E3A Mathématiques A PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

QUESTIONS D'APPLICATIONS DU COURS

Parmi les affirmations suivantes indiquez sans justification (sauf à la question 2.d.) celles que vous jugez vraies et celles que vous jugez fausses

Soient

a

b

deux réels. On note

ℰ_(a, b)

l'espace vectoriel des suites réelles qui vérifient la relation :

\foralln \in ℕ, u_(n + 2) = au_(n + 1) + bu_n

Question 1.

a. Pour tous réels

a

b, ℰ_(a, b)

contient au moins une suite géométrique non nulle.
b. Pour que

ℰ_(a, b)

contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il suffit que

a = - 3

b = 4

.
c. Pour que

ℰ_(a, b)

contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il faut que

a = - 3

b = 4

.
d.

ℰ_(a, b)

contient deux suites géométriques indépendantes lorsque

a = 2

b = - 1

.
e. La condition

a^2 + 4b ⩾ 0

est une condition nécessaire pour qu'il existe dans

ℰ_(a, b)

deux suites géométriques indépendantes.

Question 2.

a. L'application

f : u \in ℰ_(a, b) ⟼ (u_0, u_1) \in ℝ^2

est une application linéaire toujours surjective mais injective seulement si

a^2 + 4b < 0

.
b. La condition

a \neq 0

est une condition suffisante pour que

g : u \in ℰ_(a, b) ⟼ (u_0, u_2) \in ℝ^2

soit un isomorphisme.
c. La dimension de

ℰ_(a, b)

est égale à deux seulement si

a^2 + 4b ⩾ 0

.
d. Donner en le justifiant soigneusement une base de l'espace vectoriel

ℰ_(a, b)

dans le cas où

a = - 1

b = - 1

Question 3.

On considère la série entière

\sum_(n ⩾ 1)a_n x^n

où

a_n = (n^n)/(n!)

et on note

R

son rayon de convergence.
a. On a

lim_(n \to + \infty)(a_(n + 1))/(a_n) = 1

et on en déduit que

R = 1

.
b. On a

lim_(n \to + \infty)(a_n + 1)/(a_n) > 1

et on en déduit que la série entière diverge pour toute valeur du réel

x

.
c. On a

R < 1/2

Question 4.

On considère la série entière

\sum_(n ⩾ 1)a_n x^n

où

a_n = (sin(n))/n

et on note

r

son rayon de convergence.
a. On a:

\foralln \in ℕ^*, |a_n| ⩽ 1/n

et donc,

r ⩽ 1

.
b. On a :

r ⩾ 1

.
c. Le rayon de convergence de la série entière

\sum_(n ⩾ 1)sin(n)x^(n - 1)

vaut 1 et donc,

r = 1

.
d. On a:

r ⩾ 1/2

.
e. Pour tout

x \in ] - 1/2, 1/2[, \sum_(n = 1)^(+ \infty)(sin(n))/nx^n = arctan((x - cos(1))/(sin(1)))

.
f. Pour tout

x \in ] - 1/2, 1/2[, \sum_(n = 1)^(+ \infty)(sin(n))/nx^n = - ln|1 - xe^i|

.
g. Pour tout

x \in ] - 1/2, 1/2[, \sum_(n = 1)^(+ \infty)(sin(n))/nx^n = 1/2ln(1 - 2xcos(1) + x^2)

Problème

Dans tout le problème,

E

désigne l'espace vectoriel des suites réelles.
On pourra noter une suite

u \in E

sous la forme :

u = (u_0, u_1, u_2, \dots, u_n, \dots)

ou sous la forme

u = (u_n)

.
Une suite

u

E

est dite périodique de période

p \in ℕ^*

lorsqu'elle vérifie :

\foralln \in ℕ, u_(n + p) = u_n

Partie A

Soit l'ensemble

𝒮_0 = {u ∈ E|∀n ∈ ℕ, u_(n + 2) + u_n = 0}

Soient les deux suites $λ$ et $μ$ définies par: $\foralln \in ℕ, λ_n = cos(nπ/2)$ et $μ_n = sin(nπ/2)$
1.1 Vérifier que $λ$ et $μ$ sont des éléments de $𝒮_0$ .
1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques.
Montrer que $𝒮_0$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
Donner une base de $𝒮_0$ et préciser sa dimension.
Soit $u \in 𝒮_0$ non nulle.
4.1 La suite $u$ est-elle convergente?
4.2 La série $\sumu_n$ , de terme général $u_n$ , est-elle convergente?
4.3 Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ donnée par $f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n x^n$

Donner l'ensemble de définition de

f

et une expression de

f(x)

à l'aide des fonctions usuelles et des termes

u_0

u_1

Partie B

Soit

𝒮 = {u ∈ E|∃a ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, u_(n + 2) + u_n = 2a}

, c'est-à-dire l'ensemble des suites réelles

u

pour lesquelles
il existe une constante réelle

a

telle que pour tout entier naturel

n, u_(n + 2) + u_n = 2a

1.1 On prend: $\foralln \in ℕ, u_n = (- 1)^n$ . Vérifier que $u \notin 𝒮$ .
1.2 On prend: $\foralln \in ℕ, u_n = (- 1)^(E(n/2))$ où $E(t)$ désigne la partie entière du réel $t$ .

