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Mines Physique 2 PSI 2003Sujet et rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 4 heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique II - Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
  • Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A; le vecteur unitaire pour la coordonnée α est noté u_α.

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, dont l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographie consiste en l'étude de la production et de l'utilisation d'hologrammes ; elle diffère de l'étude classique d'interférences par la complexité des ondes qui interfèrent et celle du dispositif expérimental. Un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. L'utilisation d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques.
Les deux parties de ce problème sont indépendantes entre elles ; la partie I concerne la production et la restitution d'un certain type d'hologrammes, dits épais, la partie II s'intéresse à une méthode d'enregistrement d'hologramme s'appuyant sur l'effet photoréfractif, caractérisé plus bas.
Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde dans le vide.

Partie I: Hologrammes épais

Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse plane monochromatique, de pulsation ω, de longueur d'onde λ_(réf) que l'on sépare en deux faisceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire un objet, et subit simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en faisant interférer sur une
plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé l'objet. L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, en transmission dans ce problème, une onde non plane, de pulsation ω, caractéristique de l'objet.
On note a(M, t) = A_(obj)(M)exp[i(ωt − ψ(M))] l'amplitude complexe au point M et à l'instant t de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, l'onde de référence, d'amplitude A_(réf) de phase nulle au point O et à l'instant t = 0, est caractérisée par son vecteur d'onde k_(réf) = k_(réf)(u_x sinφ + u_z cosφ). On la note A_(réf)exp[i(ωt − k_(réf).OM)] et l'on suppose, dans tout le problème, l'amplitude A_(réf) de l'onde de référence très supérieure à celle de l'onde issue de l'objet : m/2 = (A_(obj))/(A_(réf)), |m|≪1.
L'intensité I(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe s_–(M, t) sera conventionnel lement définie par le carré du module : I(M) = s_–(M, t)s_–∗(M, t) = |s_–(M, t)|^2.
Fig. 1 Enregistrement d'un hologramme
Fig. 2 Lecture en transmission d'un hologramme
On établit aisément (et l’on admettra) l’expression suivante de l’intensité lumineuse I(M) au point M de la plaque photosensible :
I(M) = I_(obj)(M) + I_(réf) + 2A_(obj)(M)A_(réf)cos[ψ(M) − k_(réf).OM]
On suppose dans tout le problème que l'objet dont on forme l'hologramme est ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz (Fig. 1); il génère alors une onde plane de vecteur d'onde k_(obj) = k_(réf)u_z, d'amplitude A_(obj)≪A_(réf) en phase avec l'onde de référence au point O. La phase de cette onde plane est donc: Ψ(M) = Ψ(x, y, z) = k_(obj).OM. On admettra, sans chercher à l'établir, que la relation [1] donne, à l'ordre le plus bas en m :
I(M) = I_0[1 + mcos(OM.Δk)],
où Δk = k_(obj) − k_(réf). La figure d'interférence est enregistrée sur une plaque photosensible parallélépipédique (c'est l'hologramme!). Ce parallélépipède est défini par − X/2 ≤ x ≤ X/2, − Y/2 ≤ y ≤ Y/2 et − e/2 ≤ z ≤ e/2. On suppose e≪X et e≪Y, inégalités dont on ne manquera pas de tirer les conséquences pratiques, en termes de diffraction. La mémoire holographique est située dans la zone de recouvrement du faisceau de référence et du faisceau issu
de l'objet. En dehors de la mémoire holographique, les ondes se propagent dans l'air, assimilé au vide. On rappelle la relation : ∫_(− u/2)^(u/2)exp_2 2iπ(ax)/λ dx = usinc(◻πau)/λ =.

Enregistrement et lecture d'un seul hologramme.

