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CCINP Mathématiques 2 PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Matrices de Gram et distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
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Le sujet définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien réel et en étudie les propriétés. Il se termine par une application au calcul de la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie, en s'appuyant sur des calculs de déterminants effectués en première partie.

  1. 1Partie I : calculs de déterminantsCalculer des déterminants dont un résultat sert à illustrer la partie IV.
  2. 2Partie II : matrices de GramDéfinir les matrices de Gram et étudier leurs propriétés (valeurs propres, lien avec l'indépendance linéaire).
  3. 3Partie III : application aux angles de trois vecteurs unitairesÉtudier une condition nécessaire et suffisante sur les angles formés par trois vecteurs unitaires de l'espace euclidien R3.
  4. 4Partie IV : opérations sur les matrices de GramUtiliser les propriétés des matrices de Gram pour calculer la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel.

Accessible. Le rapport indique que de nombreuses questions faciles, parfois des questions de cours, étaient proposées, avec un enchaînement progressif et des démarches proches du cours, quelques candidats ayant traité l'intégralité du problème.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Formule de changement de base erronée · Symétrie de la matrice non invoquée pour les valeurs propres réelles · Équivalence traitée comme une seule implication
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Le sujet, progressif, proposait des démarches proches du cours et de ses applications directes, avec des résultats intermédiaires mis en évidence pour aider les candidats à progresser. Le jury regrette que les points soient souvent perdus faute d'un temps de réflexion suffisant sur des questions pourtant à la portée des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Formule de changement de base erronéeII.A.3.1

    Pour certains candidats, la formule de changement de base tA' = PAP est jugée fausse ; ils la remplacent par A' = P⁻¹AP avec P orthogonale, ce qui n'est pas le cadre du problème.

  2. 2
    Symétrie de la matrice non invoquée pour les valeurs propres réellesII.B.4

    La symétrie de la matrice à coefficients réels M n'est pas toujours mise en avant pour justifier que ses valeurs propres sont réelles, menant à des démonstrations sans logique.

  3. 3
    Équivalence traitée comme une seule implicationIII.4

    Pour une question demandant une équivalence, les étudiants se contentent souvent d'une vague justification d'une seule implication, sans démontrer la réciproque pourtant simple.

  4. 4
    Argument « par linéarité du déterminant » sans justificationPartie IV

    Les bonnes réponses sont rarement justifiées correctement, les candidats se contentant souvent de l'expression « par linéarité du déterminant ».

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions II.B.2 et II.B.3 sont presque toujours traitées.
  • Les deux premières parties de IV.3, classiques, sont en général bien traitées.
  • Les questions III.5.1 et III.5.2 sont correctement traitées aux erreurs de calcul près.

Conseils du jury

  • Lire attentivement les énoncés, y compris les précisions écrites en gras comme l'indexation des lignes et colonnes.
  • Rédiger une véritable démonstration même pour les questions faciles, sans se contenter de paraphraser l'énoncé.
  • Bien distinguer une démonstration d'implication d'une démonstration d'équivalence.
  • Ne pas se précipiter pour aller loin dans le sujet au détriment d'une réflexion sérieuse sur chaque question.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Les calculatrices sont autorisées.

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 6 pages.

Notations:

On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels, par ℕ l'ensemble des nombres entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble ℕ privé de 0 .
Pour n entier naturel non nul, on note M_n(ℝ) (respectivement M_(n, 1)(ℝ) ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients réels.
On note det(A) le déterminant d'une matrice carrée A et ^t B la transposée d'une matrice B quelconque.
Étant donné une matrice A, la notation A = (a_(i, j)) signifie que a_(i, j) est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A.
Lorsque A = (a) est une matrice de M_1(ℝ), on identifie la matrice A avec le réel a.
Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n, avec la convention 0! = 1.
Soient p et n deux entiers naturels tels que 0 ≤ p ≤ n :
  • on note [ [p, n] ] l'ensemble des entiers k tels que p ≤ k ≤ n.
  • on rappelle la notation (n/p) = (n!)/(p!(n − p)!).
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v d'un espace préhilbertien sera noté (u|v).

Objectifs:

Dans ce problème, on définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.
La première partie porte sur des calculs de déterminants, la valeur d'un des déterminants calculés servant à illustrer la quatrième partie.
Dans la deuxième partie, on définit les matrices de Gram et on en étudie quelques propriétés.
Les troisième et quatrième parties sont des applications de la deuxième partie.

PARTIE I

Les résultats de cette partie ne serviront que dans la partie IV.

I.1. Déterminant d_p.

