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E3A Physique PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique du point : bilan de quantité de mouvement, système ouvert
  • Mouvement dans un champ de gravitation, orbites circulaires
  • Propagation des ondes électromagnétiques dans un plasma
  • Électromagnétisme : équations de Maxwell
  • Électronique : filtres, condensateur réel
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Annales E3A PSI PhysiqueE3A PSI 2007PSI PhysiquePhysique 2007

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Présentation du sujet

Difficile
Lanceur Ariane V, propagation d'une onde électromagnétique dans l'ionosphère et électronique de réception d'un signal satellite
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Le problème comporte trois parties totalement indépendantes. La première étudie mécaniquement le décollage d'une fusée de type Ariane V puis les orbites circulaires du satellite. La deuxième étudie la propagation d'une onde électromagnétique à travers l'ionosphère assimilée à un plasma, avec et sans champ magnétique statique. La troisième porte sur l'électronique de réception du signal, à travers l'étude d'un condensateur réel et d'un filtre.

  1. 1Première partie : étude mécanique d'une fusée et de son satelliteBilan de quantité de mouvement lors du décollage puis étude des orbites circulaires du satellite, notamment géostationnaire.
  2. 2Deuxième partie : propagation d'une onde électromagnétique à travers un plasma (ionosphère)Étude de la propagation d'une onde dans l'ionosphère assimilée à un plasma, coefficients de réflexion et transmission, puis influence d'un champ magnétique statique.
  3. 3Troisième partie : électronique de réceptionÉtude de modèles équivalents d'un condensateur réel, d'un filtre simplifié puis d'un composant réel.

Difficile. La moyenne de l'épreuve n'est que de 7,95/20 avec un écart-type de 4,18, et le rapport qualifie le niveau général de 'anormalement faible' alors que les questions posées étaient relativement classiques.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,95 / 20 · écart-type 4,18 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,95/ 20
Écart-type
4,18
moyenne 7,9505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bilan de quantité de mouvement mal posé · Résultats recopiés sans justification depuis la calculatrice · Incapacité à conclure sur le caractère dispersif du milieu
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Après traitement informatique, la moyenne s'élève à 7,95/20 avec un écart-type de 4,18. Le jury juge le bilan général loin d'être satisfaisant pour une épreuve qui s'apparente davantage à une collection d'exercices indépendants qu'à un vrai problème de concours, alors que le sujet était suffisamment diversifié pour occuper tous les candidats normalement préparés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bilan de quantité de mouvement mal posé

    Peu de candidats parviennent à établir proprement un bilan de quantité de mouvement sur un système clairement défini ; beaucoup comptent des termes deux fois ou ne savent pas faire une approximation au premier ordre.

    « Peu de candidats parviennent à établir proprement un bilan de quantité de mouvement sur un système clairement défini et identifié »
  2. 2
    Résultats recopiés sans justification depuis la calculatrice

    Pour les caractéristiques d'un satellite géostationnaire, des résultats bruts manifestement recopiés de la calculatrice apparaissent dans presque une copie sur trois, sans justification.

    « des réponses toutes faites issues des calculettes ont apparu dans presque une copie sur trois, sans le moindre souci de justifier les »
  3. 3
    Incapacité à conclure sur le caractère dispersif du milieu

    Beaucoup de candidats trouvent une relation de dispersion mais sont ensuite incapables de dire si le milieu est dispersif ou non.

    « Beaucoup trop de candidats trouvent une relation de dispersion mais sont ensuite incapables de dire si le milieu e st dispersif ou non »
  4. 4
    Association résistance-condensateur non identifiée

    Peu de candidats remarquent que la résistance interne du voltmètre et la résistance de fuite du condensateur sont associées en parallèle puis en série, alors qu'il s'agit d'une question élémentaire.

    « peu d’entre eux ont remarqué que la résistance interne du voltmètre et la résistance de fuit e du condensateur étaient associées en parallèle »
  5. 5
    Application numérique sans unité

    De nombreux résultats numériques sont proposés sans unité, ce qui est pénalisé.

