Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
les explications des phénomènes étudiés, les justifications physiques interviennent dans la notation au même titre que les calculs,
tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s.
Ce problème, constitué de deux parties indépendantes, traite de divers aspects de l'optique :
la première partie s'attache à développer les bases de l'optique géométrique et leurs applications à travers l'étude d'instruments d'observation stellaire,
l'optique physique est abordée dans la deuxième partie et appliquée à une source d'étendue spatiale non nulle (système d'étoile double), puis à l'étude spectrale de sources ponctuelles mais qui ne sont pas monochromatiques.
PREMIÈRE PARTIE
Dans tout le problème, les rayonnements lumineux utilisés appartiennent au domaine du visible.
OPTIQUE GEOMETRIQUE
A - Généralités
A*1 Rappeler la définition de l'indice absolu d'un milieu transparent. Donner un ordre de grandeur de l'indice optique du verre ordinaire.
A*2 Dans quelle(s) condition(s) l'approximation de l'optique géométrique est-elle valable?
A*3 Comment appelle-t-on un système optique qui présente la symétrie de révolution par rapport à un axe? Comment appelle-t-on cet axe ?
A*4 Expliciter "l'approximation de Gauss". Quelles sont les propriétés d'un système optique centré utilisé dans ces conditions ?
Dans la suite du problème, tous les systèmes optiques seront considérés centrés et utilisés dans les conditions de Gauss.
Considérons un miroir sphérique concave de centre C, de sommet S et de rayon R = − SC^–. Un petit objet AB^– est placé perpendiculairement à l'axe optique, orienté dans le sens de la propagation de la lumière (figure 1).
figure 1
A5a Définir et exprimer les distances focales f et f^′ du miroir en fonction de R = − SC^–.
A5b A partir des lois de Descartes et de considérations géométriques, établir la relation de conjugaison de Descartes, avec origine au sommet, pour ce miroir sphérique ainsi que l'expression de son grandissement.
A*5c A partir de considérations géométriques, établir la relation de conjugaison de Newton : F^′ A^′^– ⋅ FA^– = f^′ f (avec origine au foyer), pour ce miroir sphérique ainsi que l'expression de son grandissement. A^∗ 5d Ces expressions restent-elles valables pour un miroir sphérique convexe?
B - Lunette astronomique
Toutes les lentilles utilisées seront assimilées à des lentilles minces.
B*1 Quelle est la définition d'une lentille mince?
Un œil accommodant à l'infini observe des objets à l'infini à travers une lunette astronomique. Celle-ci est constituée de deux lentilles minces convergentes.
B2a Quand dit-on qu'un système est afocal?
B2b Décrire brièvement le montage correspondant à ce dispositif. L'une des deux lentilles étant appelée objectif, justifier l'origine de ce terme et la position de cette lentille. L'autre étant appelée oculaire, justifier l'origine de ce terme et la position de cette deuxième lentille.
B2c Tracer la marche d'un rayon lumineux issu d'un point situé à l'infini sur l'axe optique et celui d'un rayon lumineux issu d'un point situé à l'infini, mais faisant avec l'axe optique un angle α.
Le grossissement est défini comme le rapport entre α^′, l'angle sous lequel l'objet est vu à travers l'instrument et α, celui sous lequel il est vu sans l'instrument: G = (α^′)/α.
B3 Exprimer ce grossissement en fonction des distances focales image des deux lentilles notées f_(obj)^′ et f_(oc)^′. Quelle est la nature (réelle ou virtuelle) de l'image? L'image est-elle droite ou renversée?
B4 Si de la poussière se dépose sur l'objectif, quelle est la conséquence sur l'image observée à travers la lunette?
B5 Où faut-il positionner l'œil pour se placer dans des conditions optimales d'observation? Définir cette position en fonction des caractéristiques de l'appareil.
B*6 Les systèmes catadioptriques (c'est à dire formés de lentilles et de miroirs) sont aujourd'hui plus utilisés que les lunettes. Citer au moins deux avantages de ces systèmes par rapport aux lunettes astronomiques.
C - Télescope spatial de Hubble (H.S.T.)
Ce télescope est certainement le dispositif civil le plus complexe jamais envoyé dans l'espace. Le bloc optique est composé de deux miroirs : un miroir primaire parabolique concave qui renvoie la lumière incidente sur un miroir secondaire hyperbolique convexe. La configuration de ces deux miroirs est de type Cassegrain (voir figure 2). Afin de mener une étude quantitative, le miroir primaire M_p sera supposé sphérique concave avec un rayon de courbure R_1 = 11, 000 m et un diamètre extérieur D_(01) = 2, 4 m. Le miroir secondaire M_S sera supposé sphérique convexe avec un rayon de courbure de R_2 = 1, 350 m et un diamètre extérieur D_(02) = 0, 3 m. La distance entre les sommets des miroirs vaut S_2 S_1^– = d = 4, 900 m.
figure 2
C*1 Déterminer les positions des foyers objet et image du miroir primaire, définies par S_1 F_1^– et S_1 F_1^′^–. Quelle est la position du foyer de l'ensemble du télescope, définie par S_2 F^′^– ?