◻1 - L'onde de référence et l'onde issue de l'objet (en phase au point O ) sont de même longueur d'onde λ_(réf) et de vecteurs d'onde respectifs k_(réf)(sinφu_x + cosφu_z) et k_(réf)u_z. Déduire de la relation [1] que l'intensité lumineuse à laquelle le point M(x, y, z) de la mémoire holographique est soumis lors de l'enregistrement s'écrit :
I(M) = I_0 = 1 + mcos◻/Ak_(réf) × ◻_◻^◻ × cosφ/2 = − zsin = φ/2 = ◻ × sin = φ/2 = 2 =
◻2 - La mémoire holographique est éclairée, comme indiqué Fig. 2. L’élément de volume dт entourant un point M de cet objet émet dans ces conditions une onde diffractée en phase avec l'onde de lecture en M , d'amplitude d A(M) = KA_(lec)⌊a + bI(M)⌋dτ, où K, a et b sont des constantes positives réelles et A_(lec) représente l'amplitude de l'onde de lecture. L'amplitude diffractée à l'infini dans la drection de vecteur unitaire u_d = sinθ_d u_x + cosθ_d u_z (on néglige donc la diffraction selon Oy ) s'écrit :
A_–(u_d) = ∭_(M ∈ mémoire)dA(M) ⋅ exp{ − iΔ(M, u_d)}
où ( M, u_d ) représente le déphasage de l'onde émise en M dans la direction u_d par rapport à l'onde émise dans la même direction par le point O . La longueur d'onde de lecture est λ_(lec) ( k_(lec) = 2ð/λ_(lec) ) et son vecteur directeur unitaire est u_(lec) = sin(θ_(lec))u_x + cos(θ_(lec))u_z. Exprimer
(M, u_d ) en fonction de λ_(lec) et des vecteurs u_(lec), u_d et OM, puis en fonction de θ_(lec), θ_d, λ_(lec) et des coordonnées (x, y, z) du point M .
◻3 - L'amplitude totale A_–(θ_(lec), θ_d) de l'onde diffractée à l'infini par la mémoire holographique dans la direction u_d s'exprime en termes des trois intégrales a_1, a_2 et a_3 :
Posons Δsin_(d, l) = sin(θ_d) − sin(θ_(lec)) et Δcos_(d, l) = cos(θ_d) − cos(θ_(lec))
a_1, = ∫_(− X/2)^(X/2) dx∫_(− Y/2)^(Y/2)dy∫_(− e/2)^(e/2) dzexp{k_(lec)(Δsin_(d, l)x + Δcos_(d, l)z)}; = XYesinc◻X(Δsin_(d, l))/(λ_(lec))◻ × sinc◻e(Δcos_(d, l))/(λ_(lec))◻
et, de manière similaire :
a_2 = (..) = XYsinc∑_D^◻Xλ_(lec)^◻ − (2sinφ/2cosφ/2◻)/(λ_(ref)) × sinc∑_D^◻e◻/◻λ_(lec) + (2sin^2 φ/2◻[)/(λ_(ref)) =
a_3 = ∭dx dy dzexp ⇒ k_(lec)Δsin_(d, l) + 2ksinφ/2cosφ/2x + k_(lec)Δcos_(d, l) − 2ksin^2 φ/2z◻/2; = XYesincπx∑_(n = 1)^◻Δsinλ_(d, l) + (2sinφ/2cosφ/2)/(λ_(ref)) × sinc◻/◻(e)λ_(lec) − (2sin^2 φ/2)/(λ_(ref))
Déterminer en fonction de θ_(lec) la valeur de θ_d pour laquelle le terme indépendant de m dans A_–(θ_(lec), θ_d) est maximal. Estimer la largeur angulaire du pic principal de diffraction pour ce terme. Que dire de ce terme en dehors de son maximum principal?
◻4 - Montrer que la contribution à A_–(θ_(lec), θ_d) des deux termes dépendant de m ne prend de valeurs notables, (compte tenu des ordres de grandeur de e, X, λ_(lec) et λ_(réf) ) que si les angles θ_d, θ_(lec) et φ, tous supposés petits (devant π, par exemple), sont reliés par les relations, respectivement :
θ_(lec) = ◻1 + (λ_(lec))/(λ_(réf))◻φ/2, θ_d = ◻/◻1 − (λ_(lec))/(λ_(réf))◻◻/◻ = ◻/◻; θ_(lec) = ◻_◻^◻ − (λ_(lec))/(λ_(réf)) = φ/2, θ_d = ◻_◻^◻ + (λ_(lec))/(λ_(réf)) = ◻/2 = ◻/2
◻5-Quel est le nombre de pics principaux de diffraction observés lorsque l'angle θ_(lec) varie?
6-Dans cette question et dans la suivante, on suppose λ_(lec) = λ_(ref). Vérifier que l'on observe, pour θ_(lec) = φ, un pic de diffraction dans la direction θ_d = 0, correspondant à la reconstitution de l'image de l'objet dont on enregistre l'hologramme, et d'intensité proportionnelle à m^2.
◻7 - On considère le terme associé à cette reconstitution de l'image. C'est un produit de deux facteurs. Montrer que, lorsque les angles sont petits, l'un des facteurs de ce terme est beaucoup plus sensible aux variations de λ_(lec) et θ_(lec) que l'autre. Dans le cas où θ_(lec) φ, déterminer la plus petite valeur absolue |δ| de l'écart δ = θ_(lec) − φ pour laquelle ce terme s’annule dans la direction θ_d = 0. Remarquer que, pour une plaque donnée, |δ| ne dépend que de λ_(ref).

