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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI
durée 3 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Dans tout le problème, R désigne le corps des réels, E l'espace vectoriel des fonctions continues, définies sur [0, 1] et à valeurs dans R, F l'espace vectoriel des fonctions de classe C^1, définies sur [0, 1] et à valeurs dans R.
Pour tout f ∈ E, on note ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)| et on rappelle que l'on définit ainsi une norme sur E.
Si g est une application k fois dérivable sur [0, 1], g^((k)) désigne la dérivée k - ième de g.

Préliminaires.

Soit n ∈ N^∗ et u une fonction de classe C^n sur [0, 1].
On suppose que: ∀k ∈ {0, …, n − 1}, u^((k))(0) = 0.
Prouver que : ∀x ∈ [0, 1], u(x) = ∫_0^x((x − t)^(n − 1))/((n − 1)!)u^((n))(t)dt.

Partie I : Pour g ∈ F donnée, recherche de f ∈ F vérifiant la relation :

(S) : ∀x ∈ [0, 1], f(x) − ∫_0^x f(t)dt = g(x).

Question 1.

  1. Montrer l'équivalence :
f ∈ F est solution de (S) ⇔ (∀x ∈ [0, 1], f^′(x) − f(x) = g^′(x) et f(0) = g(0)).
On note () l'équation différentielle y^′ − y = g^′(x).
2. Résoudre l'équation différentielle ().

Question 2.

Prouver que ( S ) possède dans F une unique solution f définie par :
∀x ∈ [0, 1], f(x) = g(x) + ∫_0^x e^(x − t)g(t)dt

Question 3 : Application.

Déterminer la solution fde(S) lorsque g est la fonction x ∈ [0, 1] ↦ cos(x).
Partie II: Quelques propriétés de la fonction T : f ∈ E ↦ T(f) définie par :
∀x ∈ [0, 1], T(f)(x) = ∫_0^x f(t)dt
On définit l'application T qui à f ∈ E associe l'application T(f), définie sur [ 0,1 ] par :
∀x ∈ [0, 1], T(f)(x) = ∫_0^x f(t)dt
Pour tout n ∈ N^∗, on note T^n = ToT^(n − 1), sachant que T^0 = I_E (application identité de E ).
Lorsque U est un endomorphisme continu de E, on désigne par ‖‖U‖‖ le réel positif :
‖U‖ = sup_(‖f‖_∞ ⩽ 1)‖U(f)‖_∞

Question 1.

  1. Montrer que T est un endomorphisme de E.
  2. Préciser Ker(T) et Im(T).
  3. Quel est l'ensemble des valeurs propres de T ?

Question 2.

  1. Montrer que ∀x ∈ [0, 1], |T(f)(x)| ⩽ ‖f‖_∞.
En déduire que T est une application continue de ( E, ‖‖_∞ ) dans ( E, ‖‖_∞ ).
2. Prouver que ‖|T|‖ ⩽ 1.
3. On considère f_0 : x ∈ [0, 1] ↦ f_0(x) = 1. Que vaut ‖T(f_0)‖_∞ ?
4. Calculer ‖|T|||.

Question 3.

Soit n ∈ N^∗.
  1. Montrer que T^n(f) est de classe C^n sur [0, 1].
  2. Prouver que pour tout entier naturel k ∈ {0, …, n − 1}, (T^n(f))^((k)) = T^(n − k)(f).
  3. Que vaut (T^n(f))^((n)) ? (T^n(f))^((k))(0) pour k ∈ {0, …, n − 1} ?
  4. Montrer alors que : ∀x ∈ [0, 1], (T^n(f))(x) = ∫_0^x((x − t)^(n − 1))/((n − 1)!)f(t)dt.
  5. Préciser Ker(T^n) et Im(T^n).
  6. Prouver que T^n est un endomorphisme continu de ( E, ‖ ‖_∞ ).
  7. En utilisant la fonction f_0 définie à la question 2., prouver que: ‖‖T^n‖‖ = 1/(n!).
  8. En déduire que : ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], lim_(n → + ∞)T^n(f)(x) = 0. Préciser lim_(n → + ∞)T^n.
Partie III : Pour g ∈ E donnée, recherche de f ∈ E vérifiant
(S) : ∀x ∈ [0, 1], f(x) − ∫_0^x f(t)dt = g(x)
On note H l'application qui à f ∈ E associe l'application H(f) définie sur [0, 1] par :
∀x ∈ [0, 1], H(f)(x) = ∫_0^x e^(x − t)f(t)dt

Question 1.

  1. Montrer que H est un endomorphisme de E.
  2. Prouver que : ∃K ⩾ 0 tel que ∀x ∈ [0, 1], |H(f)(x)| ⩽ K‖f‖_∞.
En déduire que H est continue de ( E, ‖ ‖_∞ ) dans ( E, ‖ ‖_∞ ) et que ‖|H‖ ⩽ e.
3. Montrer que H(f) est C^1 sur [0, 1]. Calculer, pour x ∈ [0, 1], (H(f))^′(x).

Question 2.

Prouver que ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], la série ∑_(n ⩾ 1)(T^n(f))(x) converge absolument.
Pour tout x de [0, 1] et tout f de E, on note Ψ(f)(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)T^n(f)(x).

Question 3.

On se propose de montrer que Ψ = H.
  1. On pose, pour n fixé dans N^∗, x fixé dans [0, 1] et f fixée dans E :
v_n : [0, x], → R; t, ↦ v_n(t) = ((x − t)^(n − 1))/((n − 1)!)f(t)
Montrer que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)v_n converge normalement sur [0, x].
2. Prouver alors que ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], ∑_(n = 1)^(+ ∞)(T^n(f))(x) = H(f)(x).
En déduire que Ψ = H.

Question 4.

  1. On note V = I_E − T.
En calculant, pour n ∈ N, (∑_(k = 0)^n T^k)oV, trouver W ∈ L(E) telle que : WoV = I_E.
2. Prouver alors que l'équation ( S ) possède une unique solution h dans E.
3. Déterminer h.
4. Que constate-t-on?

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