Un rayon issu d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique et qui vient frapper le miroir primaire en un point de son bord extérieur, émerge du télescope avec un angle α_1 (voir figure 2).
C*2 Exprimer cet angle α_1 en fonction des données du problème. Calculer numériquement α_1.
Lors des premières prises de vue, les scientifiques se sont rendu compte que le miroir primaire présentait un défaut de sphéricité près du bord extérieur. Ce défaut sera modélisé par une variation du rayon de courbure du miroir principal, ce qui signifie que dans la zone concernée, le miroir principal est remplacé (la position du sommet S_2 ne change pas) par un autre miroir sphérique de rayon R_1^′ = R_1 + ε où ε = 2μ m. C^∗ 3_– Evaluer l'écart δ(S_2 F^′^–) consécutif à la nouvelle position du foyer du télescope.
C*4 En tenant compte de ce défaut, quelle est la nouvelle expression (notée α_1^′ ) de l'angle α_1 calculé à la question C^∗ 2 ? Que vaut l'écart angulaire δα_1 lié au défaut?
Ce défaut limitant la résolution du télescope, il a été compensé par l'ajout d'une lame d'un verre particulier disposée juste avant le foyer de l'appareil. Afin d'illustrer cette correction, la lame sera remplacée par un prisme de très faible angle au sommet A et d'indice n (figure 3). Les relations qui permettent de calculer la déviation d'un rayon lumineux par un prisme d'angle au sommet quelconque A sont rappelées ci-dessous:
{sini = nsinr; nsinr^′ = sini^′; A = r^′ − r; D = (i^′ − i − A)
figure 3
C*5 Déterminer l'expression approchée de la déviation D pour un prisme de très petit angle A; en déduire sa valeur pour compenser le défaut du télescope, l'indice du verre retenu étant n = 1, 5.
DEUXIEME PARTIE
OPTIQUE PHYSIQUE
A - Interférences
Les ondes lumineuses étant modélisées par des ondes électromagnétiques, supposons dans cette partie, que le comportement de la lumière puisse être décrit par l'onde scalaire (signal lumineux): s(x, t) = acos(ωt − kx), ou en notation complexe s_– = aexpj(ωt − kx) = aexpj(ωt − φ(x)), avec ω la pulsation de londe, φ sa phase et k la norme du vecteur d'onde. L'éclairement ℰ(M) au point M(x) (ou intensité lumineuse) est proportionnel à la moyenne temporelle de s^2(x, t) ou encore à s_– ⋅ s_–^∗.
L'ensemble de l'étude se fait dans l'air, d'indice n = 1.
A*1 Déterminer l'expression de l'éclairement ℰ(M) résultant de la superposition de deux ondes synchrones notées respectivement s_1(x, t) = a_1 cos(ωt − φ_1(x)) et s_2(x, t) = a_2 cos(ωt − φ_2(x)) en fonction de ℰ_1, ℰ_2 (éclairements des ondes
associées à s_1 et s_2 ) et de φ(x) = φ_2(x) − φ_1(x). Identifier le terme d'interférences.
A*2 Tracer ℰ(M) en fonction de φ. Exprimer, puis préciser sur le schéma les éclairements maximum ℰ_(max) et minimum ℰ_(min) en fonction de ℰ_1 et ℰ_2.
A*3 Le contraste (ou visibilité) du phénomène d'interférences est défini par ℰ = (ℰ_(max) − ℰ_(min))/(ℰ_(max) + ℰ_(min)). Exprimer 𝒞 en fonction de ℰ_1, ℰ_2 et φ. Dans quelle situation le contraste est-il maximum ?
Plaçons-nous désormais dans la situation où le contraste est maximum.
La différence de chemin optique δ(M) entre deux ondes issues de deux sources cohérentes S_1 et de S_2, est définie comme la quantité δ = (S_1 M) − (S_2 M), où (S_1 M) est le chemin optique de S_1 à M .
A*4 Exprimer, au point M, le déphasage φ(M) entre les ondes en fonction de la différence de marche δ et de la longueur d'onde λ.
Les sources S_1 et S_2 sont repérées, dans l'espace, par leurs coordonnées S_1(− a/2, 0, − D), S_2(+ a/2, 0, − D) et le point M de l'écran par M(x, y, 0). L'écran est situé à la distance D des sources (voir figure 4) avec D≫x, D≫y et D≫a.
figure 4
A5a Etablir l'expression du chemin optique (S_1 M) en fonction de x, y, a et D.
A5b Compte tenu des approximations, exprimer, au premier ordre, la différence de marche δ en un point M de l'écran en fonction de a, x et D
A5c Préciser l'allure des franges observées sur l'écran.
A5d Définir et établir l'expression de l'interfrange (noté i ) du système d'interférences.
A*6 Dans l'hypothèse où les sources ponctuelles sont remplacées par deux fentes très fines F_1 et F_2 parallèles à l'axe Oy, quelle sera la conséquence de cette modification sur la figure observée sur l'écran?
