E3A Mathématiques B PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

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Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I.- Dans cet exercice les deux parties sont indépendantes. Le candidat pourra aborder la partie B en admettant le résultat de la question

A(3)

(b)

Soit

n

un entier naturel non nul. On notera

M_n(ℂ)

l'ensemble des matrices de dimension

n \times n

à coefficients dans

ℂ

. On note respectivement

I_n

O_n

la matrice identité et la matrice nulle de

M_n(ℂ)

. Le déterminant d'une matrice

A

est noté

det(A)

, sa trace

Tr(A)

et son polynôme caractéristique est désigné par

P_A(X)

Partie A

(1) Soient

A, B, C

et et

D

quatre matrices de

M_n(ℂ)

.
(a) Justifier brièvement les relations suivantes entre les déterminants de matrices de

M_(2n)(ℂ)

définies par blocs et les déterminants de leurs blocs:

det((I_n, O_n; O_n, D)) = det(D), det((I_n, B; O_n, I_n)) = 1

det((A, O_n; O_n, I_n)) = det(A)

.
(b) En déduire

det((A, B; O_n, D)) = det(A)det(D)

.
(c) De la question précédente, déduire

det((A, O_n; C, D)) = det(A)det(D)

.
(2) Dans toute la suite de cette partie,

A, B, C

D

sont quatre matrices de

M_n(ℂ)

telles que

DC = CD

. Soit la matrice définie par blocs

M = (A, B; C, D) \in M_(2n)(ℂ).

A l'aide du produit

(A, B; C, D)(D, O_n; - C, I_n)

, montrer que, si la matrice

D

est inversible, alors on a

det(M) = det(AD - BC).

(3) Pour tout

x \in ℂ

, on pose

D_x = D - xI_n

M_x = (A, B; C, D_x) \in M_(2n)(ℂ)

.
(a) Montrer que

det(M_x) = det(AD_x - BC)

pour tout nombre complexe

x \notin S

où

S

est un sous-ensemble fini de

ℂ

.
(b) En déduire que l'on a

det(A, B; C, D) = det(AD - BC)

en toute généralité.

Partie B

Dans cette partie,

q

désigne un nombre complexe différent de 0 et de 1 . On considère l'espace vectoriel

M_2(ℂ)

des matrices

2 \times 2

à coefficients complexes. On rappelle que la base canonique de

M_2(ℂ)

est

B = {E_(1, 1), E_(1, 2), E_(2, 1), E_(2, 2)}

où

E_(1, 1) = (1, 0; 0, 0), E_(1, 2) = (0, 1; 0, 0), E_(2, 1) = (0, 0; 1, 0) et E_(2, 2) = (0, 0; 0, 1).

Soit la matrice non nulle

A = (a, b; c, d) \in M_2(ℂ)

. On pose

A~ = (d, - b; - c, a)

.
On définit les deux endomorphismes de

M_2(ℂ)

suivants :

R_A : M_2(ℂ), \to M_2(ℂ), L_A : M_2(ℂ), \to M_2(ℂ); X, \mapsto AX, X, \mapsto XA

(1) Déterminer les matrices de

R_A

L_A

dans la base

B

.
(2) Montrer que la matrice de l'endomorphisme

R_A - qL_A

dans la base

B

est la matrice définie par blocs

M_A = (aI_2 - q^t A, bI_2; cI_2, dI_2 - q^t A).

(3) Montrer que l'on a successivement les égalités suivantes
(a)

det(M_A) = det(A)det(A~ + q^2 A - q(a + d)I_2)

,
(b)

det(M_A) = (1 - q)^2 det(A)det((d - qa, - (1 + q)b; - (1 + q)c, a - qd))

,
(c)

det(M_A) = (1 - q)^2 det(A)((1 + q)^2 det(A) - q(Tr(A))^2)

.
(4) On suppose à présent que le polynôme caractéristique de

A

se décompose en le produit

P_A(X) = (X - α)(X - β)

où

α, β \in ℂ

.
(a) Montrer que l'on a

det(M_A) = P_A(qα)P_A(qβ)

.
(b) A l'aide des questions précédentes, montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :

Il existe une matrice non nulle $B$ de $M_2(ℂ)$ telle que $AB = qBA$ .
On a $det(A) = 0$ ou $α = qβ$ ou $β = qα$ .
(5) Soit $A$ un matrice de $M_2(ℂ)$ telle qu'il existe une matrice $B$ non nulle dans $M_2(ℂ)$ avec $AB = qBA$ où $q \in ℂ∖{0, 1}$ . Montrer que $A$ est semblable à une matrice de l'un des trois types suivants

ù A_1 = (α, 0; 0, qα) A_2 = (α, 0; 0, 0) et A_3 = (0, 1; 0, 0) où α \in ℂ^*

Exercice II .-Dans cet exercice, la partie C peut-être traitée indépendamment des parties A et B.

