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E3A Mathématiques B PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Majoration d'une racine d'un polynôme ; solutions périodiques d'une équation différentielle

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Présentation du sujet

Difficile
Majoration du module d'une racine polynomiale et solutions périodiques d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2
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L'épreuve est composée de deux exercices indépendants. Le premier établit, par une méthode algébrique puis une méthode analytique, une majoration du module d'une racine complexe d'un polynôme en fonction de ses coefficients. Le second étudie l'équation différentielle y'' - 2y' + 2y = f(x) et démontre, via l'étude des sous-groupes de (R,+) puis des séries de Fourier, qu'elle admet une unique solution périodique lorsque f est continue et périodique.

  1. 1Exercice 1, partie A : méthodes algébriquesUtilisation d'une matrice compagnon et d'un déterminant pour majorer le module d'une racine du polynôme.
  2. 2Exercice 1, partie B : méthodes analytiquesÉtude d'un polynôme réel auxiliaire et de sa racine positive pour retrouver et affiner la majoration.
  3. 3Exercice 2, parties A et B : applications périodiques et sous-groupes de (R,+)Propriétés élémentaires des fonctions périodiques puis classification des sous-groupes de (R,+).
  4. 4Exercice 2, parties C et D : existence et unicité de la solution périodiqueCas simples (f non périodique, nulle, cosinus) puis démonstration générale du résultat d'existence et d'unicité.
  5. 5Exercice 2, partie E : cas particulier par séries de FourierDétermination explicite de la solution périodique à l'aide des coefficients de Fourier d'une fonction donnée.

Difficile. Bien que les deux exercices soient décrits comme très guidés pour ne bloquer aucun candidat, les taux de réussite sur des questions clés restent très bas (35 %, 20 %, 25 %, voire 5 % pour l'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz).

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorèmes cités de façon incomplète · Manque général de rigueur dans les raisonnements · Notion de valeur absolue mal maîtrisée
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Les deux exercices sont très guidés et de nombreuses questions étaient immédiatement accessibles à un candidat maîtrisant son cours. Malgré cela, les théorèmes sont trop souvent cités de façon incomplète et beaucoup de raisonnements manquent de rigueur et de précision.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorèmes cités de façon incomplète

    Les hypothèses des théorèmes sont trop souvent sous-entendues et les calculs pas toujours justifiés.

    « Malheureusement trop souvent les théorèmes sont cités de façon incomplète, trop d'hypothèses sont sous-entendues, trop de calculs ne sont pas justifiés »
  2. 2
    Manque général de rigueur dans les raisonnements

    Le jury relève un manque de rigueur et de précision dans de nombreux raisonnements.

    « beaucoup de raisonnements manquent cruellement de rigueur et de précision »
  3. 3
    Notion de valeur absolue mal maîtrisée

    Majorer la valeur absolue ou le module d'une somme pose d'énormes difficultés, le jury reliant cela à la disparition de cette notion de l'enseignement secondaire.

    « la notion de valeur absolue ait pratiquement disparu de l'enseignement secondaire »
  4. 4
    Théorème de Cauchy-Lipschitz peu utilisé à bon escientD.1.a.ii

    Ce théorème pour les équations différentielles linéaires est peu connu et mal compris ; seuls 5 % des candidats l'invoquent correctement.

    « est peu connu et n'est pas compris. 5% des candidats l'invoquent à bon escient »
  5. 5
    Théorème des valeurs intermédiaires mal énoncé

    L'énoncé du théorème est parfois réduit à une version incomplète, omettant l'hypothèse de changement de signe.

    « le théorème des valeurs intermédiaires se réduit quelques fois à : « si h est continue sur un intervalle I alors l'équation »
  6. 6
    Affirmation fausse sur le produit de fonctions croissantes

    Une écrasante majorité des candidats affirme à tort que le produit de deux fonctions strictement croissantes sur R est une fonction strictement croissante sur R.

    « écrasante majorité des candidats affirme que le produit de deux fonctions strictement croissantes sur R est une fonction strictement croissante sur R »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul des coefficients de Fourier dans la partie E de l'exercice 2 est plutôt bien maîtrisé.
  • La définition de la convergence normale d'une série de fonctions est connue par la majorité des candidats.