  6. 6
    Papillonnage de question en question

    Répondre à des questions isolées sans rien approfondir ni expliquer, dans le seul but de récupérer des points, n'est pas toujours récompensé.

    « Le papillonnage de question en question, sans rien approfondir ni expliquer, dans le seul but de récupérer quelques points n’est pas toujours récompensé »

Ce qui a été bien réussi

  • Une majorité d'étudiants connaît la définition d'un satellite géostationnaire.
  • Le début de la deuxième partie, proche du cours de deuxième année, a été particulièrement bien traité par la majorité des candidats.
  • Les deux premières questions de la dernière sous-partie d'électronique ont été traitées correctement par une majorité de candidats.

Conseils du jury

  • Bien connaître les notions de base et les définitions exactes des concepts physiques.
  • Veiller en permanence à l'homogénéité des relations écrites et toujours donner l'unité d'un résultat numérique.
  • Ne pas fournir de démonstration détaillée lorsque l'énoncé demande simplement de rappeler un résultat classique.
  • Justifier avec clarté, concision et rigueur les résultats fournis par l'énoncé lorsqu'une justification est demandée.
  • Accompagner toute formule mathématique d'une explication physique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Épreuve de Physique PSI
durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Ce problème est centré sur l'étude mécanique d'un lanceur de type Ariane V, des communications entre un satellite et la Terre et du traitement du signal de réception; il comporte trois parties totalement indépendantes.
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
  • les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques,
  • tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
  • tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s.
Grâce à des lanceurs comme Ariane V, il est possible de placer sur orbite géostationnaire des satellites de communications de plus de cinq tonnes. Ces satellites assurent la transmission de données, des communications téléphoniques et des programmes de télévision. L'information est véhiculée par des ondes porteuses dans des bandes de fréquences bien définies. Les communications entre satellites et avec la Terre sont assurées par des systèmes actifs, possédant leur propre équipement d'émission et de réception de signaux.

PREMIÈRE PARTIE

ÉTUDE MECANIQUE D'UNE FUSEE ET DE SON SATELLITE

L'objectif d'une fusée ou d'un lanceur est de transporter une masse donnée, généralement un satellite à une altitude fixée (orbite de parking ou géostationnaire).
Pour atteindre de tels objectifs, il faut que le lanceur soit capable de développer une force importante pendant plusieurs minutes. A titre d'exemple, Ariane 5 développe, au décollage, une force d'environ 10^7 N. Dans l'exemple simple que nous allons étudier, cette force est fournie par deux propulseurs (figure 1).
Figure 1

A / DECOLLAGE DE LA FUSEE

Une fusée sans carburant et contenant le satellite qu'elle a pour mission de mettre en orbite possède une masse m_(fo). La fusée contient, au moment du décollage, une masse de gaz notée m_(gazo). Les gaz sont éjectés avec une vitesse verticale par rapport au référentiel terrestre (supposé galiléen) et une vitesse relative u⃗ par rapport à la fusée. Le débit massique q_m est constant.
L'influence de l'atmosphère est supposée négligeable (absence de frottement), l'accélération de la pesanteur g est considérée comme uniforme.
A1. Le système d'étude est la fusée et tout ce qu'elle contient à l'instant t. En raisonnant sur ce système fermé, effectuer un bilan de quantité de mouvement et en déduire l'expression de l'accélération de la fusée à l'instant t (figure 2).
Établir l'expression de la force, due à l'éjection des gaz, subie par la fusée.
A2. Quelle doit être la valeur minimale de cette force pour que la fusée décolle ?
Calculer l'accélération à l'instant initial. Est-elle supportable pour un être humain?
Données : la masse totale de la fusée ( m_0 = m_(f0) + m_(gazo) ) vaut 460 tonnes ; l'accélération de la pesanteur au sol est g_0 = 9, 8 m.s^(− 2); le débit total de gaz s'élève à 1, 8.10^3 kg.s^(− 1) et la vitesse d'éjection des gaz, par réacteur est évaluée à 2, 1.10^3 m.s^(− 1).
A3. Établir l'expression approchée de la vitesse v(t) de la fusée au cours du temps pour un décollage vertical. Calculer la vitesse de la fusée au bout de 15 s .
Figure 2

