHz et α = 30^∘.
θ11-L'écoulement est laminaire, le profil des vitesses est le profil parabolique déterminé à la question 4 et l'on a 0 ≤ v ≤ v_(max); préciser les bornes du spectre en fréquence des signaux reçus par la sonde. Pour estimer l'allure de ce spectre, on considère le modèle suivant: l'intensité du signal réémis par un globule rouge est indépendante de la fréquence, et on la note I_0; dans une section de cote z, le nombre de globules compris entre les rayons r et r + dr est dn = (n_0)/(πR^2)2πr dr, où n_0 est une constante. Exprimer alors dn en fonction de df^(′′) et en déduire l'allure du spectre.
θ12 - Les organes ont un besoin régulier en oxygène. Le coefficient de diffusion de l'oxygène dans un milieu aqueux est D_(eau) ≈ 10^(− 9) m^2.s^(− 1). Montrer, par une estimation numérique qualitative, que le transport de l'oxygène vers un organe ne saurait se faire par le seul phénomène de diffusion à travers la peau (on trouvera que la durée de diffusion se mesure, dans ce cas, en années). Par quel mécanisme dominant le sang transporte-t-il l’oxygène ?

θ13 - Le sang se charge en oxygène par diffusion de l'oxygène contenu dans les alvéoles du poumon vers le capillaire périphérique de l'alvéole. Les alvéoles sont supposées sphériques (Fig. ci-contre), de rayon R_(alv) ≈ 10^(− 4) m. Le sang circule dans le capillaire à la vitesse moyenne v ≈ 10^(− 3) m ⋅ s^(− 1). Calculer le temps de contact, δt_s, du sang avec l'alvéole. Le rayon du capillaire est R_(cap) ≈ 10^(− 5) m. Le coefficient de diffusion de l'oxygène dans l'air est D_(air) ≈ 1, 8 × 10^(− 5) m^2.s^(− 1). Estimer le temps de diffusion d'une molécule d'oxygène par ce mécanisme, en convenant que c'est la somme du temps de diffusion dans l'air (alvéole) et du temps de diffusion en milieu aqueux (capillaire). Montrer que l'échange d'air entre l'alvéole et le sang a maintenant le temps de s'établir.
θ14 - L'alimentation d'un organe en un nutriment transporté par le sang s'effectue par échange entre le sang et l'organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des

tubes cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant une artériole à une veinule. On note C_c(z) la concentration molaire ( mol.m^(− 3) ) d'un nutriment dans le capillaire et C_(org)(z) celle du nutriment dans l'organe à proximité de la surface du capillaire. Le capillaire cède à l'organe le nutriment avec une densité de courant molaire (flux surfacique) j = γ(C_c(z) − C_(org)(z)) où γ est un paramètre constant. Déterminer la dimension de γ. On considère le régime stationnaire; effectuer le bilan de matière en nutriment, exprimant l'équilibre dynamique des flux entrant et sortant entre les tranches de cotes z et z + dz et en déduire l'équation vérifiée par C_c(z), en supposant que le sang a une vitesse d'écoulement constante, v_S. Cette équation fait intervenir la fonction C_(org)(z).

θ15 - On admet ici que C_(org)(z) = K, une constante ; déterminer alors C_c(z) en fonction de K, C_c(0) et de la longueur caractéristique L_0 = (Rv)/(2γ). On considère que l'organe est correctement alimenté si |(C_c(L) − K)/(C_c(0) − K)| ≥ 30%. Sachant que v_S = 2, 8 × 10^(− 3) m.s^(− 1), R = 10^(− 5) m et L = 1 mm, déterminer la valeur maximale du coefficient γ pour que la relation précédente soit satisfaite.

θ16 - On considère la propagation isentropique et unidimensionnelle (axe Ox ) d'une onde acoustique dans un milieu aqueux de masse volumique au repos μ_0. La célérité de l'onde est notée c_0. On pose aussi :