Conseils du jury

  • Faire un effort sérieux d'apprentissage et de compréhension du cours, y compris pour les définitions et théorèmes de base.
  • Citer les théorèmes avec précision et vérifier systématiquement toutes leurs hypothèses avant de les appliquer.
  • Justifier tous les calculs plutôt que d'affirmer un résultat sans démonstration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

C est l'ensemble des nombres complexes, R celui des nombres réels et n est un entier naturel, n ≥ 2. Soient a_1, a_2, …, a_n des éléments de C non tous nuls et P le polynôme de C[X] défini par : P = X^n + a_1 X^(n − 1) + …. + a_(n − 1)X + a_n.
Dans tout cet exercice z désigne une racine dans C de P.
Le but de l'exercice est d'établir par deux méthodes différentes une majoration de |z| en fonction des coefficients de P. Les deux parties qui suivent sont indépendantes.
Partie A Utilisation de méthodes algébriques.
On note E le C-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans C.I_n est la matrice identité de E .
On note F le C-espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne et à coefficients dans C. Pour X élément de F , on note x_i l'élément de la i-ème ligne de X.
Pour M élément de E, m_(ij) est le coefficient de M situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne de M.
1^∘ Soit M une matrice de E. On suppose que M n'est pas inversible.
a) Montrer qu'il existe X élément de F tel que : MX = 0 et max_(1 ≤ k ≤ n)|x_k| = 1.
b) En déduire qu'il existe i élément de {1, 2, …, n} tel que |m_(ii)| ≤ ∑_(1 ≤ j ≤ n; j ≠ i)|m_(ij)|.
2^∘ Soit N la matrice de E définie par : n_(ij) = {1, si j = i − 1; − a_(n + 1 − i), si j = n; 0, sinon.
Par exemple pour n = 4, N = (0, 0, 0, − a_4; 1, 0, 0, − a_3; 0, 1, 0, − a_2; 0, 0, 1, − a_1).
Démontrer que, si λ est un élément quelconque de C, det(N − λI_n) = (− 1)^n P(λ).
3^∘ Déduire des 2 questions précédentes que |z| ≤ 1 + max_(1 ≤ k ≤ n)|a_k|.
Partie B Utilisation de méthodes analytiques.
Soit Q le polynôme de R[X] défini par : Q = X^n − |a_1|X^(n − 1) − …. − |a_(n − 1)|X − |a_n|.
1^∘ Soit g l'application de ]0, + ∞[ vers R telle que : g(t) = 1 − (|a_1|)/t − …. − (|a_(n − 1)|)/(t^(n − 1)) − (|a_n|)/(t^n).
a) Montrer que g est strictement croissante sur ]0, + ∞[.
b) Prouver que Q admet une seule racine dans ]0, + ∞[; cette racine sera notée t_0.
2^∘ Soit α élément de ]0, + ∞[ tel que Q(α) ≥ 0. Etudier le signe de Q(|z|).
En déduire que |z| ≤ t_0 ≤ α.
3^∘ En appliquant le résultat de la question précédente pour une valeur de α judicieusement choisie, retrouver l'inégalité établie à la question 3^∘ Partie A et prouver qu'elle est stricte.

