Mines Physique 2 PSI 2004Sujet et rapport du jury

(Durée de l'épreuve : 4 heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages.
Une illustration est fournie page 8, à titre strictement documentaire.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée α est noté u_α.

Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, phénomène dont on a spéculé l'existence dès 1964 et revendiqué l’observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1)! La même année, une réfutation détaillée des théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette

réfutation n'a pas été, à ce jour, contredite. La cinquième partie de ce problème évoque un élément (marginal) de la réfutation, l’argument principal étant hors programme. Les trois premières parties, assez proches du cours, concernent successivement la propagation des ondes planes dans un matériau homogène, le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène et l’optique dans un «milieu négatif ». La quatrième partie présente le matériau étudié.

L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz , on étudie la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homogène de permittivité diélectrique ε = ε_0 ε_r et de perméabilité magnétique μ = μ_0 μ_r, l'une et l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polarisée selon la direction de vecteur unitaire u_y, s'écrit E_– = E_0 u_y expj(ωt − kz), ce qui définit le vecteur de propagation k = ku_z et la norme, E_0, de ce champ ; E_0 est donc réel.

Quelques relations d'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées dans l'annexe, en fin de problème.
θ1 - Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ B_– de cette onde et celle de la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, ⟨s⟩_t. Préciser l'orientation de ces deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et son sens à ceux du vecteur de propagation k.
θ2 - L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est généralement défini comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, c, par la vitesse de la lumière dans ce milieu, v. Établir l'équation de propagation du champ électromagnétique (équation de d'Alembert) et en déduire l'expression de n = c/v en fonction de ε_r et de μ_r. Cet indice est, à l'évidence, une quantité positive.
θ3 - Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu obtenir simultanément ε < 0 et μ < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment définir alors le sens de propagation de l'onde (selon le vecteur de propagation k ou selon S ) ?

Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l'orientation des angles. Le plan d'équation z = 0 sépare l'espace en deux régions; la région z < 0 contient de l'air, dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide, la région z > 0 contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, «ordinaire»: ε > 0 et μ > 0.
L'onde incidente, provenant de la région z < 0, est monochromatique plane, de fréquence angulaire ω; son vecteur d'onde, noté k_0 et situé dans le plan xOz, fait un angle θ > 0 avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté E_–_i; la notation

précise la structure du champ et les notations : seule la composante A_(iy) de l'amplitude A_i n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est k_0 = − k_0 sin(θ)u_x + k_0 cos(θ)u_z.
θ4 - Quelle relation géométrique doit-on avoir entre k_0 et A_i ?
θ5 - L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ électrique E_r, d'amplitude A_r de vecteur d'onde k_r = k_(rx)u_x + k_(ry)u_y + k_(rz)u_z et de fréquence angulaire ω_r, d'autre part une onde transmise de champ électrique E_t, d'amplitude A_t de vecteur d'onde k_t = k_(tx)u_x + k_(ty)u_y + k_(tz)u_z et de fréquence angulaire ω_t. En considérant, pour toute valeur de x et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en z = 0 des composantes appropriées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire ω; établir aussi les relations

θ6 - Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion.
θ7 - On considère maintenant le cas où ε < 0 et μ < 0, tel qu'envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est négatif. On convient que, dans la région z > 0, la direction de propagation de l'onde transmise est dans le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k_t. On illustrera ce résultat par un schéma, en imposant θ > 0, c'est-à-dire k_(0x) < 0 et k_(0z) > 0. On représentera les vecteurs d'onde des ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitaires s_i et s_t. Peut-on dire, au sens de la question [2], c'est-à-dire en termes de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif ?
θ8 - On définit maintenant l'indice de réfraction par n = (sin(θ))/(sin(θ^(′′))), θ et θ^(′′) se référant à la direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ?

θ9 - On considère des ondes de très courte longueur d'onde (analogues, donc, à celles de l'optique) traversant une lame transparente à faces parallèles d'épaisseur e, constituée d'un matériau négatif et placée dans l'air. Tracer, en justifiant votre construction, le trajet d'un rayon arrivant sur ce matériau sous l'incidence θ et le traversant. Comparer au trajet dans un matériau ordinaire.
θ10 - On étudie maintenant les ondes issues d'un point source

P situé à gauche de cette lame et la traversant (Fig. ci-contre).

