E3A Physique PSI 2004Sujet

Le problème comporte trois parties largement indépendantes sur le thème général du chauffage par induction. La première partie aborde la propagation d'une onde électromagnétique plane dans un métal. La deuxième partie concerne l'étude électromagnétique d'un dispositif à symétrie de révolution (qui a un rôle industriel très important) et la troisième partie s'intéresse à l'évolution de la température dans la pièce cylindrique à chauffer (cas d'une trempe superficielle).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

Le chauffage par induction se caractérise et se distingue des autres techniques électro-thermiques par sa capacité à injecter sans contact de l'énergie thermique dans les matériaux conducteurs de l'électricité. Les premières idées théoriques datent des années 1890, elles sont dues à Heaviside et Steinmetz en particulier. S'il a fallu attendre la première guerre mondiale pour voir les premières réalisations industrielles, c'est surtout grâce au progrès rapide de la technologie des sources de puissance (depuis les années 1950) que le chauffage par induction a trouvé des applications allant du soudage de tubes métalliques à grande vitesse à la plaque de cuisson de la ménagère en passant par le traitement thermique en métallurgie.

Une onde électromagnétique plane ( E→_i, B→_i, k→ ) progressive harmonique de pulsation ω = 2πf se propage dans l'air dans la direction u→_x (figure 1 : dans cette partie, le système de coordonnées cartésiennes est utilisé et un point M est repéré par ses coordonnées x, y, z; la base associée est u→_x, u→_y, u→_z ). Le vecteur d'onde associé est k→ = ku→_x( avec k > 0) et le champ électrique est E→_i = E_0√2cos(ωt − kx)u→_z où E_0 est un champ constant ; le champ électrique complexe associé est E→_i = E_0 e^(j(ωt − kx))u→_z. Cette onde incidente se propage vers un conducteur métallique (acier) de conductivité γ, de perméabilité μ_0 μ_r (supposée constante pour une température inférieure à 1000^∘C ) et de permittivité ε_0, occupant le demi-espace x > 0. L'onde incidente donne naissance à une onde réfléchie (indicée R ) et à une onde transmise (indicée T ) dont les champs électriques s'écrivent, en notation complexe: E→_R = E_–_(OR)e^(j(ωt + k_R x))u→_z et E_–→_T = E_–_(0T)e^(j(ωt − k_–_T x))u→_z ⋅ (k_R est réel alors que E_–_(0R), E_–_(0T) et k_–_T sont a priori complexes).

Dans tout le problème, c représente la vitesse de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide, ρ(M, t) est la densité de charges électriques libres, j→(M, t) est le vecteur densité de courant électrique.
1.1. Rappeler les équations de Maxwell écrites à partir des champs E⃗ et B⃗ dans le métal.
1.2. Etablir, à partir de ces équations de Maxwell, l'équation locale de conservation de la charge électrique (équation reliant les dérivées de ρ(M, t) et de j⃗(M, t) ).
1.3. En déduire une équation différentielle vérifiée au point M par la densité volumique de charge ρ(M, t) dans le métal. Résoudre cette équation en supposant qu'à l'instant initial ρ(M, t = 0) = ρ_0 et représenter le graphe correspondant.
Application numérique : calculer la constante de temps mise en évidence. Conclure.
Dans toute la suite du problème, le conducteur métallique sera supposé localement neutre, soit pour tout M, ρ(M, t) = 0.
1.4. Pour quelle gamme de fréquences les courants de déplacement dans le métal valent moins de un pour cent des courants de conduction? En déduire une simplification de l'équation de Maxwell - Ampère. Comment nomme-t-on ce régime de fonctionnement?

Cette condition restera vérifiée dans la suite du problème.
1.5. Dans ce cadre, établir l'équation vérifiée par le champ électrique dans le métal. Comment ce type d'équation s'appelle-t-il ?
I.6. En déduire la relation de dispersion reliant k_–_T à ω. Quelle est la seule solution k_–_T physiquement acceptable? Dans ce cas, que représente la partie imaginaire de k_–_T ? Préciser pourquoi.
1.7. Calculer la vitesse de phase V_φ et la vitesse de groupe V_g de l'onde dans le métal. Le métal est-il dispersif ?
δ = √(2/(μ_r μ_0 γω)) est un paramètre essentiel pour décrire la propagation de l'onde dans le métal.
1.8. Comment δ s'appelle-t-il ? Quelle est sa signification physique ?