B I ORBITES CIRCULAIRES

La fusée a mis sur orbite le satellite qu'elle transportait et celui-ci décrit maintenant sa première orbite basse circulaire.
B1. Déterminer l'expression de la vitesse V_(cT) (dans le référentiel géocentrique) que doit posséder le satellite, considéré comme un point matériel, pour qu'il décrive à l'altitude de 200 kilomètres un cercle autour de la Terre.
Données : la masse de la Terre s'élève à 5, 97.10^(24) kg, la constante universelle de la gravitation vaut 6, 67.10^(− 11) m^3 ⋅ s^(− 2) ⋅ kg^(− 1); le rayon de la Terre est R_T = 6400 km.
B2. Exprimer puis calculer la durée τ d'une révolution du satellite sur une telle orbite.
B3. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ?
B4. Établir les caractéristiques de la trajectoire d'un tel satellite :
  • quelle est la nature de la trajectoire?
  • dans quel plan s'effectue-t-elle?
  • la norme de la vitesse est-elle constante?
  • quelle est l'altitude du satellite?

DEUXIEME PARTIE

PROPAGATION D'UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE À TRAVERS UN PLASMA (IONOSPHÈRE)

Dans cette partie, nous supposerons que la Terre est entourée d'une atmosphère non ionisée assimilée au vide (d'indice n = 1 ), elle-même entourée par l'ionosphère.
L'ionosphère se comporte comme un plasma, constitué principalement d'hydrogène, gaz ionisé peu dense, renfermant des particules chargées de deux types : N (par unité de volume) protons, de charge et masse unitaires + e = 1, 6.10^(− 19)C et m_p = 1, 67.10^(− 27) kg, ainsi que N (par unité de volume) électrons de charge et masse unitaires - e et m_e = 9, 1.10^(− 31) kg. Les interactions entre protons et électrons sont négligées. Les permittivité et perméabilité du plasma sont assimilées à celles du vide : ε_0 = 8, 8.10^(− 12) F.m^(− 1) et μ_0 = 4π.10^(− 7)H.m^(− 1). Le milieu est linéaire de sorte que toute grandeur sinusoïdale x peut s'écrire sous forme complexe : x_– = X_–e^(jωt).
Sous l'action d'une onde électromagnétique harmonique plane polarisée rectilignement qui se propage suivant l'axe vertical Oz dans l'ionosphère (considéré comme un plasma neutre et peu dense), les particules chargées se mettent en mouvement.

