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Approximation de ln 2 et de la constante d'Euler
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Le problème étudie plusieurs méthodes pour approcher ln 2 et la constante d'Euler gamma avec une précision arbitraire. Il part de définitions sous forme de limites de suites, passe par une expression intégrale de gamma, puis par un lien avec la fonction zêta alternée, avant de présenter deux méthodes générales d'accélération de convergence des séries alternées appliquées à ln 2.

  1. 1Première partieDéfinit ln 2 et la constante d'Euler comme limites de suites et établit de premiers encadrements.
  2. 2Deuxième partieExprime la constante d'Euler sous forme d'une intégrale généralisée et en déduit une méthode d'approximation.
  3. 3Troisième partieRelie la constante d'Euler au comportement de la fonction zêta au voisinage de 1 à l'aide de la fonction zêta alternée.
  4. 4Quatrième partieIntroduit l'opérateur de différence finie Delta et une méthode d'accélération de convergence pour les séries alternées, appliquée à ln 2.
  5. 5Cinquième partiePropose une seconde méthode d'accélération fondée sur des polynômes liés aux polynômes de Tchebychev, avec un algorithme de calcul.

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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Le sujet comporte 7 pages

Préambule

Le but général de ce problème est d'étudier différentes méthodes d'approximation de deux réels particuliers, ln2 d'une part et la constante d'Euler γ d'autre part. La définition de ces deux réels sous forme de limites de suites et les premiers encadrements associés sont étudiés dans la partie I. Une autre méthode d'approximation de la constante d'Euler à l'aide d'une expression de celle-ci sous forme d'intégrale est proposée dans la partie II. La partie III consiste à exprimer γ à partir de la somme d'une certaine série alternée. Les parties IV et V proposent ensuite deux méthodes générales d'accélération de convergence pour le calcul des sommes de séries alternées et les appliquent à l'approximation de ln2. Les cinq parties sont assez largement indépendantes.
Dans tout le problème, on note pour tout s > 0, ζ_a(s) la somme de la série álternée de terme général ((− 1)^(n − 1))/(n^s) pour n ≥ 1 et pour tout s > 1, ζ(s) la somme de la série de terme général 1/(n^s) pour n ≥ 1.

Première partie

1.1 En appliquant une formule de Taylor à la fonction x ↦ ln(1 + x) définie pour x > − 1, montrer que
ln2 = ζ_a(1) = lim_(n → + ∞)∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k + 1).
1.2 En déduire une première méthode d'approximation permettant d'obtenir ln2 avec une précision ε > 0 donnée.
1.3 On définit la suite de terme général u_n pour n ≥ 1 par la relation:
u_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − lnn.
Montrer que pour tout n ∈ N^∗, u_n ∈ [0, 1].
1.4 Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ N^∗) est monotone. En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ N^∗) est convergente.
Dans toute la suite de ce problème, on définit un réel, noté γ et appelé constante d'Euler, par la relation:
γ = lim_(n → + ∞)u_n = lim_(n → + ∞)(∑_(k = 1)^n 1/k − lnn).
1.5 Pour tout n ∈ N^∗, on note D_n le domaine de R^2 défini par:
D_n = {(x, y) ∈ R^2, n ≤ x ≤ n + 1 et 1/(n + 1) ≤ y ≤ 1/x}.
Représenter graphiquement D_n dans le plan muni du repère orthonormé ( O, i⃗, j⃗ ) et montrer que l'aire de D_n est égale à u_n − u_(n + 1).
1.6 Montrer que l'aire de D_n est comprise entre 1/2(1/(n + 1) − 1/(n + 2)) et 1/2(1/n − 1/(n + 1)).
1.7 En déduire l'encadrement suivant de la constante d'Euler valable pour tout n ∈ N^∗ :
u_n − 1/(2n) ≤ γ ≤ u_n − 1/(2n) + 1/(2n(n + 1)).
1.8 Décrire une première méthode d'approximation permettant d'obtenir γ avec une précision ε > 0 donnée. On supposera connue une approximation de la fonction logarithme avec une précision arbitraire.

