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E3A Physique PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSIdurée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Etude d'une ligne bifilaire

Le problème est relatif à l'étude d'une ligne bifilaire et des phénomènes de propagation associés. La longueur ℓ de la ligne est assez grande pour que les effets d'extrémités soient négligés et pour assimiler les champs et potentiels identiques à ceux produits par une ligne infiniment longue.
Remarques préliminaires importantes. II est rappelé aux candidat(e)s que :
  • les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques,
  • tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
  • tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s.

PREMIERE PARTIE

EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE ET REGIME STATIONNAIRE

A / ETUDE DE L'EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

Soit un fil de longueur et de conductivité infinies, de rayon a et possédant la charge linéique λ (figure 1).
A1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide. Que vaut la densité volumique de charges ρ dans le fil ?
A2. Montrer que le champ électrostatique est radial et qu'il ne dépend que de r, tel que: E⃗ = E(r)u⃗_r.
A3. En appliquant le théorème de Gauss sur une surface à préciser, établir l'expression de E(r) en fonction de λ, ε_0, r et de constantes à déterminer en distinguant deux domaines (à définir). Quelle relation existe-t-il entre E⃗ = E(r)u⃗_r et le potentiel électrostatique V(r) ?
A4. Le fil conducteur est porté au potentiel V_1. Exprimer la différence de potentiel V(r) − V_1 en fonction de λ, ε_0, a et r.
Considérons deux fils (1) et (2) de longueur infinie, infiniment conducteurs, de rayon a, parallèles entre eux, espacés de h≫a et possédant les charges linéiques λ et − λ constantes et uniformes (figure 2). Nous ferons l'hypothèse que les charges restent uniformément réparties à la périphérie des conducteurs cylindriques. Ces deux conducteurs forment une ligne bifilaire.
A5. En appliquant le théorème de superposition, exprimer V_1 − V_2, la différence de potentiel entre le fil (1) et le fil (2).
A6. Réaliser un tracé qualitatif des lignes de champ et des surfaces équipotentielles relatives aux conducteurs cylindriques.
A7. Montrer qu'une surface équipotentielle particulière est un plan et donner son équation.
A8. Déterminer l'expression du champ électrique E⃗ en tout point de ce plan. Tracer le module de E⃗ en fonction d'une variable à préciser.
A9. Montrer que certaines lignes de champ sont portées par une droite. Exprimer le champ électrique E⃗ en tout point de cette droite. Tracer le module de E⃗ en fonction d'une variable à préciser.
L'ensemble des deux conducteurs forme un condensateur de capacité linéique C_0. Pour la suite, il sera admis que C_0 = (πε_0)/(Ln((h − a)/a)).

B / ETUDE EN REGIME STATIONNAIRE

La ligne bifilaire est utilisée pour alimenter une charge. Le conducteur (1) constitue le conducteur aller du courant électrique constant d'intensité I_0 (dans le sens de l'axe Oz ). Le conducteur (2) est le conducteur retour de ce courant. La répartition du courant est uniforme sur chaque conducteur. Les vecteurs densité de courant sont respectivement :
j⃗_1 = (I_0)/(πa^2)u⃗_z et j⃗_2 = (− I_0)/(πa^2)u⃗_z
B1. Montrer que le champ magnétique créé par le conducteur (1) est orthoradial et qu'il ne dépend que de r, tel que : B⃗_1 = B_1(r)u⃗_θ.
B2. A partir du théorème d'Ampère sur un contour à préciser, établir l'expression de B_1(r) en distinguant deux domaines (à définir). Tracer le graphe de B_1(r).
B3. De même, exprimer B⃗, le champ magnétique résultant créé par les conducteurs (1) et (2), mais uniquement dans le plan défini par les axes des deux conducteurs et entre les conducteurs.
L'ensemble des deux conducteurs forme une bobine d'inductance linéique L_0. Dans la suite du problème, il sera admis que L_0 = (μ_0)/πLn((h − a)/a).
B4. A l'aide d'une figure, montrer ce que représente la grandeur physique L_0 I_0.
B5. Que vaut le produit L_0 C_0 ? Application numérique.

DEUXIEME PARTIE

REGIMES VARIABLES

L'étude est menée dans le cadre de la théorie générale de l'électromagnétisme. La répartition des courants possède les propriétés suivantes : à un instant t et à une abscisse z donnés, i(z, t) est l'intensité du courant à travers une section droite du conducteur (1) et − i(z, t) l'intensité du courant à travers une section droite du conducteur (2). Les vecteurs densité de courant sont respectivement j→_1 = (i(z, t))/(πa^2)u→_z et j→_2 = (− i(z, t))/(πa^2)u→_z La répartition des charges est donnée par la densité linéique de charges λ(z, t) pour le conducteur (1) et − λ(z, t) pour le conducteur (2). La différence de potentiel électrique entre (1) et (2) est de la forme v(z, t) et le conducteur (2) sera pris comme référence de potentiel.