A / PROPAGATION DE L'ONDE

A1. Appliquer le principe fondamental de la dynamique aux porteurs de charges, animés d'une vitesse v⃗_p et v⃗_e par rapport à un référentiel galiléen et soumis au champ électromagnétique E⃗_– = E⃗_–_0 cos(ωt − kz), B⃗_– = B⃗_–_0 cos(ωt − kz).
A quelle(s) condition(s) l'action du champ magnétique et celle du poids sont-elles négligeables ?
(l'amplitude du champ électrique est largement inférieure à 10^(10) V.m^(− 1) )
A2. Le régime permanent est supposé atteint. Déterminer l'expression complexe de la vitesse des porteurs de charge.
(la notation complexe E_–→ = E_–→_0 e^(j(ωt − kz)) avec j^2 = − 1 pourra être utilisée)
En déduire l'expression complexe du vecteur densité volumique de courant de charges électriques J⃗_–_(elec).
A3. Montrer que, dans ce cas, le plasma est équivalent à un milieu conducteur ohmique dont la conductivité complexe σ_– sera exprimée en fonction de ω_(pe)^2 = (Ne^2)/(ε_0 m_e), ω_(pp)^2 = (Ne^2)/(ε_0 m_p), ε_0 et ω.
Calculer les valeurs numériques des pulsations ω_(pe) et ω_(pp) pour N = 10^(11) m^(− 3).
Comparer les contributions respectives des protons et des électrons et en déduire l'expression simplifiée de σ_–.
A4. En supposant que les propriétés électriques et magnétiques du plasma sont celles du vide, écrire les équations de Maxwell correspondantes. Montrer que l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit sous la forme suivante :
rot^(→−)B⃗_– = ε_0 μ_0(1 − (ω_(pe)^2)/(ω^2))(∂E⃗)/(∂t)
A5. Établir les équations de propagation satisfaites par les champs électrique et magnétique dans le plasma.
En déduire que l'onde est transversale.
A6. Pour l'onde sinusoïdale étudiée E⃗_– = E⃗_–_0 e^(j(ωt − kz)), quelle est, dans ce cas, l'expression de k_–^2 en fonction de ω, ω_(pe) et c (célérité de la lumière dans le vide). Le milieu est-il dispersif ? Que se passe-t-il si ω < ω_(pe) ?
Calculer la valeur correspondante de la densité volumique de particules.
Données : pulsation plasma de l'ionosphère terrestre ω_(pe) = 8, 7.10^6 rad.s ^(− 1), célérité de la lumière dans le vide c = 3.10^8 m ⋅ s^(− 1).
A7. Exprimer la vitesse de phase v_φ, puis la vitesse de groupe v_g = (dω)/(dk). Représenter ces vitesses en fonction de ω. Que se passe-t-il pour ω≫ω_(pe) ?
A8. L'indice optique complexe de l'ionosphère est défini par n_– = c/ωk.
Établir l'expression de n_–^2 en fonction de ω et ω_(pe).
En déduire les expressions de n_– dans les deux cas ω < ω_(pe) et ω > ω_(pe).
Une onde électromagnétique plane harmonique polarisée rectilignement est émise depuis le sol verticalement suivant la direction Oz normale à la surface de séparation atmosphère-ionosphère (figure 3).
Figure 3
Les champs associés aux ondes électromagnétiques incidente, réfléchie et transmise sont les suivants :
Champs électriques Champs magnétiques
Onde incidente E⃗_i = E⃗_(oi)expj(ωt − k_0 z)e⃗_x B⃗_i = (E⃗_(oi))/cexpj(ωt − k_0 z)e⃗_y
Onde réfléchie E⃗_r = E⃗_(or)expj(ωt + k_0 z)e⃗_x B⃗_r = − (E⃗_(0r))/cexpj(ωt + k_0 z)e⃗_y
Onde transmise E⃗_t = E⃗_(0t)expj(ωt − k_–z)e⃗_x B⃗_t = n_–(E⃗_(0t))/cexpj(ωt − k_–z)e⃗_y
A9. A partir des conditions aux limites en z = 0 à l'interface atmosphère-ionosphère, écrire deux relations qui lient les amplitudes E_(0i), E_(0r), E_(0t) et n_–. Exprimer le coefficient de réflexion en amplitude défini par r_– = (E_–_(0r))/(E_–_(0i)).
A10. Déterminer, en z = 0, les expressions de la valeur moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting incident < ‖Π⃗_(0i)‖ > et réfléchi < ‖Π⃗_(0r)‖ >.
En déduire l'expression du facteur de réflexion en puissance ℛ, défini par ℛ = (< ‖Π⃗_0‖ >)/(< ‖Π⃗_0‖ >), en fonction de n_–.
A11. Préciser, dans les deux cas ω < ω_(pe) et ω > ω_(pe), l'expression de ℛ. Tracer l'allure de ℛ en fonction de ω/(ω_(pe)), puis commenter cette courbe. Citer des applications.
A12. Déduire de la courbe précédente l'allure de 𝒯, coefficient de transmission en puissance. Proposer une méthode de mesure de la valeur de la pulsation ω_(pe).

