E3A Mathématiques B PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

R désigne l'ensemble des nombres réels et I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point.
1^∘ Enoncer le Théorème de Rolle.
2^∘ Soit h une application de I vers R, dérivable sur I, et p un entier naturel, p ≥ 2. On suppose que h s'annule p fois sur I, démontrer que h^′ s'annule au moins p − 1 fois sur I.
3^∘ On considère les applications a et b de ]0, + ∞[ vers R définies par :
a(x) = 3x^(− 20) + x^(− 10) + 4x^(10) + 2x^(20) + 11x^(30) et b(x) = − 150x^(− 51) − 40x^(− 41) − 80x^(− 21) − 20x^(− 11).
On suppose que b s'annule au plus 3 fois dans ]0, + ∞[. Montrer que a s'annule au plus 4 fois dans ]0, + ∞[.
4^∘ Soit n un entier naturel, n ≥ 1, ( α_1, α_2, ….., α_n ) un élément de R^n avec α_1 < α_2 < ….. < α_n, (λ_1, λ_2, ….., λ_n) un élément de (R^∗)^n et f_n l'application de ]0, + ∞[ vers R définie par :

Démontrer que f_n s'annule au plus n − 1 fois dans ]0, + ∞[.
5^∘ On considère le polynôme P de R[X] suivant : P = X^(400) − 7X^(201) − 4X^(101) + 1.
Prouver que P admet au plus 6 racines réelles.

R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n ≥ 2.
On introduit les notations suivantes :
M_n(R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, M_(n, 1)(R) est l'ensemble des matrices à n lignes, une colonne et à coefficients réels, GL_n(R) est l'ensemble des matrices inversibles de M_n(R), O_n(R) est l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(R),
S_n(R) est l'ensemble des matrices symétriques de M_n(R), S_n^+(R) est l'ensemble des matrices de S_n(R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S_n^(+ +)(R) est l'ensemble des matrices de S_n(R) dont toute valeur propre est strictement positive.
Pour toute matrice M on note : ^t M la transposée de M, m_(ij) le coefficient de M situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne deM, det(M) le déterminant de M lorsque M est une matrice carrée.
Partie A
Soit S une matrice de S_n^+(R). Le but de cette partie est d'établir l'inégalité (1) :

Soit S une matrice de S_n(R). On rappelle qu'il existe une matrice P de O_n(R) et un élément (λ_1, λ_2, ……, λ_n) de R^n tels que : ^t PSP = D où D est la matrice diagonale de M_n(R) telle que ∀i ∈ {1, 2, …., n}, d_(ii) = λ_i.
1^∘ Soit S une matrice de S_n^+(R).
Déduire du rappel précédent :
a) qu'il existe M élément de M_n(R) tel que : S = ^t MM.
b) que pour tout X élément de M_(n, 1)(R) : ^t XSX ≥ 0.
c) que: ∀i ∈ {1, 2, …., n}, s_(ii) ≥ 0.
2^∘ Soit S une matrice de S_n^(+ +)(R) démontrer :
a) qu'il existe M élément de GL_n(R) tel que : S = ^t MM.
b) que pour tout X élément non nul de M_(n, 1)(R) : ^t XSX > 0.
c) que: ∀i ∈ {1, 2, …., n}, s_(ii) > 0.
3^∘ Soit S une matrice de S_n^+(R) n'appartenant pas à S_n^(+ +)(R). Etablir l'inégalité (1) pour S.
4^∘ Soit S une matrice de S_n^(+ +)(R) telle que : ∀i ∈ {1, 2, …., n}, s_(ii) = 1.
a) Prouver que la fonction exponentielle est convexe sur R.

En déduire que : n√(λ_1 λ_2…..λ_n) ≤ 1/n(∑_(i = 1)^n λ_i).
b) Démontrer que l'inégalité (1) est vérifiée par S.
5^∘ Soit S une matrice quelconque de S_n^(+ +)(R). Soit T la matrice diagonale de M_n(R) telle que: ∀i ∈ {1, 2, …, n}, t_(ii) = 1/(√(s_(ii))) et B la matrice de M_n(R) définie par B = TST.
a) Montrer que pour tout X élément non nul de M_(n, 1)(R) : ^t XBX > 0.
b) En déduire que B appartient à S_n^(+ +)(R).
c) Démontrer que l'inégalité (1) est vérifiée par S.