C / ETUDE A PARTIR DES EQUATIONS DE MAXWELL

Seul l'espace compris entre les conducteurs et au voisinage du plan contenant les axes des conducteurs sera considéré. Les coordonnées cartésiennes seront utilisées.
C1. Justifier que dans le domaine considéré, les champs magnétique et électrique peuvent s'écrire avec les approximations suivantes : B⃗ ≈ B(x, z, t)u⃗_y et E→ ≈ E(x, z, t)u→_x.
II sera admis que le potentiel vecteur A⃗ s'exprime sous la forme A⃗ = A(x, z, t)u⃗_z.
C2. A partir de la forme locale de l'équation de Maxwell-Ampère appliquée à l'espace entre les conducteurs, établir une relation notée [ ℛ1 ] entre une dérivée partielle de B(x, z, t) et une dérivée partielle de E(x, z, t).
C3. Appliquer la forme locale de l'équation de Maxwell-Faraday dans le domaine considéré. En déduire une relation notée [ ℛ2 ] entre une dérivée partielle de B(x, z, t) et une dérivée partielle de E(x, z, t).
C4. Etablir l'expression suivante du champ magnétique :
B(x, z, t) = α_B ⋅ i(z, t) ⋅ (1/x + 1/(h − x)) où α_B est une constante à déterminer.
C5. Déduire des trois questions précédentes que l'intensité i(z, t) satisfait à une équation de d'Alembert que l'on établira. Préciser la vitesse de propagation.
C6. Trouver l'expression du champ E(x, z, t) en fonction de λ(z, t) et de paramètres à expliciter.
C7. En déduire une relation entre (∂λ(z, t))/(∂t) et une dérivée partielle de l'intensité i(z, t). A quoi correspond cette relation?
C8. A partir de la relation générale E⃗ = − gradV^(→−) − (∂A⃗)/(∂t), établir une relation entre v(z, t), λ(z, t) et C_0.
C9. A partir de la relation [ ℛ2 ], établir l'équation liant (∂v(z, t))/(∂z), (∂i(z, t))/(∂t) et des constantes à déterminer. Que traduit cette relation?
C10. A partir de la relation [ ℛ1 ], établir l'équation liant (∂i(z, t))/(∂z), (∂v(z, t))/(∂t) et des constantes à déterminer. Que traduit cette relation?
C11. Est-ce que l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires est vérifiée ? Pourquoi?