B / INFLUENCE D'UN CHAMP MAGNETIQUE STATIQUE ℬ_0

A partir de maintenant, l'effet d'un champ magnétique statique ℬ_0, sera pris en compte ; ce champ, uniforme, de l'ordre de 40μ T est porté par l'axe Oz, correspondant à la direction de propagation de l'onde. Toute force dissipative sera négligée.
En l'absence de champ électrique et en présence du champ magnétique ℬ_0, une particule P, non relativiste, de masse m et de charge q est animée au point O et à l'instant initial de la vitesse v_0^(→−) = v_0 e_x^(→−) évaluée par rapport à un référentiel galiléen.
B1. Déterminer le mouvement ultérieur de P , puis tracer sur une figure (pour ℬ_0 > 0 ) l'allure de la trajectoire en distinguant les cas q > 0 et q < 0.
Quelle est l'influence de la masse sur la trajectoire d'une particule de charge q > 0. Que représente la quantité (qℬ_0)/m, notée ω_(ce) pour un électron et ω_(pe) pour un proton ? Calculer puis comparer ces deux grandeurs.
Justifier le sens des trajectoires observées.
II est rappelé que le plasma est constitué d'électrons et de protons de même charge, de même densité volumique particulaire N = 10^(11) m^(− 3), de masses respectives m_e et m_p. II règne dans ce plasma un champ magnétique uniforme et statique ℬ_0^(→−) = ℬ_0 e_z→ avec ℬ_0 > 0. Les électrons et les protons du plasma sont soumis uniquement aux actions de ℬ_0^– et d'un champ électrique E⃗. Ce champ E⃗ résulte de la séparation des particules chargées du plasma. L'action de E⃗ engendre un mouvement des charges, entraînant une nouvelle distribution des charges, qui de nouveau modifie le champ électrique E⃗, qui agit sur les charges ... et ainsi de suite.
Le problème se limite au cas correspondant à un champ E⃗ contenu dans le plan xOy. La permittivité et la perméabilité demeurent celles du vide.
La projection des vecteurs E⃗, (∂E⃗)/(∂t), v⃗_p, v⃗_e, (∂v⃗_p)/(∂t), (∂v⃗_e)/(∂t) selon la direction du champ électrique sera notée E, (∂E)/(∂t), v_p, v_e, (∂v_p)/(∂t), (∂v_e)/(∂t). II sera admis que la projection, selon la direction du champ électrique, du vecteur ∂/(∂t)((ev⃗_e)/(m_e) ∧ B⃗_0) vaut ω_(ce)^2 v_e et du vecteur ∂/(∂t)((ev⃗_p)/(m_p) ∧ B⃗_0) vaut − ω_(cp)^2 v_p.
B2. A partir de l'équation de Maxwell-Ampère, écrire l'équation différentielle vérifiée par le champ électrique et les vitesses des porteurs de charge.
B3. A partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque particule et projeté suivant la direction du champ électrique, établir les équations différentielles couplées vérifiées, parallèlement au champ électrique, par les composantes des vitesses des électrons v_–_e et des protons v_–_p en fonction de ω_(ce), ω_(cp), ω_(pe) et ω_(pp).
Ce système admet une solution non nulle si la pulsation des oscillations vérifie, compte tenu des valeurs numériques des diverses fréquences ω_(ce), ω_(cp), ω_(pe) et ω_(pp) la relation suivante :
2ω^2 ≅ ω_(ce)^2 + ω_(pe)^2 ± √((ω_(ce)^2 + ω_(pe)^2)^2 − 4ω_(ce)^2 ω_(pp)^2).
B4. Déduire de cette expression que le plasma peut avoir un mouvement d'oscillations caractérisé par deux pulsations propres, dites pulsation hybride haute ω_(UH) et pulsation hybride basse ω_(LH), que l'on exprimera en fonction de ω_(pe), ω_(pp), ω_(ce). Calculer ω_(UH) et ω_(LH) à l'aide des données.
Dans cette partie, le mouvement des protons sera à nouveau négligé devant celui des électrons. Une onde TEM de champ électrique E⃗_– = E⃗_–_0 e^(j(ωt − kz)) se propage au sein du milieu. Le champ E⃗_–_0 est tel que E⃗_–_0 = E_–_0 u⃗ = E_–_(0x)e⃗_x + E_–_(0y)e⃗_y. Le champ électrique est toujours porté par le vecteur unitaire u⃗ contenu dans le plan xOy. Les permittivité et perméabilité sont celles du vide. Le champ magnétique B de l'onde sera négligé devant ℬ_0.
B5. Montrer que les composantes de la vitesse des électrons vérifient les relations suivantes :
{v_–_x = ((jωem_e E_–_x − e^2 ℬ_0 E_–_y))/(m_e^2 ω^2 − e^2 ℬ_0^2); v_–_y = ((e^2 ℬ_0 E_–_x + jωem_e E_–_y))/(m_e^2 ω^2 − e^2 ℬ_0^2)
En déduire les composantes de la densité volumique de courant J_–_(elec) due au déplacement des électrons.
B6. En exploitant l'équation de Maxwell-Ampère, déterminer la nouvelle équation de dispersion. Que se passe-t-il si J_–_(élec) = 0→ ?
Projeter l'équation précédente suivant les directions e→_x et e→_y, puis montrer que les composantes E_–_x et E_–_y du champ électrique vérifient une relation du type :
{αE_–_x − jβE_–_y = 0; jβE_–_x + αE_–_y = 0
Préciser l'expression des constantes α et β.
B7. Justifier l'existence de deux solutions k_+et k_−pour le vecteur d'onde k.
Déterminer pour chaque cas les densités volumiques de courant J_+et J_−.
Commenter ces résultats.