Application numérique : calculer δ.
1.9. Exprimer k_–_T en fonction de δ. Quel lien existe-t-il entre k et k_R ?

Les champs magnétiques complexes incident B_–_i, réfléchi B_–_R et transmis B⃗_–_T associés aux champs électriques E⃗_–_i, E⃗_–_R, et E⃗_–_T peuvent s'écrire (avec a_i réel positif, a_R réel et a_T réel positif) :
B⃗_i = a_i E_0 e^(j(ωt − kx))v⃗, B⃗_R = a_R E_–_(0R)e^(j(ωt + k_R x))v⃗, B_–_T = a_T e^(jφ_T)E_–_(0T)e^(j(ωt − k_–_T x))v⃗.
1.10. Exprimer les coefficients a_i, a_R, a_T et le déphasage φ_T en fonction de c, ω et δ.

Préciser le vecteur v⃗.
Le coefficient sans dimension α = √((2ε_0 ω)/(γμ_r)) permettra de simplifier les expressions.
I.11. Ecrire les relations de passage pour les champs électrique et magnétique dans le plan x = 0 et en déduire les deux équations suivantes entre E_0, E_–_(0R) et E_–_(0T) :

1.12. Préciser une relation simple entre α, ω, δ et c . Vérifier que α≪1 est compatible avec la condition établie en I.4.

Dans la suite de cette première partie tous les calculs seront effectués au premier ordre en α.
1.13. Dans le cadre de cette approximation, donner alors E_–_(OR) et E_–_(OT) en fonction de E_O. Commenter les résultats obtenus dans le cas limite α = 0.
1.14. Montrer que les expressions des champs électrique E⃗_–_T et magnétique B⃗_–_T dans le métal (au premier ordre en α ) s'écrivent :
E⃗_T = √2αE_0 e^((− [x/δ]))e^(jπ/4)e^(j(ωt − [x/δ]))u⃗_z et B⃗_T = − 2(E_0)/ce^((− [x/δ]))e^(j(ωt − [x/δ]))u⃗_y.
Préciser alors les expressions réelles E⃗_T(M, t) et B⃗_T(M, t) de ces champs dans le métal.
I.15. A partir des expressions réelles des champs, calculer le vecteur de Poynting R⃗ dans le métal, ainsi que sa moyenne temporelle < R⃗ >.
1.16. Déterminer la puissance volumique (dP_J)/(dτ) dissipée par effet Joule dans le métal, puis sa moyenne temporelle < (dP_J)/(dτ) >. Quel lien existe -t-il entre < R⃗ > et < (dP_J)/(dτ) > ?

Le chauffage d'un cylindre métallique est obtenu en plaçant celui-ci au centre d'un inducteur à symétrie de révolution (solénoïde considéré comme infini, à spires jointives et comportant N spires par mètre), parcouru par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation ω et de valeur efficace I_0 (figure 2). La longueur L du cylindre (identique à celle de l'inducteur) est suffisamment grande devant son rayon ℜ_c pour être considérée comme infinie.

Le système de coordonnées cylindriques est utilisé et un point M est repéré par ( r, θ, z ), la base locale associée étant u→_r, u→_θ, u→_z. Le métal chauffé est le même acier que dans la première partie et la grandeur δ garde l'expression introduite pour la question 1.8.

Les expressions des opérateurs vectoriels sont rappelées en annexe.
II.1. A partir de l'étude des symétries, montrer que l'excitation magnétique H⃗ ne peut avoir de composantes que sur u⃗_r et sur u⃗_z.