D / ETUDE A PARTIR D'UN SCHEMA EQUIVALENT

La ligne présente une capacité linéique C_0, une inductance linéique L_0 et une résistance linéique R car les conducteurs (1) et (2) ne sont pas des conducteurs parfaits. Une conductance transversale linéique G complète le schéma équivalent pour modéliser les pertes transversales. Une portion de ligne est représentée sur la figure 3.
D1. Etablir les équations exprimant les dérivées partielles (∂v(z, t))/(∂z) et (∂i(z, t))/(∂z), en fonction de v(z, t), i(z, t), (∂v(z, t))/(∂t), (∂i(z, t))/(∂t), R, G, L_0 et C_0.
D2. En déduire une équation de propagation pour la tension v(z, t). A quelle équation l'intensité i(z, t) satisfait-elle?
Considérons une onde v_–(z, t) = v_0 e^(j(ωt − kz_–)) (en notation complexe), se propageant sur la ligne. k_– est une grandeur complexe tel que k_– = k^′ + jk " où k^′ et k^(′′) sont des nombres réels.
D3a. Déterminer la relation de dispersion liant k_– à ω.
D3b. Définir la vitesse de phase v_φ et une grandeur δ caractéristique de l'atténuation en fonction de k^′ et de k^(′′).
D3*c. Pour le cas où R≪L_0 ω et G≪C_0 ω, donner l'expression de v_φ et de δ à l'ordre le plus bas en 1/ω. A quelle condition sur R, L_0, G et C_0, un signal quelconque n'est-il pas déformé par la ligne après transmission ? Y a-t-il dispersion dans ce cas ?
Dans toute la suite du problème la ligne est supposée être une ligne idéale, dont les caractéristiques sont telles que R = 0 et G = 0.
D4*a. Montrer que l'équation aux dérivées partielles relative à la tension s'écrit :
(∂^2 v(z, t))/(∂t^2) = u^2(∂^2 v(z, t))/(∂z^2) où u est un coefficient que l'on explicitera.
Quelle est la dimension de u ?
Quelle est la forme générale des solutions de cette équation?
D4*b. Retrouver que l'intensité i(z, t) vérifie une équation de propagation.
II sera admis que les solutions générales s'écrivent sous la forme :
v(z, t) = v_1(t − z/c) + v_2(t + z/c) et i(z, t) = i_1(t − z/c) + i_2(t + z/c)
D4^∗ c. Interpréter les significations physiques des grandeurs d'indice 1 et 2. _–
D4*d. Montrer les relations suivantes :
{v_1(t − z/c) = R_c i_1(t − z/c); v_2(t + z/c) = − R_c i_2(t + z/c)
R_c est appelée résistance caractéristique de la ligne. Exprimer R_c en fonction de ε_0, μ_0, a et h.
Calculer numériquement R_c et u à l'aide des valeurs expérimentales suivantes : L_0 = 0, 318mH.km^(− 1) et C_0 = 509nF.km^(− 1). Conclusions ?
Un condensateur (de capacité C) en série avec une bobine (d'inductance propre L et de résistance interne négligeable) est connecté sur la ligne bifilaire infinie par l'intermédiaire d'un interrupteur K initialement ouvert (figure 4-a). Le condensateur est chargé sous la tension U, puis à l'instant t = 0, K est fermé.
D5*a. Montrer que le circuit est équivalent à un circuit R, L, C série pour lequel les éléments seront précisés.
D5*b. Etablir que la tension aux bornes du condensateur v_c(t) satisfait à une équation différentielle qui sera exprimée sous la forme :
(d^2 v_C)/(dt^2) + 2mω_0(dv_C)/(dt) + ω_0^2 v_C = 0
Préciser l'expression de la pulsation caractéristique ω_0 et du facteur d'amortissement réduit m.
D5*c. Résoudre cette équation dans le cas où m < 1. Tracer l'allure de la tension v_c(t) pour m = 10^(− 2). A partir de quel temps caractéristique t_c, la tension v_c(t) est-elle inférieure à U/100 ?
D5*d. La figure 4-b représente v(z, t_c) pour 0 < z < (ct)/4. Expliquer cette courbe et préciser l'ordre de grandeur de la valeur maximale. En déduire l'allure de v(z, t_c) pour 0 < z < 2ct_c.
D5e. Proposer un bilan énergétique.
D5f. Que se passe-t-il si la ligne bifilaire n'est pas infinie? Que pourrait-on observer en pratique?

TROISIEME PARTIE

PROPAGATION DE SIGNAUX

E / CAS DE SIGNAUX SINUSOÏDAUX

La ligne bifilaire de longueur ℓ est alimentée en entrée par un générateur de tension de résistance interne R_G (figure 5) ; elle est branchée en sortie sur une résistance de charge R_U. Dans cette partie le générateur de tension impose un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω dans la ligne bifilaire. Les grandeurs v_1, v_2, i_1 et i_2 introduites en D4^∗ C deviennent des fonctions sinusoïdales dépendant de ω(t − z/c) pour les grandeurs d'indice 1 et de ω(t + z/c) pour les grandeurs d'indice 2. Les grandeurs à l'entrée de la ligne sont notées avec l'indice et les grandeurs à la sortie de la ligne avec l'indice s, comme indiqué ci-dessous:
v_e(t) = v(0, t), v_s(t) = v(ℓ, t), i_e(t) = i(0, t) et i_s(t) = i(ℓ, t).
En utilisant la notation complexe et sachant que k = ω/c, il vient alors :
v_–_1 = V_–_(10)e^(j(ωt − kz)), v_–_2 = V_–_(20)e^(j(ωt + kz)), i_–_1 = (V_–_(10))/(R_c)e^(j(ωt − kz)), i_–_2 = (− V_–_(20))/(R_c)e^(j(ωt + kz))
où ⋁_–_(10) et ⋁_–_(20) sont des nombres complexes constants.
Les amplitudes complexes V_–(z) et I_–(z) de v(z, t) et i(z, t) seront utilisées telles que:
{V_–(z) = V_–_(10)e^(− jkz) + V_–_(20)e^(jkz); I_–(z) = (V_–_(10))/(R_c)e^(− jkz) − (V_–_(20))/(R_c)e^(jkz)
La tension et l'intensité, à l'entrée de la ligne, seront notées :
V_–(0) = V_–_e, I_–(0) = I_–_e et de même à la sortie: V_–(ℓ) = V_–_s, I_–(ℓ) = I_–_s.
E1. En éliminant V_–_(10) et V_–_(20), déterminer les deux fonctions f et g telles que:
{V_–_e = f(kℓ)V_–_s + jR_c g(kℓ)I_–_s; I_–_e = j(g(kℓ))/(R_c)V_–_s + f(kℓ)I_–_s
E2. En déduire l'impédance d'entrée Z_–_e = (V_–_e)/(I_–_e) en fonction de R_u, R_c, k et ℓ. Que vaut Z_–_e dans le cas particulier où R_U = R_C ? Interpréter physiquement ce résultat.