Deux types d'enregistrement d'hologrammes multiples

Lorsque plusieurs hologrammes sont enregistrés dans la même mémoire, on admettra que les résultats précédents sont valables pour chacun d'entre eux.
◻8 - Dans un premier type d'enregistrement, la longueur d'onde λ_(ref) de l'onde de référence est identique pour les deux hologrammes et φ prend respectivement les valeurs φ_1 et φ_2, petites devant π. L'onde de lecture est caractérisée par λ_(lec) = λ_(réf) et θ_(lec) = φ_1, de manière à reconstituer l'image associée à l'hologramme 1 dans la direction θ_d = 0. La reconstitution est dite correcte si |θ_(lec) − φ_2| > 2|δ|. Quelle est la signification physique de cette inégalité ?
◻9 - Dans un second type d'enregistrement, l'angle de référence φ est identique pour les
deux hologrammes et les longueurs d'onde prennent, respectivement, les valeurs λ_1 et λ_2. L'onde de lecture est caractérisée par λ_(lec) = λ_1 et θ_(lec) = φ.
Montrer, en vous inspirant de la question 8, que la reconstitution de l'image associée à l'hologramme 1 peut être dite correcte si |λ_(lec) − λ_2| est supérieur à un certain seuil, dont on donnera l'expression. Calculer le nombre d'hologrammes enregistrables dans une plage de longueurs d'onde λ autour d'une valeur centrale λ_0, pour λ_0 = 500 nm, λ = 10 nm, X = 2 cm et φ_0 = 0, 1rad.

Partie II : Stockage d'hologrammes

Cette partie, indépendante de la précédente, étudie une méthode d'enregistrement d'un hologramme. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. L'intensité lumineuse éclairant le milieu lors de l'enregistrement s'exprime par I(x) = I_0[1 + mcos(kx)], avec m ∈ [0, 1[. L'information sur l'objet holographié est contenue dans le terme de modulation spatiale I_0 mcos(kx).