Dans la suite, H⃗_– = H_–_r e^(jωt)u⃗_r + H_–_z e^(jωt)u⃗_z représentera le vecteur excitation magnétique complexe. De même le vecteur densité de courant s'écrira : j⃗_– = j_–_r e^(jωt)u⃗_r + j_–_θ e^(jωt)u⃗_θ + j_–_z e^(jωt)u⃗_z.
II.2. Ecrire les équations de Maxwell en un point M du cylindre à chauffer (il est rappelé que pour tout point M, ρ(M, t) = 0).
II.3. En déduire les deux équations différentielles suivantes, relatives aux composantes H_–_r et H_–_z :

II.4. A partir de la loi de conservation du flux, montrer que rH_–_r est constant. En déduire que la composante H_–_r est nulle.
II.5. Montrer alors que les lignes de courant induit sont des cercles d'axe zz^′. Exprimer la densité de courant j⃗_– au point M en fonction d'une dérivée à préciser.

Dans le cas des basses fréquences, il est admis que la composante H_–_z est bien représentée par un développement en série tel que :

II.6.a Etablir les relations de récurrence entre les coefficients de H_–_z. Préciser en particulier la valeur de α_–_1, celle de α_–_2 et la relation entre α_–_n et α_–_(n − 2).
II.6.b A quelle condition sur la fréquence, le développement de H_–_z peut-il ne conserver que deux termes principaux, les autres étant considérés comme négligeables? Application numérique : calculer la fréquence maximale f_M mise en évidence.
II.6.c Donner alors une approximation de j⃗_– au premier ordre en r sous la forme : j⃗_– = j_–_θ(r)e^(jωt)u⃗_θ. Préciser l'expression de j_–_θ(r).
II.6.d Calculer la puissance volumique moyenne p_v(r) dissipée par effet Joule. En déduire la puissance moyenne P dissipée dans le cylindre. Tracer cette puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 10^(− 5)f_M < f < 10^(− 2)f_M (tracé de log_(10)P, en fonction de log_(10)f ).

Dans le cas des fréquences élevées, il est assez intuitif de penser que certains résultats de la première partie doivent s'appliquer :

Une solution approchée de cette équation peut s'écrire: H_–_z = H_–_1 e^((r − ℜ_c)/δ)e^(j − (r − ℜ_c)/δ).
II.7.b Quelle est la signification de |H_–_1| ? Exprimer la relation entre |H_–_1| et I_0.
II.7.c Donner alors j⃗ puis en déduire le courant total I circulant dans le cylindre. Retrouver ce résultat en utilisant le théorème d'Ampère. Expliquer le lien entre les courants I_0 et Ià l'aide d'un transformateur équivalent qui sera explicité.
II.7.d Calculer la puissance moyenne P dissipée par effet Joule par le cylindre. Tracer cette puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 10^2 f_M < f < 10^5 f_M (tracé de log_(10)P, en fonction de log_(10)f ).
Application numérique : quel courant I_0 faut-il choisir pour avoir une puissance P dissipée dans le cylindre?

f = 100kHz, L = 10 cm, ℜ_c = 2 cm, N = 100 spires. m^(− 1), P = 100 kW
μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1), μ_r = 10^2, γ = 10^7 Ω^(− 1) ⋅ m^(− 1).

Dans cette partie consacrée à une étude thermique du cylindre de la figure 2, la fréquence du courant de l'inducteur est assez élevée pour que le chauffage se fasse exclusivement en périphérie du cylindre. Le métal du cylindre (qui a les mêmes caractéristiques que dans la première partie) possède une capacité thermique massique C_p, une masse volumique μ et une conductivité thermique λ. Seuls les échanges par diffusion thermique (appelée aussi conduction thermique) seront considérés, et j→_(th) représente le vecteur densité de courant thermique.
Ш.1. En étudiant les symétries, montrer que la température T du cylindre ne dépend que du temps et d'une variable spatiale à préciser.

La puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule sera notée p(r, t).
III.2. L'équation de la chaleur au sein du cylindre s'écrit : μC_p(∂T)/(∂t) − λΔT = p(r, t).

