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CCINP Mathématiques 1 PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.

Notations:

On note :
  • ℕ : l'ensemble des entiers naturels,
  • ℝ : l'ensemble des nombres réels,
  • e : le nombre réel dont le logarithme népérien est égal à 1.
Pour x appartenant à ℝ, on note |x| la valeur absolue de x.
Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1.
Si j et n sont deux entiers naturels fixes tels que 0 ≤ j ≤ n, on note :
  • [ [j, n] ] l'ensemble des entiers naturels k vérifiant j ≤ k ≤ n,
  • (n/j) le nombre de parties ayant j éléments d'un ensemble de n éléments.
On rappelle que pour tout entier naturel j élément de [ [0, n] ] on a : (n/j) = (n!)/(j!(n − j) !).
Si f est une fonction k fois dérivable sur un intervalle I (avec k ≥ 1 ) on note f^′ (resp. f^((k)) ) sa fonction dérivée (resp. sa fonction dérivée k-ième).
Si u est une application de ℕ dans ℝ, donc une suite réelle, on utilise la notation usuelle: u(n) = u_n pour tout n appartenant à ℕ.
Soit x un nombre réel, on rappelle que s'il existe un nombre entier p qui vérifie |p − x| < 1/2 alors p est l'entier le plus proche de x.

Objectifs:

L'objet du problème est d'une part d'établir, pour tout entier naturel non nul, un lien entre l'entier naturel β_n le plus proche de e^(− 1)n ! et le nombre γ_n d'éléments sans point fixe du groupe symétrique 𝒮_n et d'autre part, d'étudier l'écart δ_n = e^(− 1)n! − β_n.
Dans la partie I on étudie β_n et on le caractérise grâce à une récurrence, dans la partie II on étudie γ_n et on établit un lien avec β_n. La partie III est consacrée à une estimation de δ_n puis à une étude des deux séries ∑_(n ≥ 0)δ_n et ∑_(n = 1)(|δ_n|)/n.

PARTIE I

Les suites α et β

On définit la suite α par α_0 = 1 et la relation de récurrence :
pour tout n de ℕ : α_(n + 1) = (n + 1)α_n + (− 1)^(n + 1).
On rappelle que pour tout x réel, la série ∑_(n ≥ 0)(x^n)/(n!) est convergente, et que ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n!) = e^x; en particulier pour x = − 1 : ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n!) = e^(− 1).
Pour n ∈ ℕ, on note : β_n = n!∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!) et ρ_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)((− 1)^k)/(k!).

I.1/ Étude de la suite α.

I.1.1/ Expliciter α_k pour k dans [ [0, 4] ].
I.1.2/ Montrer que α_n est un entier naturel pour tout n de ℕ.

I.2/ Étude de la suite β.

I.2.1/ Expliciter β_k pour k dans [ [0, 4] ].
I.2.2/ Montrer que β_n est un entier relatif pour tout n de ℕ.
I.2.3/ Expliciter β_(n + 1) − (n + 1)β_n en fonction de n, pour tout n de ℕ.
I.2.4/ Comparer les deux suites α et β.

I. 3/ Étude de ρ_n.

I.3.1/ Préciser le signe de ρ_n en fonction de l'entier naturel n.
I.3.2/ Etablir, pour tout entier naturel n, l'inégalité suivante : n!|ρ_n| ≤ 1/(n + 1). L'inégalité est-elle stricte?
I.3.3/ Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n ≥ 1, β_n est l'entier naturel le plus proche de e^(− 1)n!.

I.4/ Étude d'une fonction.

On désigne par f la fonction définie et de classe C^1 (au moins) sur l'intervalle ] − 1; 1[ à valeurs réelles, vérifiant les deux conditions :
f(0) = 1 et pour tout x de ] − 1; 1[ : (1 − x)f^′(x) − xf(x) = 0.
I.4.1/ Justifier l'existence et l'unicité de la fonction f. Expliciter f(x) pour tout x de ]-1; 1[ .
I.4.2/ Justifier l'affirmation : « f est de classe C^∞ sur ] − 1; 1[ ».
I.4.3/ Expliciter (1 − x)f(x), puis exprimer pour tout entier naturel n :
(1 − x)f^((n + 1))(x) − (n + 1)f^((n))(x) en fonction de n et de x.
I.4.4/ En déduire une relation, valable pour tout entier naturel n, entre β_n et f^((n))(0).