Vérifier que

u \in 𝒮

et préciser la valeur du réel

a

correspondant.
1.3 On prend

u_n = 5

. Vérifier que

u \in 𝒮

et préciser la valeur du réel

a

correspondant.
2. Vérifier que les suites constantes appartiennent à

𝒮

.
3. Déterminer les suites géométriques appartenant à

𝒮

.
4. Montrer que

𝒮

est un sous-espace vectoriel de

E

.
5. A-t-on

𝒮 \subset 𝒮_0

𝒮_0 \subset 𝒮

?
6. Soit

φ

l'application définie par :

φ : u \in 𝒮 ⟼ φ(u) = (u_0 + u_2)/2

Montrer que

φ

est une forme linéaire sur

𝒮

.
Quel est son noyau?
7. Soit

v \in E

définie par:

\foralln \in ℕ, v_n = 1

;

Montrer que

𝒮 = 𝒮_0 \oplus Vect(v)

où

Vect(v)

est la droite vectorielle engendrée par la suite

v

.
8. Soit

u \in 𝒮

. Déterminer alors pour tout entier naturel

n

, une expression de

u_n

en fonction de

n

.
9. Montrer que tout élément

u

𝒮

est une suite périodique de période 4 .
10. Prouver que l'application

θ : u \in 𝒮 ⟼ θ(u) = (u_0, u_1, u_2) \in ℝ^3

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

On note

C = (I, J, K)

la base de

𝒮

obtenue comme image réciproque de la base canonique de

ℝ^3

par

θ

θ(I) = (1, 0, 0), θ(J) = (0, 1, 0) et θ(K) = (0, 0, 1)

Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites $I, J$ et $K$ .
Soient $k \in ℕ^*$ et $T_k : u \in E ⟼ T_k(u) = w$ définie par: $\foralln \in ℕ, w_n = u_(kn)$ .
12.1 Vérifier que $T_k$ est un endomorphisme de $E$ .
12.2 Le sous-espace $𝒮$ est-il stable par $T_2$ ?
12.3 Le sous-espace $𝒮$ est-il stable par $T_3$ ?
12.4 Ecrire la matrice, dans la base $C$ obtenue à la Question 10., de l'endomorphisme $τ_3$ induit par $T_3$ sur $𝒮$ .
12.5 L'endomorphisme $τ_3$ de $𝒮$ est-il diagonalisable?
12.6 Reconnaître alors la nature géométrique de $τ_3$ .
Soient $u \in 𝒮$ et $h$ la fonction de la variable réelle $x$ donnée par $h(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n x^n$ .

Exprimer

h(x)

à l'aide des fonctions usuelles pour

x \in ] - 1, 1[

.
Etudier les prolongements possibles en -1 et 1 .

Partie C

Soient

p \in ℕ, p ⩾ 2

fixé et l'espace vectoriel

𝒮_p = {u ∈ E|∃a ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, u_(n + p) + u_n = 2a}

Montrer que tout élément de $𝒮_p$ est périodique de période $2p$ .
Soit $F = (0, 1, 0, 0, \dots, 0; 0, 0, 1, 0, \dots, 0; ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; 0, 0, ⋱, 1, 0; - 1, 0, \dots, \dots, 0, 2; 0, 0, \dots, \dots, 0, 1) \in ℳ_(p + 1)(ℝ)$ .
2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice $F$ .
2.2 Déterminer les valeurs propres de $F$ .
2.3 $F$ est-elle inversible?
2.4 $F$ est-elle diagonalisable dans $ℳ_(p + 1)(ℂ)$ ? dans $ℳ_(p + 1)(ℝ)$ ?
Prouver que l'application $δ$ définie par : $\forallu \in 𝒮_p, δ(u) = (u_0, u_1, \dots, u_(p - 1), a) \in ℝ^(p + 1)$ où $a = (u_0 + u_p)/2$ , est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Quelle est la dimension de $𝒮_p$ ?
On note $C_p$ l'image réciproque de la base canonique de $ℝ^(p + 1)$ par $δ$ .
Soit $ψ$ l'application définie par :

ψ : u \in 𝒮_p ⟼ ψ(u) = t telle que \foralln \in ℕ, t_n = u_(n + 1)

4.1 Vérifier que

ψ

est un endomorphisme de

𝒮_p

.
4.2 Sans nouveaux calculs, préciser

ψ^(2p) = ψ \circ ψo\dotsoψ

, composée

2p

fois de l'application

ψ

.
4.3 Ecrire la matrice de

ψ

dans la base

C_p

𝒮_p

4.4ψ

est-elle diagonalisable?
4.5 Prouver que

ψ

est bijective et déterminer son inverse

ψ^(- 1)

Fin de l'épreuve

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