Un système d'étoile double se comporte comme deux sources lumineuses incohérentes d'éclairement ℰ_(E1) = ℰ_(E2) = ℰ_0. Le dispositif précédent pointe vers le centre du système d'étoile double (voir figure 5) de sorte que θ_2 = − θ_1 = θ. L'observation se fait désormais dans le plan focal d'une lentille convergente de distance focale f^′.
figure 5
A7a Etablir l'expression de l'éclairement ℰ_1 sur l'écran dû à l'étoile E_1, puis ℰ_(tot), celui dû à l'étoile double.
Exprimer ℰ_(tot) sous la forme ℰ_(tot) = 2ℰ_0(1 + γcos((2πax)/(λf^′))).
Préciser l'expression et le sens physique de |γ|.
A7b Pour quelle valeur de la distance a entre les fentes y a-t-il brouillage du phénomène d'interférences? En déduire la distance angulaire 2θ qui sépare les étoiles sachant que a = 116, 5 cm et λ = 550 nm.
B - Diffraction
B*1 Enoncer le principe d'Huygens-Fresnel.
Notons dis (M) l'amplitude de la vibration issue de l'élément de surface dΣ centrée en P, qui atteint le point M situé à une distance r = PM. Cette amplitude s'écrit : ds_–(M) = K_(s_–)(P)dΣ(e^(− jφ))/r où φ représente le déphasage en M, entre l'onde issue du point P et celle issue du point O ' (voir figure 6).
figure 6
B*2 Quelle est l'amplitude de l'onde diffractée en M par une ouverture de surface Σ ?
Diffraction de Fraunhoffer par une fente rectiligne de très grande longueur L suivant l'axe O^′ y^′ et de petite largeur a suivant O^′ x^′
Une source ponctuelle S, située sur l'axe Oz, émet une onde monochromatique de longueur d'onde λ. La source et l'écran sont rejetés à l'infini par l'intermédiaire de deux lentilles minces de même distance focale f^′.
B*3a Faire le schéma du montage. Peut-on réaliser ce même montage avec une seule lentille?
B*3b Etablir l'expression de l'amplitude diffractée, s_–(M) au point M(x, y, 0), par la fente de largeur a. Justifier que la distance r = PM peut être confondue avec r_0 = O^′ M dans ce cas.
B*3c Que vaut le déphasage entre l'onde résultante en M(x, y, 0), et l'onde issue du point O^′ et reçue au point M ? Que se passe-t-il si la fente est déplacée parallèlement à elle-même, dans le même plan, vers le haut ou vers le bas?
B3d En déduire l'expression de l'éclairement diffracté en M(x, y, 0) par la fente ('éclairement diffracté au centre de l'écran sera notée ℰ_0 ). Tracer (ℰ(x))/(ℰ_0) en fonction de x (prendre soin de repérer les abscisses correspondant aux minima et la valeur relative du premier maximum secondaire).
Lorsque la pupille diffractante est circulaire de diamètre Φ, le rayon angulaire de la tache due à la diffraction est donné par α = 1, 22λ/Φ.
B3e Qu'appelle-t-on pouvoir séparateur d'un instrument optique ? Qu'appelle-t-on critère de Rayleigh? Le diamètre de l'objectif de la lunette astronomique étudiée dans la première partie doit-il être important ou faible ?
C - Application
Un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d'onde λ = 550 nm, provenant d'une étoile, éclaire normalement un écran opaque percé de deux fentes F_1 et F_2 de grande dimension L suivant Oy et de même largeur a suivant Ox . Les centres des fentes sont distants de d, avec d > a. Dans le plan focal xOy d'une lentille convergente de distance focale f^′ = 2 m et de foyer image O , un détecteur ponctuel enregistre l'éclairement aux points d'abscisses x, avec |x|≪f^′. L'éclairement normalisé (ℰ(x))/(ℰ_0) enregistré par le détecteur est donné par la figure ci-dessous :
figure 7
C*1 A partir de la courbe de la figure 7, déterminer la valeur de la largeur a d'une fente et la distance d qui sépare les centres des fentes.
Dans la suite de cette partie la largeur des fentes est très petite devant la distance qui les sépare : a ≪d.
La lumière émise par l'étoile est, dans cette question uniquement, composée de deux sources de même éclairement ℰ_0, nigoureusement monochromatiques, de longueurs d'onde λ_1 et λ_2 très voisines, avec λ_1 = λ_2 + Δλ et Δλ≪λ_1 = λ_0.
C*2a Déterminer l'expression de l'éclairement en un point de l'écran M(x, y) en fonction de δ = (xd)/(f^′), ℰ_0, λ_1 et λ_2, puis, au premier ordre, en fonction de ℰ_0, δ, Δλ et λ_0.
C2b En déduire l'expression de ℰ_(max) et ℰ_(min), puis celle du contraste.
C2c Calculer la plus petite valeur de l'ordre d'interférence pour laquelle le contraste est nul, sachant que Δλ = 0, 6 nm, λ_0 = 589 nm.
FIN DE L'ÉPREUVE
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