E3A Mathématiques B PSI 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On considère une matrice carrée A d'ordre 4 à coefficients réels. On suppose que le rang de A est égal à 3, que la somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1 , que -1 est valeur propre double de A.
1^∘ Prouver que 0 est valeur propre de A.
2^∘ Prouver que 1 est valeur propre de A.
3^∘ Déterminer le polynôme caractéristique noté P_A(X) de la matrice A.
4^∘ Pour k entier naturel, k ≥ 4, déterminer le reste, noté R_k(X), de la division euclidienne de X^k par P_A(X).
5^∘ Pour k entier naturel, k ≥ 4, démontrer que A^k est combinaison linéaire de A, A^2, A^3 et déterminer cette combinaison linéaire.

Soit α et β deux réels, avec α < β. Soit a et b deux applications de [α, β] vers R, continues sur [α, β]. On note ( E ) l'équation différentielle suivante :

Dans cet exercice on appelle solution de (E) toute application de [α, β] vers R de classe C^2 vérifiant (E) sur [α, β].
Soit f une solution de (E) sur [α, β]. On suppose que f admet une infinité de zéros dans [α, β]. Le but de l'exercice est d'établir que f est l'application nulle sur [α, β].
Pour cela on considère une suite (x_n)_(n ≥ 0) de zéros de f, deux à deux distincts, appartenant à [α, β].
1^∘ Dans cette question on suppose que la suite (x_n)_(n ≥ 0) converge vers un réel x.
a) Prouver que x appartient à [α, β]. En déduire que f(x) = 0.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe au moins un zéro de f^′, noté y_n, strictement compris entre x_n et x_(n + 1).
c) Calculer f^′(x).
d) Conclure.
2^∘ Prouver que f est aussi l'application nulle sur [α, β] lorsque la suite (x_n)_(n ≥ 0) n'est pas convergente.
3^∘ Prouver à l'aide d'un contre-exemple que le résultat établi dans cet exercice est faux si l'on remplace [α, β] par R.

R est l'ensemble des nombres réels et n et n_0 sont des entiers naturels.
Cet exercice comporte deux parties. Dans la première partie, on établit un résultat général appelé : Règle de Raabe-Duhamel. Dans la deuxième partie on applique, sans omettre les justifications nécessaires, ce résultat à l'étude de plusieurs séries particulières.
Soit (α_n)_n une suite réelle.
On rappelle que la relation α_n = o(1/n) signifie que lim_(n → + ∞)nα_n = 0.

Soit (u_n)_(n ≥ n_0) une suite de réels strictement positifs telle qu'il existe un réel λ vérifiant:

1^∘ Prouver que si λ < 0, alors la série ∑u_n diverge.
2^∘ Soit β un réel quelconque et v_n = 1/(n^β). Montrer que : (u_(n + 1))/(u_n) − (v_(n + 1))/(v_n) = μ/n + o(1/n) où μ est un réel, indépendant de n, à déterminer.
3^∘ On suppose que λ > 1. On se propose de démontrer que la série ∑u_n converge.
On choisit β tel que : λ > β > 1.
a) Justifier l'existence d'un entier naturel N tel que, pour n ≥ N, on ait : (u_(n + 1))/(u_n) ≤ (v_(n + 1))/(v_n).
b) Déterminer un réel positif K, indépendant de n, tel que pour n ≥ N, on ait : u_n ≤ Kv_n.
c) Prouver que la série ∑u_n converge.
4^∘ On suppose que 0 ≤ λ < 1. Démontrer par un raisonnement analogue à celui fait à la question précédente que la série ∑u_n diverge ( on choisira β de manière à ce que la série ∑v_n diverge et que ceci implique la divergence de la série ∑u_n ).
5^∘ Pour n ≥ 2, on pose : x_n = 1/n et y_n = 1/(n(lnn)^2).
Déterminer la nature des séries ∑x_n et ∑y_n et en déduire que le cas λ = 1 est un cas douteux de la Règle de Raabe-Duhamel.

Partie B Les trois questions qui suivent sont indépendantes les unes des autres et sont des applications directes ou partielles de la Règle de Raabe-Duhamel.
1^∘ Pour n ≥ 2, on pose w_n = √((n − 1)!)∏_(k = 1)^(n − 1)sin(1/(√k)). Déterminer la nature de la série ∑w_n.
2^∘ Pour n ≥ 1, on considère l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)(dt)/((t^4 + 1)^n).
a) Montrer que cette intégrale généralisée converge. On note I_n sa valeur.
b) Etablir que : I_n = 4n(I_n − I_(n + 1)).
c) En déduire la nature de la série ∑I_n.
3^∘ Soit α un réel donné, n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels. On pose:
a_0 = 1, pour n ≥ 1, a_n = (α(α − 1)(α − 2)…..(α − n + 1))/(n!) et pour x réel, S(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
a) Indiquer (sans démonstration) le rayon de convergence R de la série entière ∑a_n x^n, et, pour x élément de ] − R, R [, la valeur de S(x).
b) Utiliser la Règle de Raabe -Duhamel pour montrer que la série ∑a_n est absolument convergente si et seulement si α > 0.
c) Montrer que si α > 0, S est continue sur [ − R, R] et établir que ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n = 2^α et ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n a_n = 0.
d) Montrer que si α < − 1, la série ∑a_n diverge.
e) On suppose que : − 1 < α < 0.
i) Prouver que : lim_(n → + ∞)ln(|a_n|) = − ∞.
ii) Montrer que la série ∑a_n converge.
iii) Calculer ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n.

E est un espace euclidien de dimension n, n ≥ 1. Le produit scalaire sur E est noté ⟨|⟩. (x_k)_(1 ≤ k ≤ p) et (y_k)_(1 ≤ k ≤ p) sont deux familles de vecteurs de E telles que :

Le but de cet exercice est d'établir la propriété ( 𝒫 ) suivante :
Il existe un automorphisme orthogonal f de E vérifiant :

1^∘Soit(λ_1, λ_2, …., λ_p) un élément de R^p. Prouver que ‖∑_(i = 1)^p λ_i x_i‖ = ‖∑_(i = 1)^p λ_i y_i‖.
En déduire que si x_1, x_2, …., x_p sont linéairement indépendants dans E alors y_1, y_2, …., y_p sont aussi linéairement indépendants dans E.
2^∘ Dans cette question, on suppose que x_1, x_2, …., x_p sont linéairement indépendants dans E et que p = n. Etablir la propriété ( 𝒫 ).
3^∘ Dans cette question, on suppose que x_1, x_2, …., x_p sont linéairement indépendants dans E et que p ≠ n. On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (x_k)_(1 ≤ k ≤ p) et G le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (y_k)_(1 ≤ k ≤ p).F^⊥ désigne le sous-espace de E orthogonal à F, G^⊥ désigne le sous-espace de E orthogonal à G.
a) Justifier l'inégalité p < n; préciser les dimensions des sous espaces vectoriels F, F^⊥, G, G^⊥.
b) Donner une condition sur l'entier naturel q pour assurer l'existence d'une famille orthonormale (x_k)_(p + 1 ≤ k ≤ q) de vecteurs de F^⊥ et d'une famille orthonormale (y_k)_(p + 1 ≤ k ≤ q) de vecteurs de G^⊥.
Pour tout (i, j) élément de {1, 2, …, q}^2, comparer ⟨x_i|x_j⟩ et ⟨y_i|y_j⟩.
c) Etablir la propriété (𝒫).
4^∘ Dans cette question, on suppose que x_1, x_2, …., x_p sont linéairement dépendants dans E. Etablir la propriété (𝒫).