Soit n ∈ ℕ. Pour p ∈ [ [0, n] ], on note A_p = (a_(i, j)) la matrice carrée de M_(n − p + 1)(ℝ) dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est égal à a_(i, j) = ((p + i + j − 2)/(p + i − 1)) avec (i, j) ∈ [ [1, n − p + 1] ] × [ [1, n − p + 1] ].
On note d_p = det(A_p).
I.1.1. Expliciter les entiers r et s tels que a_(i, j) = (r/s) pour les quatre coefficients a_(1, 1), a_(1, n − p + 1), a_(n − p + 1, 1) et a_(n − p + 1, n − p + 1).
I.1.2. Pour tout entier naturel n ≥ 2 calculer les déterminants d_n, d_(n − 1) et d_(n − 2).
I.1.3. On suppose que la matrice A_p possède au moins deux lignes. On note L_i la ligne d'indice i.
I.1.3.1 Dans le calcul de d_p on effectue les opérations suivantes : pour i variant de n − p + 1 à 2 , on retranche la ligne L_(i − 1) à la ligne L_i (opération codée : L_i ← L_i − L_(i − 1) ). Déterminer le coefficient d'indice ( i, j ) de la nouvelle ligne L_i.
I.1.3.2 En déduire une relation entre d_p et d_(p + 1), puis en déduire d_p.

I.2. Déterminants D_n et Δ_n.

Pour n ∈ ℕ, on note D_n le déterminant de la matrice carrée de 𝒜_(n + 1)(ℝ) dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est (i + j) !, les lignes et les colonnes étant indexées de 0 à n.
On note D_n = det((i + j)!). Avec les mêmes notations, on note Δ_n = det(((i + j)/i)) pour (i, j) ∈ [ [0, n] ] × [ [0, n] ].
I.2.1. Calculer les déterminants D_0, D_1, D_2, Δ_0, Δ_1 et Δ_2.
I.2.2. Donner une relation entre D_n et Δ_n.
I.2.3. En déduire Δ_n puis D_n.

PARTIE II

A) Soit n ∈ ℕ^∗.
II.A.1. Soit C = (c_(i, j)) une matrice carrée de M_n(ℝ). Pour tout entier i ∈ [ [1, n] ], on note X_i la matrice colonne de cM_(n, 1)(ℝ) dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient de la ligne i qui vaut 1 .
II.A.1.1. Pour (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ], déterminer le produit ^t X_i CX_j.
II.A.1.2. En déduire que C = 0 si et seulement si pour tout couple (X, Y) de M_(n, 1)(ℝ) × M_(n, 1)(ℝ) on a ^t XCY = 0.
Soit E un espace euclidien de dimension n et soit ℬ = (e_1, …, e_n) une base de E. Soit A = (a_(i, j)) la matrice carrée de M_n(ℝ) telle que a_(i, j) = (e_i|e_j) le produit scalaire de e_i et e_j.
Pour tout vecteur u de E, on note avec la même lettre majuscule U la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement à la base ℬ.
II.A.2. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, justifier l'égalité (x|y) = ^t XAY.
Soit ℬ^′ = (e^′_1, …, e^′_n) une autre base de E et soit A^′ = (a_(i, j)^′) la matrice carrée de cH_n(ℝ) avec a_(i, j)^′ = (e_i^′|e^′_j). On note P la matrice de passage de la base ℬ à la base B^′.
II.A.3. Pour tout vecteur u de E, on note U^′ la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement à la base ℬ^′.
II.A.3.1. Soit x un vecteur de E. Donner une relation entre les matrices X, X^′ et P.
II.A.3.2. Justifier l'égalité A^′ = ^t PAP.
II.A.3.3. Que devient l'égalité précédente lorsque ℬ^′ est une base orthonormale ?
II.A.3.4. Montrer que la matrice A est inversible et que det(A) > 0.
II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si (ε_1, …, ε_p) est une famille libre de vecteurs d'un espace préhilbertien réel, la matrice B = ((ε_i|ε_j)) de M_p(ℝ) de coefficients les produits scalaires (ε_i|ε_j), vérifie det(B) > 0.
B) Soit n ∈ ℕ^∗.
Dans un espace préhilbertien réel ℋ, on considère n vecteurs quelconques u_1, …, u_n. Soit M = ((u_i|u_j)) la matrice de M_n(ℝ) de coefficients les produits scalaires (u_i|u_j). À toute matrice colonne X = (x_1; ⋮; x_n) de M_(n, 1)(ℝ), on associe le vecteur v = ∑_(i = 1)^n x_i u_i.
II.B.1. Dans cette question on suppose n = 2.
II.B.1.1. Montrer que det(M) ≥ 0.
II.B.1.2. À quelle condition sur det(M) la famille (u_1, u_2) est-elle libre ?
On revient au cas général où n est quelconque dans ℕ^∗.
II.B.2. Exprimer les coefficients de la matrice MX en fonction des produits scalaires (u_i|v).
II.B.3. En déduire l'égalité ^t XMX = ‖v‖^2 où ‖v‖ est la norme du vecteur v.
II.B.4. Soit λ une valeur propre (complexe) de la matrice M. Justifier que λ appartient à ℝ. Montrer que λ ≥ 0.
II.B.5. Montrer que MX = 0 si et seulement si v est le vecteur nul.
II.B.6. On suppose que la matrice M est inversible, déduire de la question précédente que la famille ( u_1, …, u_n ) est libre.
Définition : Etant donné n vecteurs v_1, …, v_n d'un espace préhilbertien réel ℋ, on appelle matrice de Gram des vecteurs v_1, …, v_n, la matrice G(v_1, …, v_n) = ((v_i|v_j)) de M_n(ℝ) de coefficients les produits scalaires (v_i|v_j).
Il résulte de la partie II que la famille (v_1, …, v_n) est libre si et seulement si det(G(v_1, …, v_n)) ≠ 0; dans ce cas, on a det(G(v_1, …, v_n)) > 0.