La condition d'équilibre du milieu s'exprime par grad(P_0) = μ_0 g. Montrer que, au premier ordre, l'équation d'Euler s'écrit μ_0(∂vˆ)/∂ = gδμ − grad(p). Donner l'équation locale de conservation de la masse. Avec la relation χ_S = 1/(μ_0)((∂μ)/(∂p))_(p = 0), qui traduit le caractère isentropique de l'évolution du fluide, nous disposons maintenant de trois équations.
θ17 - Déterminer l'équation de propagation vérifiée par la surpression p. Donner l'expression de la célérité c_0 en fonction de μ_0 et du coefficient de compressibilité isentro-
pique χ_S du milieu. Dans toute la suite, nous négligerons d'une part gδμ devant grad(p) d'autre part div(gδμ) devant Δp. Que devient sous ces hypothèses l'équation de propagation vérifiée par la surpression p ?
θ18 - L'onde acoustique est supposée désormais sinusoïdale, de pulsation ω; on note respectivement p_m, δμ_m et v_m les amplitudes maximales de la surpression, de la variation de masse volumique et de la vitesse vibratoire ; par exemple, p(x, t) = p_m exp[j(kx − ωt)] avec, comme déduit de l'équation de propagation, ω = c_0 k. Définir et déterminer l'expression de l'impédance acoustique complexe Z = (p(x, t))/(v(x, t)).
θ19 - On rappelle que l'intensité est I = ⟨pv⟩_t, la moyenne étant prise dans le temps. Exprimer I en fonction de p_m, μ_0 et c_0, et en fonction de p_m et de Z. Exprimer ‖gδμ_m‖, ‖grad(p)‖; et en déduire l'expression de (‖gδμ‖)/(‖grad(p)‖) en fonction de g, ω et c_0.
θ20 - On donne μ_0 ≈ 10^3 kg.m^(− 3); dans les conditions de l'expérience, c_0 = 1470 m.s^(− 1); l'intensité de l'onde est I = 0, 1 × 10^(− 3) W ⋅ m^(− 2), sa fréquence est f = ω/(2π) = 0, 3MHz. On prendra enfin g ≈ 10 m.s^(− 2) et P_0 ≈ 10^5 Pa. Évaluer numériquement ‖gδμ_m‖, ‖grad(p)‖, (δμ_m)/(μ_0), (p_m)/(P_0), (V_m)/(c_0) et χ_S; vérifier au passage que deux de ces quantités sont identiques. Les hypothèses de l'acoustique linéaire sont-elles satisfaites?

θ21 - On modélise le pied par un os d'épaisseur δ = 3, 1 cm, d'impédance Z_(Os) et dont les tissus mous ont une impédance Z_(eau) égale à celle de l'eau. On se propose de mesurer la masse volumique de la matière osseuse des os du pied à l'aide du dispositif suivant : l'émetteur E émet une onde ultrasonore de fréquence f ajustable et d'intensité I_E; le récepteur R réceptionne l'onde et en mesure, d'une part le temps de traversée dans le milieu intermédiaire, d'autre part l'intensité I_R. On néglige dans l'analyse tout phénomène de réflexion multiple. Dans une première expérience, le milieu séparant E et R est aqueux ; le temps de traversée de la distance ℓ est t_A. Dans une seconde expérience, on insère le pied entre E et R et on mesure le temps de traversée t_P. Exprimer la célérité c_(Os) de l'onde ultrasonore dans la matière osseuse en fonction de celle de l'eau c_(eau), de δ et de τ = t_A − t_P. Calculer numériquement c_(Os) pour c_(eau) = 1470 m.s^(− 1) et τ = 1, 4μ s.
θ22 - On admet ici, (ce n'est qu'un modèle) que, à la différence de la matière osseuse, l'eau et les tissus mous n'atténuent pas l'onde. La diminution de l'intensité acoustique I(x) dans la matière osseuse en fonction de x, épaisseur de matière osseuse parcourue par l'onde, est exponentielle : I(x) = I(0)exp(− αx), où α = Vf est un coefficient proportionnel à la fréquence f de l'onde ( V est une constante). Donner l'expression de l'intensité I_R, en fonction de I_E, de Vfδ et du coefficient de transmission en énergie, T, entre le milieu aqueux et le milieu osseux.
θ23 - Une surface plane S fixe et perpendiculaire à un axe Ox sépare deux milieux homogènes, d'impédances acoustiques respectives Z_1 et Z_2. Une onde acoustique plane se propage parallèlement à l'axe Ox et travers S sous incidence normale. Rappelons alors que le coefficient de transmission en énergie de cette onde est T = T_(1 → 2) = T_(2 → 1) = 4(Z_1 Z_2)/((Z_1 + Z_2)^2).

Les résultats de mesure ci-dessous font intervenir une intensité de référence, I_0, qui ne joue pas de rôle dans l'interprétation des données.
Déduire de ces dernières et des analyses précédentes la valeur numérique de la constante V.

θ24 - Calculer la masse volumique de la matière osseuse analysée, μ_(Os). Comparer μ_(Os) à la masse volumique μ_1 = 2, 0 g.cm^(− 3) pour un sujet sain. Le coefficient T étant connu à ΔT près, estimer |1/(μ_(Os))(Δμ_(Os))/(ΔT)| l'imprécision relative du résultat obtenu.

FIN DE L'ÉPREUVE