Exercice 2

R est l'ensemble des nombres réels, Z est l'ensemble des entiers relatifs et n un entier naturel. Soit f une application continue de R vers R. On note ( E_f ) l'équation différentielle suivante :
y^(′′)(x) − 2y^′(x) + 2y(x) = f(x)
Dans cet exercice on appelle solution de (E_f) toute application de R vers R de classe C^2 vérifiant (E_f) sur R.
Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de solutions périodiques de ( E_f ).
On rappelle qu'une application φ de R vers R est périodique si et seulement s'il existe T élément de R^∗ tel que: ∀x ∈ R, φ(x + T) = φ(x). On dit alors que φ est T-périodique ou que T est une période de φ.
Partie A Dans cette partie on établit quelques propriétés des applications périodiques.
Soit φ une application T-périodique de R vers R.
1^∘ Montrer que si φ est continue sur R alors φ est bornée sur R.
2^∘ Montrer que si φ est dérivable sur R alors φ^′ est T-périodique.
3^∘ On considère l'ensemble P_φ suivant: P_φ = {t ∈ R, ∀x ∈ R, φ(x + t) = φ(x)}.
Montrer que P_φ est un sous groupe de ( R, + ).
Partie B Etude des sous-groupes de ( R, + ).
Soit G un sous groupe de (R, +) non réduit à {0}.
1^∘ Montrer que G ∩ ]0, + ∞[ n'est pas vide.
2^∘ On pose a = inf(G ∩ ]0, + ∞[).
a) On considère le cas où a > 0.
i) Montrer qu'alors a appartient à G (on pourra faire un raisonnement par l'absurde, en montrant que si que a n'appartient pas à G il existe des éléments t_1 et t_2 de G tels que a < t_2 < t_1 < 2a et en déduire une contradiction).
ii) Etablir l'égalité G = aZ.
b) On considère le cas où a = 0. Prouver que G est dense dans R.
Partie C Etude du nombre de solutions périodiques de ( E_f ) dans trois cas simples.
1^∘ Montrer que si ( E_f ) admet une solution T-périodique alors f est T - périodique.
Que peut-on conclure dans le cas où f n'est pas périodique?
2^∘ Résoudre l'équation différentielle ( E_0 ) suivante : y^(′′)(x) − 2y^′(x) + 2y(x) = 0.
Prouver que la fonction nulle est la seule solution périodique de ( E_0 ).
3^∘ Résoudre l'équation différentielle ( E_c ) suivante : y^(′′)(x) − 2y^′(x) + 2y(x) = cosx.
Prouver que ( E_c ) admet une seule solution périodique que l'on déterminera.
Partie D_– Dans cette partie on suppose que f est continue et de plus périodique.
On veut établir qu'alors ( E_f ) admet une seule solution périodique.
1^∘ Dans cette question on prouve que ( E_f ) admet au moins une solution périodique.
a) Soit T une période de f et y une solution de (E_f). On considère l'application z de R vers R définie par: z(x) = y(x + T).
i) Prouver que z est solution de (E_f).
ii) Montrer que y est T-périodique si et seulement si y(0) = y(T) et y^′(0) = y^′(T).
b) Démontrer que ( E_f ) admet une solution périodique.
2^∘ Dans cette question on prouve que ( E_f ) admet une seule solution périodique.
a) Cas où P_f est dense dans R.
i) Montrer que f est constante (on pourra établir que : ∀x ∈ R, f(x) = f(0) ).
ii) Conclure.
b) Cas où P_f = aZ avec a apportenant à R_+^∗.
Soient y_1 et y_2 des solutions périodiques de (E_f), T_1 une période de y_1, T_2 une période de y_2.
i) Prouver que T_1 et T_2 sont des éléments de P_f.
ii) Montrer que y_1 et y_2 possèdent une période commune.
iii) En déduire que y_1 = y_2 (on utilisera la question 2^∘ de la Partie C ).
Partie E Détermination de la solution périodique de (E_f) dans un cas particulier.
Les questions 1^∘ et 2^∘ qui suivent sont indépendantes du reste de l'exercice.
Dans cette partie f est l'application de R vers R, 2π - périodique, telle que :
∀x ∈ [ − π, π], f(x) = x^2.
1^∘ Calculer les coefficients de Fourier réels de f. Etudier la convergence de la série de Fourier de f (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme).
2^∘ Pour n ≥ 1, on considère l'application u_n de R vers R définie par :
u_n(x) = (4(− 1)^n)/(n^2(n^4 + 4))((2 − n^2)cos(nx) − 2nsin(nx))
Montrer que la série de fonctions ∑u_n converge simplement sur R. Soit S l'application de R vers R définie par : S(x) = (π^2)/6 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(x). Montrer que S est de classe C^2 sur R.
3^∘ Prouver que S est l'unique solution périodique de (E_f).
4^∘ Pour x ∈ [ − π, π] calculer S(x). Vérifier que : ∑_(n = 1)^(+ ∞)(4(− 1)^n(2 − n^2))/(n^2(n^4 + 4)) = π/(shπ) + 1/2 − (π^2)/6.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte e3a maths B PSI 2007 ?
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Sur quels chapitres porte e3a maths B PSI 2007 ?

Le premier exercice porte sur les polynômes complexes et les déterminants, le second sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2, les fonctions périodiques et les séries de Fourier.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur e3a maths B PSI 2007 ?

Des théorèmes cités de façon incomplète, une notion de valeur absolue mal maîtrisée pour majorer un module, et un théorème de Cauchy-Lipschitz peu connu, invoqué correctement par seulement 5 % des candidats.

e3a maths B PSI 2007 est-il difficile ?

Le sujet est décrit comme très guidé pour ne bloquer personne, mais les taux de réussite restent bas sur plusieurs questions clés, ce qui traduit surtout un manque de rigueur plutôt qu'une difficulté intrinsèque.

Ce sujet nécessite-t-il de bien connaître son cours ?

Oui, le jury recommande vivement un effort sérieux d'apprentissage et de compréhension du cours, de nombreuses questions étant des applications directes de définitions et théorèmes classiques.

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