E3A Mathématiques A PSI 2013Sujet et rapport du jury

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Le sujet comporte des questions préliminaires et un problème de quatre parties numérotées

A, B, C

D

. Les parties

B

C

du problème sont indépendantes de la partie

A

L'ensemble des polynômes à coefficients complexes est noté

ℂ[X]

.
Soit

n

un entier strictement supérieur à 2 . On désigne par

M_n(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées de taille

n

à coefficients complexes.

Pour toute matrice

M \in M_n(ℂ)

, on note

det(M)

le déterminant de

M

. On note

χ_M

le polynôme caratéristique de la matrice

M

défini par

χ_M(X) = det(M - XI_n)

où

I_n

désigne la matrice identité de

M_n(ℂ)

On note

ω

le nombre complexe

e^((2iπ)/n)

. Autant que possible, on préférera écrire

ω

plutôt que

e^((2iπ)/n)

Questions préliminaires d'application directe du cours.

Les résultats de ces questions seront utilisés dans les parties

B

C

du problème.

a) Expliciter, sans justification, l'ensemble des racines $n$ -ièmes de l'unité à l'aide de $ω$ .
b) Factoriser, sans justification, le polynôme $X^n - 1$ comme produit de polynômes irréductibles dans $ℂ[X]$ .
c) Soit $r \in ℤ$ . Montrer que, selon la valeur de $r$ , la somme $\sum_(k = 0)^(n - 1)ω^(rk)$ est égale, soit à 0 , soit à $n$ .
Soient $M$ une matrice diagonalisable de $M_n(ℂ)$ et $λ_0, \dots, λ_(n - 1)$ ses valeurs propres non nécessairement distinctes. Chaque valeur propre est écrite autant de fois que son ordre de multiplicité.
a) Démontrer que l'on a $det(M) = \prod_(k = 0)^(n - 1)λ_k$ .
b) Soient $λ$ une valeur propre de $M$ et $V$ un vecteur propre associé. Montrer que pour tout entier naturel $ℓ$ , le vecteur $V$ est un vecteur propre de $M^ℓ$ associé à la valeur propre $λ^ℓ$ .
c) Montrer que, pour tout polynôme $p \in ℂ[X]$ , la matrice $p(M)$ est diagonalisable.
d) Des questions précédentes, déduire que, pour tout polynôme $p \in ℂ[X]$ , on a

det(p(M)) = \prod_(k = 0)^(n - 1)p(λ_k)

Problème

A. 1) Soit

λ

un réel strictement positif. Calculer la valeur de l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(1/(u^2 + 1) - λ/(u^2 + λ^2))du

après en avoir justifié l'existence.
2) Pour tous réels

x

t

, calculer le module

|1 - xe^(it)|

du nombre complexe

1 - xe^(it)

.
3) Montrer que, si

x \in ] - 1, 1[

, alors l'intégrale

\int_0^π ln(1 - 2xcos(t) + x^2)dt

existe.

On note

h

la fonction de

] - 1, 1

[ dans

ℝ

définie par

h(x) = \int_0^π ln(1 - 2xcos(t) + x^2)dt

A l'aide d'un changement de variable, montrer que la fonction $h$ est paire.
Montrer que la fonction $h$ est de classe $C^1$ sur $[0, 1[$ .
Montrer que pour tout réel $x \in ] - 1, 1[$ et $x \neq 0$ , on a les deux égalités

\int_0^π(x - cos(t))/(1 - 2xcos(t) + x^2) dt, = 2/(x + 1)\int_0^(+ \infty)(u^2 - λ)/((u^2 + λ^2)(u^2 + 1))du; = 1/x\int_0^(+ \infty)(1/(u^2 + 1) - λ/(u^2 + λ^2))du

où l'on a posé

λ = (1 - x)/(1 + x)

.
On pourra utiliser, en le justifiant, le changement de variable

u = tan(t/2)

.
7) Démontrer que

h

est de classe

C^1

sur

] - 1, 1[

et donner, pour tout

x \in ] - 1, 1[

, une expression de

h^'(x)

et de

h(x)

.
B. 1) Soit

a

un nombre complexe. On considère la matrice

A \in M_n(ℂ)

définie par

A = (γ_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

où

àγ_(i, j) = {1, si i = j; a^(j − i), si i < j; a^(n − (i − j)), si i > j c'est-à-dire A = (1, a, a^2, ⋯, a^(n − 1); a^(n − 1), 1, a, ⋯, a^(n − 2); a^(n − 2), a^(n − 1), 1, ⋯, a^(n − 3); ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; a, a^2, ⋯, a^(n − 1), 1)