PARTIE II

La suite γ

Dans cette partie, on désigne par n un entier naturel.
Pour n ≥ 1 on note :
  • 𝒮_n l'ensemble des permutations de [ [1, n] ],
  • γ_n le nombre d'éléments de 𝒮_n sans point fixe ( τ appartenant à 𝒮_n est sans point fixe si pour tout k de [ [1, n] ], on a τ(k) ≠ k ).
Pour n = 0 on adopte la convention : γ_0 = 1.
II.1/ Calculer γ_1 et γ_2.
II.2/ Classer les éléments de 𝒮_3 selon leur nombre de points fixes et calculer γ_3.
II.3/ On suppose dans cette question que n = 4.
II.3.1/ Quel est le nombre d'éléments τ appartenant à 𝒮_4 ayant deux points fixes?
II.3.2/ Quel est le nombre d'éléments τ appartenant à 𝒮_4 ayant un point fixe ?
II.3.3/ Calculer γ_4.
II.4/Relation entre les γ_k.
II.4.1/ Rappeler sans justification le nombre d'éléments de 𝒮_n.
II.4.2/ Si 0 ≤ k ≤ n, combien d'éléments de 𝒮_n ont exactement k points fixes?
II.4.3/ Etablir pour tout entier naturel n la relation : ∑_(k = 0)^n(n/k)γ_k = n!.
II.5/ On considère la série entière ∑_(n ≥ 0)(γ_n)/(n!)x^n et l'on pose g(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(γ_n)/(n!)x^n lorsque la série converge.
II.5.1/ Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à 1 .
II.5.2/ Pour tout x de ] − 1; 1[, on pose h(x) = g(x)e^x.
Justifier l'existence du développement en série entière de la fonction h sur ] − 1; 1[ et expliciter ce développement.
II.5.3/ Expliciter g(x) pour tout nombre réel x de ] − 1; 1[. En déduire la valeur du rayon de convergence de la série ∑_(n ≥ 0)(γ_n)/(n!)x^n.
II.5.4/ Comparer les deux suites β et γ.
II.5.5/ La fonction g est-elle définie en 1 ?
II.5.6/ La fonction g est-elle définie en -1 ?
II.5.7/ Calculer γ_8.

PARTIE III

Sur δ_n = e^(− 1)n! − β_n
Pour tout entier naturel n on note :
  • δ_n = e^(− 1)n! − β_n.
  • J_n = ∫_0^1 x^n e^x dx.
  • v_n = (− 1)^(n + 1)J_n.

III.1/La série ∑_(n ≥ 0)v_n.

III.1.1/ Quelle est la limite de J_n lorsque n tend vers + ∞ ?
III.1.2/ Établir la convergence de la série ∑_(n ≥ 0)v_n.

III.2/ Estimation intégrale de δ_n.

III.2.1/ Justifier, pour tout nombre réel x et pour tout entier naturel n, l'égalité :
e^x = ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!) + ∫_0^x((x − t)^n)/(n!)e^t dt
III.2.2/ Déduire de (1) l'expression de δ_n en fonction de v_n.
III.3/ Sur la série ∑_(n ≥ 0)δ_n.
Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 0)δ_n; la convergence est-elle absolue ?
III.4/ Sur la série ∑_(n ≥ 1)(|δ_n|)/n.
III.4.1/ Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(|δ_n|)/n.
III.4.2/ On pose A = − ∫_0^1 e^x ln(1 − x)dx.
III.4.2.1/ Justifier la convergence de l'intégrale impropre A .
III.4.2.2/ Exprimer la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)(|δ_n|)/n en fonction de l'intégrale A.
III.4.3/ Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 0)((− 1)^n)/(n!(n + 1)^2) et expliciter la somme ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n!(n + 1)^2) en fonction de ∑_(n = 1)^(+ ∞)(|δ_n|)/n.
III.4.4/ Expliciter un nombre rationnel p/q vérifiant |∑_(n = 1)^(+ ∞)(|δ_n|)/n − p/q| ≤ 1/(600).

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