Deuxième partie

2.1 Soit a > 0. Montrer que la fonction réelle f_a définie sur ] a, + ∞ [ et telle que f_a(x) = (1 − a/x)^x est croissante et vérifie lim_(x → + ∞)f_a(x) = e^(− a).
2.2 Montrer que les intégrales I_n = ∫_0^n f_t(n)lntdt pour n ∈ N^∗ et I = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)lntdt sont correctement définies.
2.3 Montrer que lim_(n → + ∞)I_n = I.
2.4 Etablir l'expression suivante de I_n :
I_n = n/(n + 1)(lnn − ∑_(k = 1)^(n + 1)1/k)
En déduire que la constante d'Euler γ définie par la relation (2) peut aussi s'exprimer sous la forme d'une intégrale:
γ = − ∫_0^(+ ∞)e^(− t)lntdt
2.5 Montrer qu'on peut définir deux fonctions F et R sur R_+^∗ par les relations suivantes:
{F(x) = ∫_0^x(1 − e^(− t))/tdt; R(x) = ∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/tdt
et que ces deux fonctions vérifient pour tout x ∈ R_+^∗ :
γ = F(x) − lnx − R(x)
2.6 Montrer que pour tout x ∈ R_+^∗, on a F(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^(n − 1)(x^n)/(nn!).
2.7 Etablir les inégalités suivantes valables pour tout x ∈ R_∗^+et tout entier N > x :
{|F(x) − ∑_(n = 1)^(N − 1)(− 1)^(n − 1)(x^n)/(nn!)|, ≤ 1/(eN)((ex)/N)^N; 0, ≤ R(x) ≤ (e^(− x))/x
2.8 Proposer une méthode permettant de déterminer, à ε > 0 fixé, une valeur de x > 0 et une valeur de N ∈ N^∗ de telle sorte qu'on ait:
|∑_(n = 1)^(N − 1)(− 1)^(n − 1)(x^n)/(nn!) − lnx − γ| ≤ ε

Troisième partie

3.1 Montrer que la fonction ζ_a définie dans le préambule est une fonction continue sur R_+^∗.
3.2 Montrer que ζ_a est une fonction dérivable sur R_+^∗ et exprimer sa dérivée sous forme de série.
3.3 Vérifier que pour tout s > 1, on a ζ_a(s) = (1 − 2^(1 − s))ζ(s) où la fonction ζ a été définie dans le préambule.
3.4 En remarquant que 1/(n^s) = s∫_n^(+ ∞)1/(t^(s + 1))dt pour tout s > 0 et tout n ∈ N^∗, établir que
ζ(s) = s∫_1^(+ ∞)(E(t))/(t^(s + 1))dt
où E(t) représente la partie entière du réel t.
3.5 Montrer qu'au voisinage de s = 1 par valeurs supérieures, on a
ζ(s) = 1/(s − 1) + γ + o(1)
où γ désigne la constante d'Euler définie par la relation (2).
3.6 Vérifier que la série de terme général (− 1)^n(ln(n + 3))/(n + 3) pour n ∈ N est une série alternée. En notant S sa somme, montrer à l'aide des questions précédentes que
γ = (ln(2) + 1)/2 − 1/(ln(2))S

Quatrième partie

Dans toute cette partie, (a_k)_(k ∈ N) désigne une suite réelle convergente vers 0 . Cette suite est supposée de plus décroissante à partir de la question 4.4.
4.1 Soit (λ_k)_(k ∈ N) une suite de réels strictement positifs telle la série de terme général λ_k diverge vers + ∞. Montrer que
lim_(n → + ∞)(∑_(k = 0)^n λ_k a_k)/(∑_(k = 0)^n λ_k) = 0
4.2 On définit Δ l'opérateur opérant sur une suite quelconque (u_k)_(k ∈ N) par la relation:
∀k ∈ N, (Δu)_k = u_k − u_(k + 1)
puis on note Δ^n la puissance itérée n-ième de l'opérateur Δ :
Δ^0 = Id et pour tout n ∈ N, Δ^(n + 1) = Δ ∘ Δ^n
Montrer que pour tous k et n dans N, on a
(Δ^n u)_k = ∑_(i = 0)^n(− 1)^i(n/i)u_(k + i)
4.3 Montrer, à n fixé dans N, que lim_(k → + ∞)(Δ^n a)_k = 0 et, à k fixé dans N, que lim_(n → + ∞)((Δ^n a)_k)/(2^n) = 0.
4.4 On suppose à partir de maintenant que la suite (a_k)_(k ∈ N) est décroissante et convergente vers 0 . On note S la somme de la série alternée de terme général (− 1)^k a_k pour tout k ∈ N.
On definit pour tous k et n dans N :
a_n^((k)) = (− 1)^k[((Δ^n a)_k)/(2^n) − ((Δ^(n + 1)a)_k)/(2^(n + 1))]
Montrer, à k fixé dans N , que la série de terme général (a_n^((k)))_(n ∈ N) est convergente avec pour somme:
∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n^((k)) = (− 1)^k a_k
et, à n fixé dans N, que la série de terme général (a_n^((k)))_(k ∈ N) est convergente avec pour somme:
∑_(k = 0)^(+ ∞)a_n^((k)) = ((Δ^n a)_0)/(2^(n + 1)).
4.5 On note r_m^((k)) = ∑_(n = m)^(+ ∞)a_n^((k)). Montrer que la série de terme général (r_m^((k)))_(k ∈ N) est convergente. On note R_m sa somme.
4.6 Montrer que lim_(m → + ∞)R_m = 0 et ∑_(m = 0)^n((Δ^m a)_0)/(2^(m + 1)) = R_0 − R_(n + 1).
4.7 En déduire que la série de terme général (((Δ^m a)_0)/(2^(m + 1)))_(m ∈ N) est convergente et a pour somme S.
4.8 On suppose en outre que la suite (a_k)_(k ∈ N) peut s'écrire sous la forme a_k = f(k) pour tout k ∈ N où f est une fonction appartenant à C^∞(R_+, R) et telle que
∀k ∈ N, ∀x ∈ R_+, (− 1)^k f^((k))(x) ≥ 0
Montrer dans ce cas que pour tout n ∈ N et tout k ∈ N, (Δ^n a)_k ≥ 0. En déduire que pour tout m ∈ N,
0 ≤ ((Δ^m a)_0)/(2^(m + 1)) ≤ (a_0)/(2^(m + 1)).
4.9 En appliquant les résultats de cette partie à la suite de terme général a_k = 1/(k + 1), proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision ε > 0 donnée. Quelle expression de ln2 retrouve t -on?