TROISIEME PARTIE ÉLECTRONIQUE DE RÉCEPTION

Pour la transmission de messages, le principe de la modulation d'amplitude ou de fréquence d'une tension v_p(t) (la porteuse) de fréquence élevée est souvent utilisé. Le message à transmettre est représenté par une tension v_m(t) (le signal modulant) qui s'ajoute à la porteuse. Lorsque la somme de ces deux signaux est reçue, soit par le satellite, soit sur la Terre, il faut alors la démoduler, c'est-à-dire extraire la tension v_m(t).
Cette partie étudiera quelques montages utilisés lors de la détection.

A / MODÈLES ÉQUIVALENTS D'UN CONDENSATEUR RÉEL

Un condensateur réel peut se représenter par des modèles équivalents, un modèle parallèle (figure 4) et un modèle série (figure 5). Un condensateur réel ( C_(réel) ) dont la capacité C est de 1μ F est chargé sous une tension initiale U_0 = 5 V. La tension à ses bornes est mesurée grâce à un voltmètre de résistance interne R_Ω = 10MΩ. Le relevé de la tension lors de la décharge est celui de la figure 4.
Figure 4
Le condensateur réel est, avec une très bonne approximation, presque parfait (capacité pure).
A1. A partir de l'observation du relevé expérimental (figure 4), évaluer R_f.
A2. À partir de cette même courbe, montrer que le modèle série (figure 5) n'est pas envisageable dans ce cas.

B / ÉTUDE D'UN FILTRE SIMPLIFIÉ

Le premier étage de la chaîne de démodulation est modélisé par le schéma de la figure 6. La résistance traduisant les imperfections de la bobine et du condensateur est notée r^′. Pour simplifier les calculs, choisissons de prendre r = r^′.
Figure 6
B1. Déterminer la fonction de transfert de ce quadripôle, écrite sous la forme H_–(jω) = (H_0)/(1 + jQ(ω/(ω_0) − (ω_0)/ω)). Identifier les expressions de H_0, ω_0 et Q. Tracer l'allure du module de H_–(jω) en fonction de ω. Quelle est la nature de ce filtre? Calculer les valeurs de ces grandeurs pour C = 1μ F, L = 100mH et r = 1MΩ.
La courbe précédente peut être modélisée par la fonction suivante (figure 7) :
{|H(jω)| = (H_0)/(2Δω)ω + s_1 pour ω_0 − 2Δω < ω < ω_0; |H(jω)| = − (H_0)/(2Δω)ω + s_2 pour ω_0 < ω < ω_0 + 2Δω
Figure 7
La pulsation ω^′ est définie par: ω^′ = ω_0 − Δω.
B2. Exprimer les constantes s_1 et s_2 en fonction de H_0, ω_0 et Δω.
Le satellite émet un signal de fréquence variable e(t) = e_0 cosω(t) avec ω(t) = Ω_0 cosΩt + ω^′( figure 7 ) et Ω_0 < Δω.
B3. Comment varie l'amplitude, notée s_0(t), du signal de sortie s(t) ?
Expliquer l'intérêt d'un tel montage.