Stockage dans un cristal photoréfractif

Un cristal photoréfractif est un cristal transparent dont l'indice est
Neutre D^0
Ionisé D^+
modifiable par éclairement. Il est modélisé par une matrice de permittivité diélectrique statique ε, dans laquelle sont présents deux types de sites, l'un et l'autre fixes dans le réseau:
  • Des sites donneurs d'électrons notés (D), qui peuvent chacun s’ioniser en libérant un électron, pour former un site chargé ( D^+). On note N_D la densité particulaire totale de ces sites et
Neutre A^0
Ionisé A^−
on la suppose uniforme et constante. On note N_D^+(x, t) la densité particulaire de sites ionisés ( D^+) à l'abscisse x et à l'instant t. Avec les notations du tableau ci-dessous, N_D = N_D^0 + N_D^+.
  • Des sites accepteurs, notés (A), qui peuvent chacun capter un électron pour former un site chargé ( A^−). La densité particulaire totale de ces sites, notée N_A, est uniforme et constante. Dans les conditions de cette étude, tous les accepteurs sont ionisés : N_A = N_A^−.
On suppose enfin N_D très supérieur aux autres densités particulaires, en particulier N_D ≈ N_D^0.
Type Symb. Conc.
Donneur neutre D^0 N_D^0
Donneur ionisé D^+ N_D^+(x, t)
Accepteur ionisé A^− N_A^− = N_A
Électron e N_e(x, t)
Le courant électrique dans le cristal est uniquement dû aux électrons libérés par l'ionisation des donneurs. La densité particulaire d'électrons libres à l'abscisse x et à l'instant t est notée N_e(x, t).

Ionisation des donneurs : deux mécanismes

L'ionisation des donneurs résulte du transfert spontané des électrons en sites (D) vers les sites (A) ; l'inégalité N_D≫N_A permet donc l'ionisation totale des accepteurs.
L'ionisation de sites D se produit aussi lorsque le cristal est éclairé par une onde lumineuse d'intensité
I(x). À l'instant t et à l'abscisse x, le nombre de sites (D) ionisés par unité de temps et de volume est donc, pour ce mécanisme, αI(x)[N_D − N_D^+(x, t)] ≈ αI_I(x)N_D, où α est une constante positive.