Partie A

Soit

a

un réel positif ou nul. On considère les suites réelles

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

définies par

a_0 = a, b_0 = 1, a_(n + 1) = (a_n + b_n)/2 et b_(n + 1) = \sqrt(a_n b_n).

(1) Montrez que pour tout entier

n > 0

on a
(a)

a_n \geq 0

b_n \geq 0

,
(b)

a_(n + 1) - b_(n + 1) = 1/2(\sqrt(a_n) - \sqrt(b_n))^2

.
(2) En déduire que, pour tout entier

n \geq 1

, on a

0 \leq b_n \leq b_(n + 1) \leq a_(n + 1) \leq a_n

(3) Montrer que, pour tout entier

n \geq 1

, on a

(\sqrt(a_n) - \sqrt(b_n))^2 \leq a_n - b_n

puis que, pour tout

n \geq 1

, on a

|a_n - b_n| \leq 1/(2^n)|1 - a|.

(4) En déduire que les suites

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

sont convergentes et convergent vers la même limite.

Partie B

Désormais

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

désignent les suites de fonctions définies sur

[0, + \infty[

en posant

a_0(x) = x, b_0(x) = 1, a_(n + 1)(x) = (a_n(x) + b_n(x))/2 et b_(n + 1)(x) = \sqrt(a_n(x)b_n(x)).

(1) Déduire de la partie A que les suites de fonctions

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

convergent simplement sur

[0, + \infty[

vers une fonction

f

.
(2) (a) Déterminer

f(0)

f(1)

.
(b) Montrer qu'on a

\sqrtx \leq f(x) \leq x

pour tout

x

positif.
(3) Soit

A

un réel strictement positif. Montrer que les suites de fonctions

(a_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

convergent uniformément sur

[0, A]

vers

f

. (On pourra utiliser la question

A(3)

.
(4) En déduire que la fonction

f

est continue sur

[0, + \infty[

Partie C

(1) Soient

α

β

deux réels strictement positifs. Montrer que la fonction

φ : t \mapsto 1/(\sqrt((t^2 + α^2)(t^2 + β^2)))

est intégrable sur

ℝ

.
(2) Soit

g

la fonction définie sur

]0, + \infty[parg(x) = \int_0^(+ \infty)(dt)/(\sqrt((t^2 + x^2)(t^2 + 1)))

Montrer que

g

est de classe

C^1

sur

]0, + \infty[

.
(3) (a) Montrer que, pour tout réel

x

strictement positif, la fonction

S_x

définie par

S_x(t) = 1/2(t - x/t)

est une bijection de classe

C^1

]0, + \infty[

dans

ℝ

.
(b) Soient

α

β

deux réels strictement positifs. En utilisant le changement de variable

s = S_(αβ)(t)

, démontrer que l'on a

\forallx > 0 \int_(- \infty)^(+ \infty)(ds)/(\sqrt((s^2 + ((α + β)/2)^2)(s^2 + αβ))) = 2\int_0^(+ \infty)(dt)/(\sqrt((t^2 + α^2)(t^2 + β^2)))

\forallx > 0 \int_0^(+ \infty)(dt)/(\sqrt((t^2 + ((α + β)/2)^2)(t^2 + αβ))) = \int_0^(+ \infty)(dt)/(\sqrt((t^2 + α^2)(t^2 + β^2)))

Partie D

(1) Montrer que l'on a

\foralln \in ℕ \forallx > 0 g(x) = \int_0^(+ \infty)(dt)/(\sqrt((t^2 + (a_n(x))^2)(t^2 + (b_n(x))^2)))

(2) Pour

n \geq 1

x > 0

, on définit la fonction

h_n : t \mapsto 1/(\sqrt((t^2 + (a_n(x))^2)(t^2 + (b_n(x))^2))).

(a) Montrer que, pour

t > 0

x > 0

, on a

lim_(n \to + \infty)h_n(t) = 1/(t^2 + (f(x))^2)

.
(b) Démontrer l'inégalité

0 < h_n(t) \leq 1/(t^2 + x)

où

t > 0, x > 0

n \geq 1

.
(c) En déduire

lim_(n \to + \infty)\int_0^(+ \infty)h_n(t)dt = π/(2f(x))

où

x > 0

.
(d) En déduire que, pour tout

x > 0

, on a

g(x) = π/(2f(x))

et que

f

est de classe

C^1

sur l'intervalle

]0, + \infty[

FIN DE LEPREUVE

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