C / ÉTUDE D'UN COMPOSANT RÉEL

Le principe du composant étudié est donné par le schéma synoptique de la figure 8 :
Figure 8
II s'articule autour de deux interrupteurs commandés qui se ferment lorsque la tension qui leur est appliquée ( V_1(t) ou V_2(t) ) est strictement positive et qui restent ouverts dans le cas contraire. Le système de commande (tensions V_1(t) ou V_2(t) ) ne présente aucune liaison électrique avec le reste du circuit. La tension U_+est une tension constante qui alimente l'ensemble composé de la résistance R, du filtre Φ_2 et de l'étage de sortie non représenté. L'impédance d'entrée du filtre Φ_2 est infinie, la tension à l'entrée de ce filtre est notée V_3(t).
Mise en forme de la tension V_1(t) : cette tension est obtenue par un bloc noté F, qui délivre un signal carré positif de même fréquence que le signal sinusoïdal qui lui est appliqué (figure 9).
Figure 9
C1. Quelle est la valeur moyenne (notée a_0 ) de la tension V_1(t) ?
Dans le cas où cette tension n'est plus symétrique (figure 10), quelle est l'expression de cette valeur moyenne?
Figure 10
Le filtre Φ_1 est le filtre étudié précédemment (figure 6). La fréquence de la tension d'entrée U_(entrée) est f = f_0 + εf_0 avec εQ≪1. Les variations de fréquence de la tension U_(entrée) sont telles que cette tension sera considérée comme sinusoïdale.
C2. Montrer que l'expression du gain G = log|H_–(jω)| ne contient pas de terme du premier ordre en εQ.
C3. Déterminer l'expression du déphasage Ψ (de V_2(t) par rapport à U_(entrée)) au premier ordre en εQ, en fonction de Q et ε.
C4. Les valeurs numériques de Q et ε sont telles que − π/2 < Ψ < 0. Tracer, sur un même axe temporel, les tensions V_1(t) et V_2(t).
Afin de connaître l'état des interrupteurs, compléter le tableau suivant:
t 0 → T/4 T/4 → T/4 − (ψT)/(2π) T/4 − (ψT)/(2π) → (3T)/4 (3T)/4 → (3T)/4 − (ψT)/(2π) (3T)/4 − (ψT)/(2π) → T
V_1(t) + 0 0 + +
Signe [V_2(t)] + +
V_3(t) 0 U_+
C5. A partir du tableau complété, déduire l'allure de la tension de sortie V_3(t), à l'entrée du filtre Φ_2.
Ce filtre permet d'obtenir la valeur moyenne < V_3(t) > de la tension V_3(t). Exprimer cette valeur moyenne en fonction de Q, U_+et ε, toujours avec l'hypothèse que εQ≪1. Conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Physique E3A PSI 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Physique E3A PSI 2007 ?

Le sujet associe mécanique du point (décollage d'une fusée, orbites circulaires), propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère assimilée à un plasma, et électronique (filtres, condensateur réel) pour la réception d'un signal satellite.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A physique PSI 2007 ?

Le jury relève des bilans de quantité de mouvement mal posés, des résultats recopiés sans justification depuis la calculatrice, une incapacité à conclure sur le caractère dispersif d'un milieu, et des résultats numériques donnés sans unité.

Ce sujet E3A physique PSI 2007 est-il difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 7,95/20 avec un écart-type de 4,18, et le rapport qualifie le niveau général d'anormalement faible alors que les questions posées étaient relativement classiques.

Le sujet E3A physique PSI 2007 est-il un bon entraînement sur les plasmas et l'ionosphère ?

Oui, la deuxième partie étudie en détail la propagation d'une onde électromagnétique dans l'ionosphère assimilée à un plasma, avec et sans champ magnétique statique.

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