E3A Mathématiques A PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury
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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Dans tout le sujet,
E désigne l'espace des fonctions de classe
C^∞ de
ℝ à valeurs dans
ℝ : E = C^∞(ℝ, ℝ) .
| Applications directes du cours |
Soit
f ∈ E .
- Démontrer que si
f est paire alorsf^′ est impaire. - Démontrer une propriété analogue lorsque
f est impaire. - Soit
H l'application deE dansE qui à toute applicationu ∈ E associe l'applicationv ∈ E définie par :
3.1 Vérifier que
H est une symétrie vectorielle de
E .
3.2 Retrouver, à l'aide deH , que tout élément de
E se décompose de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles vraies?
5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions deE qui vérifient :
3.2 Retrouver, à l'aide de
4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles vraies?
5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions de
Préliminaires.
On rappelle
E = C^∞(ℝ, ℝ) .
Soitλ ∈ ℝ et
φ l'application qui à
y ∈ E associe
φ(y) = y^(′′) + λy .
Soit
- Vérifier que
φ est un endomorphisme deE . - Soit
h ∈ E . Existe-t-ily ∈ E telle queφ(y) = h ? -
φ est-elle surjective? - Montrer que le noyau de
φ est de dimension finie. - Déterminer une base de
ker(φ) uniquement constituée de fonctions paires et de fonctions impaires. On pourra discuter suivant le signe deλ . - Quelle est la structure de l'ensemble des antécédents de la fonction constante égale à
1/2 parφ ? Décrire précisément cet ensemble. - 7.1 Déterminer l'intersection de
ker(φ) avecB(ℝ, ℝ) , le sous-espace vectoriel deE constitué des fonctions bornées deE .
7.2 Ces deux sous-espaces sont-ils en somme directe?
7.3 Si on supposeλ < 0 , existe-t-ilf ∈ ker(φ) etg ∈ B(ℝ, ℝ) tels que∀x ∈ ℝ, x = f(x) + g(x) ?
7.4 Lorsqueλ ∈ ℝ , les sous-espacesker(φ) etB(ℝ, ℝ) sont-ils supplémentaires dansE ?
Partie 1.
- Soit
f la fonction2π - périodique, définie pour toutx ∈ [ − π, π] par :
1.1 Représenter graphiquement la fonction
f sur l'intervalle
[ − 2π, 5π] .
1.2 Calculer les coefficients de Fourier réels def .
1.3 Étudier la convergence de la série de Fourier def .
1.4 Justifier la convergence de la série∑_(n ⩾ 1)((− 1)^n)/(n^2) et calculer sa somme
β .
1.5 Soitε > 0 . Déterminer un entier
q tel que
|∑_(n = 1)^q((− 1)^n)/(n^2) − β| < ε .
1.6 Calculer :∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) .
1.7 La fonctionf est-elle de classe
C^2 sur
ℝ ?
2. Soita ∈ ℝ^∗ .
1.2 Calculer les coefficients de Fourier réels de
1.3 Étudier la convergence de la série de Fourier de
1.4 Justifier la convergence de la série
1.5 Soit
1.6 Calculer :
1.7 La fonction
2. Soit
Pour tout
x ∈ ℝ , on définit la fonction
h : x ⟼ h(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^n(cos(nx))/(n^2 + a^2) .
2.1 Prouver queh est définie et continue sur
ℝ tout entier.
2.2 Déterminer les fonctionsv_n : ℝ → ℝ qui vérifient:
∀x ∈ ℝ, h(x) = f(x) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n(x) .
2.3 Vérifier que la fonctionx ↦ ∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n(x) est une fonction de classe
C^2 sur
ℝ .
2.4 Prouver queh est de classe
C^2 sur ] -
π, π[ .
3. Montrer queh est solution sur ]-
π, π [ d'une équation différentielle du type
y^(′′) + λy = k où
λ et
k sont des constantes réelles.
4. Calculerh^′(0) et
h_g^′(π) (dérivée à gauche de
h en
π ).
5. En déduire que :∀x ∈ ] − π, π[, h(x) = (πch(ax))/(2ash(aπ)) − 1/(2a^2) .
6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment[ − π, π] .
7. Calculer la valeur de∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2 + a^2) .
8. En déduire la valeur de∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) .
2.1 Prouver que
2.2 Déterminer les fonctions
2.3 Vérifier que la fonction
2.4 Prouver que
3. Montrer que
4. Calculer
5. En déduire que :
6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment
7. Calculer la valeur de
8. En déduire la valeur de
\section*{
}
| Partie 2. |
On prend dans cette partie :
a ∈ ℝ_+^∗ .
- Prouver que l'intégrale :
∫_0^(+ ∞)(sin(ax))/(e^x − 1)dx converge. - Soient
k ∈ ℕ^∗ etJ_k = ∫_0^(+ ∞)e^(− kx)sin(ax)dx .
2.1 Pour quelles valeurs dek ∈ ℕ^∗ l'intégraleJ_k existe-t-elle?
2.2 Pour ces valeurs, calculerJ_k . - Pour tout
n ∈ ℕ^∗ , exprimer sous forme d'une intégrale
- Prouver que :
lim_(n → + ∞)R_n = 0 . - En déduire le résultat :
Fin de l'épreuve
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