Aucun matériau connu n'est doté des propriétés ε < 0 et μ < 0. Il a été avancé que des milieux composites, constitués d'éléments bien plus petits que la longueur d'onde de travail, pourraient y parvenir. Dans ce cas, comme dans celui de la matière ordinaire, les ondes ne scruteraient pas les détails du milieu, mais seulement ses propriétés moyennes. On étudie ici quelques propriétés diélectriques d'un tel milieu ; l’aspect magnétique étant donc ignoré, on supposera que μ = μ_0. Un ensemble de fils conducteurs parallèles à Oz, de longueur ℓ et de rayon R, est plongé dans un matériau isolant de permittivité diélectrique ε(ω) positive et réelle. Il forme un réseau carré illimité de côté a (Fig. 3).

On étudie la propagation dans ce milieu d'une onde électromagnétique plane homogène, de pulsation ω, de longueur d'onde λ et de vecteur d'onde k = ku_x. Le champ électrique appliqué, E_a possède la direction de polarisation u_z. Le champ électromagnétique appliqué [E_a, B_a] produit dans les fils des courants volumiques variables dans le temps; au niveau

d'un fil, ces courants produisent un champ électromagnétique [E_i, B_i].
Les électrons libres, de masse m_e, de charge électrique − e et de vitesse v, d'un fil donné sont soumis au champ électromagnétique total [E_T = E_a + E_i, B_T = B_a + B_i]. Ces électrons subissent aussi la force de viscosité moyenne, qui modélise l'ensemble des interactions des électrons avec le réseau, F_f = − γv, où γ est une constante positive. On note N la densité volumique des électrons dans un fil.
θ13 - Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un électron, en négligeant les forces magnétiques devant les forces électriques. En déduire l'équation différentielle suivante vérifiée par la densité volumique de courant j dans un fil :
m_e(dj)/(dt) = − γj + Ne^2(E_a + E_i).
θ14 - Dans quelle mesure est-il légitime d'utiliser l'approximation des régimes quasi-stationnaires pour calculer, dans un fil donné, le champ électrique E_i défini plus haut?
θ15-Établir, par applications des propriétés de symétrie et du théorème d'Ampère, l'expression du champ magnétique B_∞ produit par un fil unique illimité traversé par le courant I(t), à une distance r ≥ R de son axe. On négligera, dans cette question, le courant de déplacement et l'on admettra que ce champ ne dépend que de la distance r à l'axe de ce fil.
θ16 - Montrer que ce champ dérive du potentiel vecteur A_∞ = (μ_0)/(2π)I(t)f(r)u_z et donner l'expression de f(r) satisfaisant f(R) = 0; on pourra utiliser les relations u_r ∧ u_z = − u_θ et, pour une fonction scalaire g et un vecteur constant V, rot(gV) = grad(g) ∧ V.
θ17 - On admet que le potentiel vecteur A produit par tous les autres fils au niveau d'un fil donné ne varie pas sur la section de ce fil. On admet aussi que le champ électrique E_i se confond avec le champ électromoteur d'induction. Avec une approximation acceptable, le potentiel vecteur A peut être mis sous la forme A = (μ_0)/(2π)I(t)⌊ln(a/R)⌋_()_(= F(R, a))u_z, ce qui définit la fonction F(R, a). Établir alors l'expression de E_i en fonction de la densité de courant dans le fil, supposée uniforme j, de R et de μ_0.
θ18 - En déduire, compte tenu de l'équation de la question [13], que tout se passe comme si l'on avait affaire à des électrons soumis au seul champ E_a, mais affectés d'une masse m_H différente de m_e. Donner l'expression du terme «d'habillage» δm = m_H − m_e.