Quelles sont les approximations conduisant à cette équation?
Dans la suite du problème, la réponse en température du cylindre ne sera étudiée que dans les instants qui suivent le début de la chauffe (cas d'une trempe superficielle). Dans ce cas, le terme 1/r(∂T)/(∂r) (qui est infini suivant l'axe zz^′ ) dans l'expression de l'équation de la chaleur peut être négligé si le temps d'observation reste inférieur à un temps caractéristique τ_c qui dépend des paramètres de la pièce à chauffer. A l'instant initial (début de la chauffe) le cylindre a une température uniforme égale à la température ambiante T_a. L'effet de peau qui intervient dans les phénomènes électromagnétiques implique que la puissance dissipée par effet Joule est uniquement dissipée à la surface latérale du cylindre (soit p(r, t) = 0 pour tout r ), et vaut, par unité de surface latérale, 𝒫 pour t > 0. Dans la suite du problème, a = λ/(μC_p) est la diffusivité thermique du métal, et Θ = T − T_a est l'accroissement de température du cylindre.
III.3. Dans le cadre de ces hypothèses, simplifier l'équation de la chaleur et l'écrire en fonction de a et de Θ (équation [1]). Préciser les conditions initiales (pour t = 0 et pour tout r ), relatives à Θ.
III.4. Montrer que la densité de courant thermique j_(th)(r, t) telle que j⃗_(th) = j_(th)(r, t)u⃗_r vérifie une équation [2] du même type que l'équation [1].
Préciser les conditions aux limites (pour r = ℜ_c et pour tout t ), ainsi que les conditions initiales, relatives à j⃗_(th)(r, t).
III.5. Faire le changement de variable: u = (ℜ_c − r)/(2√(at)), tel que j_(th)(r, t) = βf(u) et f(0) = 1 ( β est une constante de normalisation); montrer que l'équation [2] se simplifie en (d^2 f)/(du^2) + 2u(df)/(du) = 0 (équation [3] à variables séparables).
III.6. Intégrer l'équation [3] pour trouver (df)/(du); montrer alors que : f(u) = 1 + K∫_0^u e^(− x^2)dx, où K est une constante d'intégration.

Pour la suite, il conviendra de faire l'approximation: ∫_0^u e^(− x^2)dx ≈ 0.89(1 − e^(− u)).
III.7. Dans ce cas et à partir des conditions initiales et aux limites, trouver les constantes β et K. En déduire la densité de courant thermique j_(th)(r, t).
III.8. Déterminer l'expression de l'accroissement de température Θ(r, t).
III.9. En reprenant l'hypothèse initiale : " tant que t < τ_c, |1/r(∂T)/(∂r)|≪|(∂^2 T)/(∂r^2)| ", exprimer le temps caractéristique τ_c en fonction de a et de ℜ_c.
Application numérique : calculer τ_c
III.10. Représenter le graphe de Θ(r, t = (τ_c)/(25)). Donner l'ordre de grandeur de la température maximale T_(max) atteinte sachant que e^5 ≅ 150. Commenter le résultat obtenu.

Pour V = V(r, θ, z) et A⃗ = A_r(r, θ, z)u⃗_r + A_θ(r, θ, z)u⃗_θ + A_z(r, θ, z)u⃗_z,
gradV^(→−) = (∂V)/(∂r)u⃗_r + 1/r(∂V)/(∂θ)u⃗_θ + (∂V)/(∂z)u⃗_z divA⃗ = 1/r(∂(rA_r))/(∂r) + 1/r(∂A_θ)/(∂θ) + (∂A_z)/(∂z)
rot^(→−)A⃗ = (1/r(∂A_z)/(∂θ) − (∂A_θ)/(∂z))u⃗_r + ((∂A_r)/(∂z) − (∂A_z)/(∂r))u⃗_θ + 1/r((∂(rA_θ))/(∂r) − (∂A_r)/(∂θ))u⃗_z
ΔV = 1/r∂/(∂r)(r(∂V)/(∂r)) + 1/(r^2)((∂^2 V)/(∂θ^2)) + (∂^2 V)/(∂z^2)
ΔA⃗ = [ΔA_r − 1/(r^2)(A_r + 2(∂A_θ)/(∂θ))]u⃗_r + [ΔA_θ − 1/(r^2)(A_θ + 2(∂A_r)/(∂θ))]u⃗_θ + ΔA_z u⃗_z

FIN DE L'EPREUVE