PARTIE III

Dans cette partie, E est l'espace euclidien ℝ^3 supposé orienté, u_1, u_2, u_3 sont trois vecteurs unitaires de E. On note α, β, γ les réels de [0, π] tels que (u_1|u_2) = cosα, (u_2|u_3) = cosβ, (u_3|u_1) = cosγ et on suppose que 0 ≤ γ ≤ β ≤ α ≤ π.
III.1. Déterminer les racines du polynôme P(X) = X^2 − 2Xcosβcosγ + cos^2 β + cos^2 γ − 1.
III.2. En déduire une factorisation de det(G(u_1, u_2, u_3)) en produit de deux facteurs.
III.3. Montrer que cosα est compris entre cos(β − γ) et cos(β + γ).
III.4. Montrer que det(G(u_1, u_2, u_3)) = 0 si et seulement si α + β + γ = 2π ou α = β + γ.
III.5. On suppose que α = β = γ et on note c = cosα.
III.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice G(u_1, u_2, u_3). En déduire ses valeurs propres.
III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de c.
III.5.3. On prend c = − 1/2.
III.5.3.1. Quelle est la valeur de u_1 + u_2 + u_3 ?
III.5.3.2. Déterminer le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice G(u_1, u_2, u_3). En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de u_1 + u_2 + u_3.

PARTIE IV

Soit n un entier naturel avec n ≥ 2.
On considère n vecteurs v_1, …, v_n d'un espace préhilbertien réel ℋ.
IV.1. Opérations sur les vecteurs d'une matrice de Gram. Soit λ ∈ ℝ.
IV.1.1. Exprimer det(G(v_1, …, v_(n − 1), λv_n)) en fonction deλ et dedet(G(v_1, …, v_(n − 1), v_n)).
IV.1.2. Exprimer det(G(v_1, …, v_(n − 1), v_n + λv_1)) en fonction dedet(G(v_1, …, v_n)).
IV.2. Soit F = Vect(v_1, …, v_n) le sous-espace vectoriel de ℋ engendré par les vecteurs v_1, …, v_n.
IV.2.1. Soit w un vecteur de ℋ orthogonal à F. Exprimer det(G(v_1, …, v_n, w)) en fonction de w et de det(G(v_1, …, v_n)).
IV.2.2. Soit v ∈ ℋ, on note d(v, F) la distance du vecteur v au sous-espace vectoriel F. Montrer l'égalité det(G(v_1, …, v_n, v)) = (d(v, F))^2 det(G(v_1, …, v_n)).
IV.3. Calcul de la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel.
IV.3.1. Pour k ∈ ℕ, justifier la convergence des intégrales J_k = ∫_0^(+ ∞)t^k e^(− t) dt et calculer leur valeur.
On rappelle (et on admettra) que ℝ[X], l'espace vectoriel réel des polynômes à coefficients dans ℝ, est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire (P|Q) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)P(t)Q(t)dt.
On considère la base de ℝ[X] formée des vecteurs e_k où e_k = X^k, k ∈ ℕ.
IV.3.2. Calculer les produits scalaires (e_i|e_j).
IV.3.3. Soit n ∈ ℕ^∗. Déduire des questions précédentes et de la partie I, la distance du vecteur e_n au sous-espace vectoriel ℝ_(n − 1)[X] des polynômes de degré ≤ n − 1 de l'espace ℝ[X].
Fin de l'énoncé.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PSI 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PSI 2007 ?

Le sujet porte sur les déterminants, les espaces préhilbertiens, la réduction des matrices symétriques et la projection orthogonale, à travers l'étude des matrices de Gram.

Le sujet de maths 2 CCINP PSI 2007 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme progressif et proche du cours, avec de nombreuses questions faciles, quelques candidats ayant même traité l'intégralité du problème.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI 2007 ?

Le jury signale une formule de changement de base souvent erronée, la symétrie d'une matrice non invoquée pour justifier des valeurs propres réelles, et des équivalences traitées comme de simples implications.

Faut-il connaître les matrices de Gram avant d'aborder ce sujet de maths 2 PSI 2007 ?

Non, le sujet les définit et en étudie les propriétés progressivement ; une bonne maîtrise des espaces préhilbertiens et des déterminants suffit.

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