Démontrer que l'on a

det(A) = (1 - a^n)^(n - 1)

.
On pourra utiliser les opérations élémentaires

C_j \leftarrow C_j - a^(j - 1)C_1

sur les colonnes pour

j

variant de 2 à

n

.
2) Soient

E

ℂ

-espace vectoriel de dimension

n

B = (e_s)_(1 ⩽ s ⩽ n)

une base de

E

. On définit l'endomorphisme

u

E

par

u(e_1) = e_n et u(e_s) = e_(s - 1) si 2 ⩽ s ⩽ n.

a) Ecrire la matrice

U

u

relativement à la base

B

.
b) Montrer que le polynôme caractéristique

χ_U

U

est donné par

χ_U(X) = (- 1)^n(X^n - 1)

c) Préciser les valeurs propres de

U

. La matrice

U

M_n(ℂ)

est-elle diagonalisable?
3) Soit le

n

-uplet

α = (α_0, α_1, \dots, α_(n - 1)) \in ℂ^n

. On lui associe la matrice de

M_n(ℂ)

donnée par

C_α = (c_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n) = (α_0, α_1, α_2, \dots, α_(n - 1); α_(n - 1), α_0, α_1, \dots, α_(n - 2); α_(n - 2), α_(n - 1), α_0, α_(n - 3); ⋮, ⋱, ⋱; α_2, \dots, α_(n - 1), α_0, α_1; α_1, \dots, α_(n - 2), α_(n - 1), α_0).

Ses coefficients sont précisément définis par

c_(i, j) = {α_(j − i), si i ⩽ j; α_(n − (i − j)), si i > j

.
On admettra que l'on a

C_α = \sum_(k = 0)^(n - 1)α_k U^k

.
Montrer que

C_α

est diagonalisable.
4) Montrer que les valeurs propres de

C_α

sont les nombres complexes

q(ω^ℓ)

où

q(X) = \sum_(k = 0)^(n - 1)α_k X^k

ℓ \in {0, 1, \dots, n - 1}

.
C. Soit

φ

une fonction définie sur

ℝ

à valeurs dans

ℂ

. On considère la matrice

Γ_φ \in M_n(ℂ)

telle que

Γ_φ = C_α

où

α = (α_0, \dots, α_(n - 1)) \in ℂ^n

avec

α_k = 1/n∑_(s = 0)^(n − 1)φ((2sπ)/n)ω^(− ks) pour k ∈ {0, 1, …, n − 1}

a) Vérifier que les valeurs propres de $Γ_φ$ sont les

ù λ_ℓ = 1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)(\sum_(s = 0)^(n - 1)φ((2sπ)/n)ω^(- ks))ω^(kℓ) où 0 ⩽ ℓ ⩽ n - 1.

b) En déduire, en utilisant la question 1)c) des questions préliminaires, que, pour tout entier

ℓ \in {0, 1, \dots, n - 1}

, on a

λ_ℓ = φ((2ℓπ)/n)

.
c) Montrer que l'on a

det(Γ_φ) = \prod_(ℓ = 0)^(n - 1)φ((2ℓπ)/n)

.
2) Dans cette question, on pose

φ(t) = (1 - a^n)/(1 - ae^(it))

où

a \in ℂ

avec

|a| < 1

.
a) Justifier que

φ

est bien définie sur

ℝ

.
b) Vérifier que l'on a

φ((2sπ)/n) = \sum_(ℓ = 0)^(n - 1)a^ℓ ω^(sℓ)

.
c) Démontrer, qu'alors,

Γ_φ

est égale à la matrice

A

de la question B.1).
D. 1) Soit

F

une fonction continue sur

[0, 2π]

. Justifier l'égalité suivante

lim_(n \to \infty)1/n\sum_(ℓ = 0)^(n - 1)F((2ℓπ)/n) = 1/(2π)\int_0^(2π)F(t)dt

Dans cette question, on considère que $a$ est réel tel que $|a| < 1$ et on pose

F(t) = ln(|1/(1 - ae^(it))|)

a) Vérifier que la fonction

F

est définie et continue sur

[0, 2π]

.
b) A l'aide de la partie

C

, montrer que, pour tout

a \in ] - 1, 1[

, on a

1/(2π)\int_0^(2π)ln(|1/(1 - ae^(it))|)dt = lim_(n \to + \infty)ln(((det(A))^(1/n))/((1 - a^n)))

où

A

est la matrice de la question B.1).
c) Retrouver alors l'expression de

h(x)

obtenue à la question A.7).

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