F / CAS DE SIGNAUX IMPULSIONNELS

Dans cette partie le générateur de tension est modélisé à l'aide d'une force électromotrice variable e(t) en série avec R_G (figure 5 ), telle que pour t < 0, e(t) = 0 et pour t ≥ 0, e(t) = E.
F1. En écrivant quatre relations en z = ℓ, à savoir :
  • une relation [ ℜa ], entre v_s(t), R_U et i_s(t),
  • une relation [ ℛ b], entre v_s(t), v_1(t − ℓ/c) et v_2(t + ℓ/c),
  • une relation [ ℛc ], entre i_s(t), i_1(t − ℓ/c) et i_2(t + ℓ/c),
  • une relation [ ℛd ], entre i_s(t), v_1(t − ℓ/c), v_2(t + ℓ/c) et R_c,
    montrer que :
    v_2(t + ℓ/c) = αv_1(t − ℓ/c) pour t ≥ ℓ/c, où α est une constante à déterminer.
    En déduire que: v_2(t) = αv_1(t − (2ℓ)/c).
    Quelle est la signification physique de α ?
    Calculer α pour R_U = 0, R_U = R_C et R_U = ∞.
F2. De même, en écrivant quatre relations en z = 0, à savoir :
  • une relation [ ℛ e], entre v_e(t), E, R_G et i_e(t),
  • une relation [ℛf], entre v_e(t), v_1(t) et v_2(t),
  • une relation [ℛg] entre i_e(t), i_1(t) et i_2(t),
  • une relation [ℛh] entre i_e(t), v_1(t), v_2(t) et R_c,
    montrer que : v_1(t) = E/2 pour t ≥ 0 et pour R_G = R_C.
F3. Pour R_G = R_C, tracer les graphes des tensions v_e(t) et v_s(t) pour les valeurs suivantes de R_U : R_U = 0, R_U = R_C et R_U = ∞. (Pour chacun de ces graphes, placer les instants ℓ/c et (2ℓ)/c )
F4. En reprenant l'étude précédente pour R_G et R_U quelconques, donner l'expression de v_e(0) et v_e(∞) en fonction de R_G et R_U.
Quel est le schéma électrique équivalent en régime établi ?
Décrire qualitativement le fonctionnement du circuit pendant le régime transitoire.
Reprenons l'étude avec une «impulsion» définie par:
e(t) = 0, pour t < 0; e(t) = E pour 0 < t ≤ l/c,; e(t) = 0, pour t > l/c.
F5. En considérant que R_G = R_C, étudier et tracer le graphe de v_e(t) pour les valeurs suivantes de R_U : R_U = 0, R_U = R_C et R_U = ∞. Pour chacun de ces graphes, placer les instants ℓ/c, (2ℓ)/c, (3ℓ)/c.
F6. Que se passe-t-il si la durée de l'impulsion est supérieure à (2ℓ)/c ?

Données numériques :

μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1) ε_0 = 1/(36π ⋅ 10^9) F ⋅ m^(− 1) c = 1/(√(ε_0 μ_0)) = 3.10^8 m ⋅ s^(− 1)

Rappels d'analyse vectorielle :

Expressions des opérateurs gradient, divergence, rotationnel et laplacien en coordonnées cylindriques, pour une fonction scalaire V = V(r, θ, z) et pour une fonction vectorielle A⃗ = A_r(r, θ, z)u⃗_r + A_θ(r, θ, z)u⃗_θ + A_z(r, θ, z)u⃗_z :
gradV^– = (∂V)/(∂r)u⃗_r + 1/r(∂V)/(∂θ)u⃗_θ + (∂V)/(∂z)u⃗_z; divA⃗ = 1/r(∂(rA_r))/(∂r) + 1/r(∂A_θ)/(∂θ) + (∂A_z)/(∂z); rot^(→−)A⃗ = (1/r(∂A_z)/(∂θ) − (∂A_θ)/(∂z))u⃗_r + ((∂A_r)/(∂z) − (∂A_z)/(∂r))u⃗_θ + 1/r((∂(rA_θ))/(∂r) − (∂A_r)/(∂θ))u⃗_z; ΔV = 1/r∂/(∂r)(r(∂V)/(∂r)) + 1/(r^2)(∂^2 V)/(∂θ^2) + (∂^2 V)/(∂z^2)

Figures :

Figure 1
Figure 2
Figure 4-a
Figure 4-b
Figure 5

FIN DE L'EPREUVE

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