Neutralisation des donneurs

Les électrons libres peuvent se recombiner avec les sites ionisés ( D^+) et les neutraliser. Le nombre de recombinaisons par unité de temps et de volume est βN_D^+(x, t)N_e(x, t), où β est une autre constante caractéristique du cristal. On a donc, pour t > 0 :
(∂N_D^+)/(∂t) = αI_I(x)[N_D − N_D^+(x, t)] − βN_D^+(x, t)N_e(x, t).
Avant irradiation, N_D^+(x, 0) = N_A et N_e(x, 0) = 0.
10- Justifier que, immédiatement après l'irradiation, l'ionisation des sites (D) est plus importante dans les zones d'éclairement maximal. Rappeler la loi de Fick pour la diffusion particulaire (on notera D la constante qui intervient dans cette loi). Préciser la direction des courants électriques de diffusion qui résultent de l’éclairement.
11 - Quel est, dans les régions d'éclairement maximal, le signe de la densité volumique de charge associée à la diffusion des électrons libres? Même question pour les zones d'éclairement minimal. En déduire la direction du champ électrique E_c dans une région située entre une zone d'éclairement maximal et une zone d'éclairement minimal.
12 - Quelle est l'influence de ce champ électrique sur les mouvements des électrons libres dans le cristal?
◻13 - On pose E_c = E_c(x, t)u_x et on note j_e la densité de courant électrique dû aux mouvements des électrons libres. Quelle est l'expression de E_c/x en fonction de ε, e, N_e, N_A(= N_A^−)et N_D^+? Exprimer la conservation de la charge (équation de continuité) reliant j_e aux densités particulaires N_e, N_A et N_D^+. Justifier, pour un cristal électriquement isolé, la nullité de j_e en régime permanent.
◻14 - Le flux d'électrons est la somme du flux diffusif j_(dif), qui suit la loi de Fick, et du flux j_(dér), dû au champ électrique E_c dérivant du potentiel V(x). À l'équilibre thermodynamique, la densité des électrons est donnée par la loi de Boltzmann N_e(x) = N_0 exp(◻eV(x))/(k_B T), où k_B représente la constante de Boltzmann, e la charge élémentaire ( e > 0 ) et T la température. Quelle relation en résulte-t-il entre N_e(x), dN_e/dx et E_c(x) ? En déduire l'expression de j_(dér)(x) à l'équilibre en fonction de N_e(x) et E_c(x). La vitesse de dérive des électrons à l'équilibre s'écrivant v_(dér) = − − E_c, déterminer μ en fonction de e, D, k_B et T; c'est la relation d'Einstein.
15 - Admettant que la relation d'Einstein reste applicable en régime lentement variable (même si N_e(x) n'est plus celui qui est donné par la loi de Boltzmann), exprimer la densité de courant électrique total en présence du champ électrique E_c.
16 - On suppose à partir d'ici qu'un état stationnaire est atteint. Déduire des questions précédentes les équations suivantes modélisant le comportement du milieu en régime permanent :
αI(x)N_D − βN_D^+(x)N_e(x) = 0; (dE_c)/(dx) = e/ε[N_D^+(x) − N_A − N_e(x); (dN_e)/(dx) = − e/(k_B T)N_e(x)E_c(x)
17 - L'intensité lumineuse dans le cristal est ici uniforme ( m = 0 ). Que vaut alors le champ électrique E_c ? On cherche en régime permanent la solution uniforme des équations précédentes. Établir l'équation vérifiée par N_e en fonction de α, β, I_0, N_D et N_A. Exprimer ensuite N_e dans l'hypothèse où N_e≪N_A. Quelle est l'inégalité relative à I_0 équivalente à cette hypothèse ?
◻18 - Le taux de modulation m est supposé ici non nul, et petit devant 1 . Le terme de modulation spatiale de l'intensité apparaît alors comme une petite perturbation du terme principal; on pose N_e(x) = N_0 + ΔNcos(kx + φ), où N_0 est la valeur de N_e quand m = 0 et φ un déphasage. Les grandeurs m et (ΔN)/(N_0) seront considérées comme des infiniment petits d'ordre 1 . À partir des relations [5] et [6], déterminer l'expression de E_c(x) puis de N_D^+(x) à l'ordre 1 . En reportant l'expression de N_D^+dans la relation [4], et en ne conservant que les termes d'ordre au plus égal à 1 , montrer que l'on retrouve pour N_0 l'équation vérifiée par N_e à la question 17, ainsi qu'une équation permettant de déterminer φ et N. Dans le cas où N_0≪N_A, exprimer N puis le champ E_C(x) en fonction de x, m, k_B, T, e, k et ℓ_D = √((εk_B T)/(e^2 N_A)).
◻19 - Le champ électrique E_c(x) présent dans le matériau entraîne une variation locale de l'indice de réfraction Δn(x) = − (n_0^3 r)/2E_c(x), proportionnelle à E_c(x); n_0 représente l'indice (uniforme) du milieu en l'absence du champ et r une constante caractéristique du milieu. Établir l'expression de la variation d'indice Δn(x) en fonction de m, k_B, T, e, k, ℓ_D et r. La modulation Δn(x) d'indice du milieu qui apparaît lors de l'illumination par l'intensité I(x) reproduit-elle la forme exacte de la modulation mI_0 cos(kx) de I(x) ? Que se passerait-il si I(x) n'était pas purement harmonique?
  • 20 - Résumer l'ensemble de l'étude précédente en discutant la notion de mémoire que l'on peut attacher à ce système. Comment peut-on effacer les hologrammes enregistrés dans ce milieu photoréfractif ? La lecture d'un hologramme est-elle susceptible de l'effacer ?
  • 21 - Donner l'ordre de grandeur de Δn pour le titanate de baryum BaTiO_3, où ℓ_D = 1, 7μ m, r = 10^(− 9) m.V^(− 1), n_0 = 2, 5 et T = 300 K.
    L'éclairement est caractérisé par m = 0, 1 et 2∂/k = 3μ m.
    Charge électrique élémentaire : e = 1, 6.10^(− 19)C; k_B = 1, 38.10^(− 23) J.K^(− 1).

FIN DE L'ÉPREUVE

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