日 19 - Donner le nombre de fils par maille carrée de côté a dans le réseau (attention : le même fil appartient à plusieurs mailles simultanément). Établir l'expression de la densité volumique moyenne de courant dans une maille, J_m, en fonction de j.
θ20 - Établir l'équation différentielle vérifiée par J_m : m_H(dJ_m)/(dt) + γJ_m = (πNe^2 R^2)/(a^2)E_a.
θ21 - En représentation complexe [ ∝ exp(iωt)], la densité volumique moyenne de courant dans une maille s'exprime sous la forme J_m_– = α(ω)E_a_–. Expliciter la grandeur complexe α(ω) en fonction de N, e, R, γ, a, ω et m_H.
θ22 - Justifier sommairement que les équations de Maxwell vérifiées par (E_a_–, B_a_–) font intervenir la densité moyenne J_m_–. En exprimant l'équation de Maxwell-Ampère uniquement en termes de E_a_– et de B_a_–, montrer que tout se passe comme si la permittivité diélectrique ε(ω) était remplacée par une autre expression, ε_H(ω), que l’on précisera.
θ23 - Dans quelle gamme de fréquences peut-on considérer ε_H(ω) comme une grandeur réelle négative ? on introduira γ = (m_e)/τ ( τ est le temps de relaxation) et ω_p^2 = (πe^2 R^2 N)/(a^2 m_H ε(ω)).
θ24 - Pour estimer la plausibilité numérique de certaines relations, on adopte : a = 10^(− 3) m, R = 10^(− 6) m et ε(ω) = ε_0 pour tout ω. Le métal (hypothétique) constituant le fil est de structure cubique simple, avec une maille de 3 × 10^(− 10) m. Chaque atome du métal fournit un électron libre ; enfin, μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1) et ε_0 μ_0 c^2 = 1.

Nous considérons le calcul du champ B produit par un fil de longueur finie (Fig. ci-dessous). Les relations données dans la partie C de l'annexe pourront se révéler utiles.

θ25 - Expliquer en quoi il est irréaliste de considérer un courant constant circulant dans un fil rectiligne de longueur finie. Qu'en est-il d'un courant constant circulant dans un fil rectiligne illimité ?
θ26 - Vérifier que l'application sans discernement du théorème d'Ampère à un élément rectiligne de fil de longueur 2ℓ donne un champ B indépendant de ℓ. En appliquant maintenant la loi de Biot et Savart, calculer le champ B au point M, de coordonnées cartésiennes ( 0, R, 0 ), situé dans le plan médiateur et à la distance R du fil. Commenter le résultat.
On donne : ∫(dz)/((R^2 + z^2)^(3/2)) = 1/(R^2)z/(√(R^2 + z^2)) + C^(te) = (sin(α))/(R^2) + C^(te).
θ27 - Une troisième méthode de calcul part directement des équations de Maxwell. Plaçons à chaque extrémité du fil des charges ponctuelles variables dans le temps et de signe opposé. La neutralité électrique est donc préservée et un courant I(t) = − (dq)/(dt) peut s'écouler dans le fil. Les charges produisent un champ électrique E(t), variable lui aussi dans le temps.

En utilisant la relation de Maxwell-Ampère pour les champs variables et en considérant le flux du champ électrique E(t) à travers la surface plane s'appuyant sur le contour circulaire de la figure, retrouver l'expression établie à la question 26.

A) Ondes planes

Si A_– = A_0 expi(ωt − k.r), avec A_0 constant,

Si A_0 est réel, la grandeur réelle associée à A_– est A(t) = A_0 cos(ωt − k.r).
Si B_– = B_0 expi(ωt − k.r), où B_0 est constant, ⟨A(t) ∧ B(t)⟩_t = 1/2ℜ(A_– ∧ B_–^∗).
B) Équations de Maxwell, potentiels et relations constitutives (en notation complexe)

C) Calcul de champ

Loi de Biot et Savart :

Flux dφ de E à travers ds = nda :

Angle solide correspondant à l'intérieur d'un cône de demi-angle au sommet β

D) Relations de continuité

Une structure artificielle réputée d'indice négatif : certains éléments ont la forme d'anneau circulaire, d'autres la forme de fil. Dans une certaine gamme de fréquences, cette structure macroscopique se comporte comme si elle était continue.