Dans cette partie on utilise l'inégalité (1) de la Partie A pour établir l'inégalité d'Hadamard.
Soit A une matrice de M_n(R).
1^∘ Vérifier que l'on peut appliquer l'inégalité (1) à ^t AA.
2^∘ En déduire l'inégalité d'Hadamard : |det(A)| ≤ ∏_(i = 1)^n√(∑_(k = 1)^n(a_(ki))^2).

Dans cette partie on utilise l'inégalité d'Hadamard pour établir un résultat concernant les fonctions développables en série entière en 0 .
Soit (a_n)_(n ≥ 0) une suite réelle telle que a_0 ≠ 0. Soit (b_n)_(n ≥ 0) l'unique suite réelle vérifiant:

1^∘ Pour n ≥ 1, on considère la matrice A de M_(n + 1)(R) suivante :
A = (a_0, 0, ⋯, ⋯, 0, 0; a_1, a_0, ⋱, 0; a_2, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋱, ⋱, a_0, 0; a_n, ⋯, a_2, a_1, a_0). Calculer A(b_0; b_1; ⋅; ⋅; ⋅; b_n).
Vérifier que A appartient à GL_(n + 1)(R). Appliquer les formules de Cramer pour en déduire que b_n = (det(A^′))/(det(A)) où A^′ est une matrice de M_(n + 1)(R) à préciser .
2^∘ On suppose qu'il existe un réel r strictement positif tel que la série de terme général |a_n|r^n converge. On pose: ∑_(n = 0)^(+ ∞)|a_n|r^n = C. Montrer que la série de terme général (a_n)^2 r^(2n) converge et que ∑_(n = 0)^(+ ∞)(a_n)^2 r^(2n) ≤ C^2.
3^∘ Utiliser alors l'expression de b_n établie à la question 1^∘ de la Partie C et l'inégalité
d'Hadamard pour démontrer que: ∀n ≥ 1, |b_n| ≤ 1/(|a_0|)α^n où α est un réel positif indépendant de n à préciser ( on pourra considérer la matrice A^(′′) de M_(n + 1)(R) obtenue à partir de A^′ en multipliant la i-ème ligne de A^′ par r^(i − 1), pour tout i élément de {1, 2, …., n + 1} ).
4^∘ Soit f une fonction de R vers R développable en série entière en 0 telle que f(0) ≠ 0. Montrer que la fonction 1/f définie au voisinage de 0 est développable en série entière en 0 .

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction numérique F de la variable réelle x telle que :

1^∘ Question préliminaire
Soit a une application de R vers R telle que lim_(t → + ∞)a(t) = + ∞. Soit p un entier naturel non nul, pourquoi l'égalité e^(− a(t)) = o_(+ ∞)(1/((a(t))^p)) est-elle vérifiée?
2^∘ Montrer que l'ensemble de définition de F est ]0, + ∞[.
3^∘ Prouver que F est de classe C^2 sur ]0, + ∞[.
4^∘ Montrer que F est solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle : y^(′′) + 1/xy^′ − y = 0(E).
5^∘ Etude de F(x) quand x tend vers 0^+.
Dans cette question, x est un réel vérifiant : 0 < x < 1.
a) On pose H(x) = ∫_1^(+ ∞)e^(− xu)(1/(√(u^2 − 1)) − 1/u)du.

Montrer que H est définie et bornée sur ]0, 1[.
b) On pose K(x) = ∫_x^1(e^(− v))/vdv.

Prouver que pour v élément de [x, 1] on a : 0 ≤ 1 − e^(− v) ≤ v. En déduire que K(x) est équivalent à − ln(x) quand x tend vers 0^+.
c) Montrer que F(x) = ∫_1^(+ ∞)(e^(− xu))/(√(u^2 − 1))du.
d) Déterminer un équivalent de F(x) quand x tend vers 0^+.
6^∘ Etablir que : lim_(x → + ∞)xF(x) = 0 et que lim_(x → + ∞)xF^′(x) = 0 ( indication : on pourra considérer une suite quelconque (x_n)_n d'éléments de [1, + ∞[ qui tend vers + ∞ et utiliser le théorème de la convergence dominée).
7^∘ Soit G une solution non nulle de (E) sur ]0, + ∞[ vérifiant lim_(x → + ∞)G(x) = lim_(x → + ∞)G^′(x) = 0. On rappelle que le wronskien de F et G est l'application notée W de ]0, + ∞[ sur R définie par: W = FG^′ − F^′ G.
a) Vérifier que W est solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle : y^′ + 1/xy = 0 et pour x > 0, calculer W(x).
b) En déduire qu'il existe un réel λ tel que pour tout x de ]0, + ∞[, G(x) = λF(x).