Cinquième partie

Dans toute cette partie, (b_k)_(k ∈ N) désigne une suite réelle pouvant s'écrire pour tout k ∈ N :
b_k = ∫_0^1 x^k w(x)dx
où w est une fonction réelle continue sur ]0, 1[, positive et dont l'intégrale sur ]0, 1[ est convergente.
5.1 Montrer que la suite (b_k)_(k ∈ N) est décroissante et convergente vers 0 .
5.2 Soit (P_n)_(n ∈ N) une suite de fonctions réelles telle que, pour tout x ∈ R, P_0(x) = 1, P_1(x) = 1 − 2x et
∀x ∈ R, ∀n ∈ N^∗, P_(n + 1)(x) = 2(1 − 2x)P_n(x) − P_(n − 1)(x).
Montrer que P_n est un polynôme de degré n et établir une relation entre P_n et la fonction T_n définie sur [ − 1, 1] par l'expression:
∀x ∈ [ − 1, 1], T_n(x) = cos(nArccos(x))
Indication: on pourra essayer d'établir une relation de récurrence linéaire à deux termes sur les fonctions T_n du même type que celle portant sur les fonctions P_n.
5.3 Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N^∗ :
P_n(x) = ∑_(m = 0)^n(− 1)^m n/(n + m)((n + m)/(2m))2^(2m)x^m
En déduire que pour tout n ∈ N, P_n(− 1) ≠ 0.
5.4 Pour tout n ∈ N^∗, on définit le polynôme Q_n tel que Q_n(X) = (P_n(− 1) − P_n(x))/(P_n(− 1)(1 + x)) et on note s(n) = ∫_0^1 Q_n(x)w(x)dx. Montrer que
s(n) = (∑_(k = 0)^(n − 1)c_(n, k)(− 1)^k b_k)/(P_n(− 1))
avec
c_(n, k) = ∑_(m = k + 1)^n n/(n + m)((n + m)/(2m))2^(2m)
5.5 Calculer P_n(− 1). En déduire que pour tout n ∈ N^∗
|s(n) − S| ≤ (2S)/((3 + √8)^n)
où S désigne la somme de la série alternée de terme général (− 1)^k b_k pour tout k ∈ N.
5.6 Soit n ≥ 2. On suppose connus les n premiers termes de la suite (b_k)_(k ∈ N). On se propose d'étudier l'algorithme suivant, écrit ici de manière pseudo-informatique:
. d0 = 1, d1 = 3;
. Pour k allant de 0 à n − 2, faire:
  • tmp = d1, d1 = 6∗d1 − d0, d0 = tmp;
    . fin;
    . b = − 1, c = − d1, s = 0;
  • Pour k allant de 0 à n − 1, faire:
  • c = b − c, s = s + c∗b_k;
  • b = b∗(k + n)∗(k − n)/((k + 1/2)∗(k + 1));
    . fin;
    . sn = s/d1;
    Quelles valeurs respectives prennent d1 et sn à la fin de l'algorithme? Justifier la réponse.
    5.7 En appliquant les résultats de cette partie à la suite de terme général b_k = 1/(k + 1), proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision ε > 0 donnée.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI X-ENS 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI X-ENS 2007 ?

Il porte sur les suites et séries numériques, en particulier les séries alternées, les intégrales généralisées, et leur lien avec la fonction zêta de Riemann, pour approcher ln 2 et la constante d'Euler.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les cinq parties sont assez largement indépendantes, chacune proposant sa propre méthode d'approximation.

Faut-il connaître la fonction zêta de Riemann avant de traiter ce sujet ?

Non, la fonction zêta et sa variante alternée sont définies dans le préambule et leurs propriétés utiles sont démontrées dans la troisième partie.

Ce sujet contient-il un volet algorithmique ?

Oui, la cinquième partie décrit un algorithme de calcul, présenté en pseudo-code, permettant d'approcher ln 2 par accélération de convergence.

Pas de description pour le moment