X ENS Modélisation PSI 2007Sujet et corrigé

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 23 pages et un document réponse

Les sources laser ^1 actuelles ne permettent pas de couvrir toute l'étendue spectrale des ondes électromagnétiques: seules quelques plages particulières de longueurs d'onde sont efficacement générées, les valeurs correspondantes dépendant essentiellement des propriétés des matériaux utilisés. Pour autant, les applications commerciales sont en attente de sources laser efficaces pouvant couvrir une gamme de longueurs d'onde étendue, allant de 200 nm à 20μ m. Les débouchés visés sont extrêmement variés et vont de la détection de traces gazeuses (pour déterminer un indice de pollution) à la télémétrie militaire, en passant par la photolithographie ou encore certaines techniques chirurgicales.

Pour générer tout ce panel de longueurs d'onde, une solution consiste à convertir la fréquence optique des sources laser actuelles en les associant à des cristaux qui permettent un effet optique non linéaire. Ce phénomène a été découvert en 1961, soit une année seulement après l'invention du laser.

L'objectif de l'étude présentée ici est d'identifier les paramètres essentiels qui gouvernent l'efficacité d'un tel processus non linéaire de conversion de fréquences optiques. Ces interactions ayant lieu au sein de matériaux cristallins, il est essentiel de s'intéresser avant toute chose aux propriétés optiques spécifiques de ces cristaux, ce qui fait l'objet de la première partie. La seconde partie aborde le problème particulier du doublage de fréquence en utilisant une modélisation «ondulatoire» des phénomènes optiques. La troisième partie, plus succincte, traite de la question en prenant un modèle «corpusculaire» de la lumière : l'interaction n'est alors plus vue comme un doublage de fréquence, mais comme une fusion de photons. La quatrième et dernière partie propose une courte synthèse de ces différentes approches, et permet de choisir le modèle pertinent qui correspond aux conditions expérimentales proposées.

Les différentes parties sont très largement indépendantes, sans toutefois l'être totalement. De nombreuses questions peuvent être abordées et correctement traitées même si les questions précédentes n'ont pas été résolues. Les candidats sont donc encouragés à avancer le plus loin possible dans l'énoncé, en gardant à l'esprit que la démarche de modélisation et l'esprit critique comptent davantage que la simple aptitude aux calculs.

Avant d'aborder le cœur du problème, nous tenons à rappeler ici les modèles utilisés pour décrire un faisceau lumineux d'une part, et le matériau dans lequel il se propage d'autre part.

Nous utiliserons essentiellement une description ondulatoire de la lumière, en supposant que toutes les ondes sont planes, progressives et monochromatiques ^2. Le vecteur d'onde est noté k⃗ et matérialise la direction de propagation de l'onde. Toutes les ondes en interaction seront supposées avoir la même direction de propagation : il est alors commode de définir un repère lié au laboratoire ( O, X, Y, Z ) tel que l'axe ( OZ ) soit colinéaire à la direction de propagation. Une onde électromagnétique est constituée de deux champs, l'un électrique E⃗ et l'autre magnétique B⃗, qui peuvent dès lors s'écrire ^3 :

où e⃗ et b⃗ sont des vecteurs unitaires, ω est la pulsation temporelle, et k = ‖k⃗‖ est le nombre d'onde dans le matériau considéré. Comme l'onde est plane, les amplitudes complexes E_– et B_– sont supposées indépendantes du temps et des variables transverses : (∂E_–)/(∂X) = (∂E_–)/(∂Y) = 0 et (∂B_–)/(∂X) = (∂B_–)/(∂Y) = 0.

Enfin, pour définir un faisceau lumineux, il convient de considérer que les amplitudes complexes E_– et B_– sont définies dans un domaine d'étendue limitée : elles seront considérées comme nulles en dehors d'un cylindre de rayon W, centré sur l'axe (OZ) comme le précise la Figure 1.

Les verres et les cristaux utilisés en optique sont des milieux non magnétiques, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'aimantation induite, M⃗ = 0→, et par conséquent B⃗ = μ_0 ⋅ H⃗, où μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1) est la perméabilité magnétique du vide, et H⃗ le vecteur excitation magnétique. De même, ces milieux sont des diélectriques, isolants et non chargés ; la densité de courant et la densité de charges y sont donc nulles : j⃗ = 0→ et ρ = 0 respectivement.

En revanche, le champ électrique associé à l'onde lumineuse peut induire une polarisation macroscopique au sein du matériau. La répartition des charges internes à chaque atome est alors modifiée ^4 : sous l'effet du champ électrique, les barycentres des charges positives (du noyau) et négatives (du nuage électronique) se dissocient, et donnent naissance à un moment dipolaire électrique induit, comme le montre la Figure 2.

Lorsque le champ associé à l'onde optique est faible devant la valeur des champs qui assurent la cohésion de l'édifice atomique, la dépendance de cette polarisation induite vis-à-vis du champ inducteur est bien modélisée par une relation linéaire ^5 : P⃗ = ε_0 ⋅ χ ⋅ E⃗, où ε_0 ≈ 8.85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1) est la permittivité diélectrique du vide, et χ est un coefficient sans dimension appelé susceptibilité électrique linéaire. Dans les cas qui nous intéressent, c'est un coefficient purement réel ^6.

Pour rendre compte à la fois du champ électrique inducteur et de la polarisation induite par celui-ci dans le matériau, il est nécessaire d'introduire une nouvelle entité ^7 : le vecteur déplacement électrique, définit par D⃗ = ε_0 ⋅ E⃗ + P⃗.

Une fois ces relations constitutives établies, il faut considérer les équations de Maxwell valables dans un milieu matériel. L'ensemble des équations modélisant le matériau peut donc s'écrire :

Ces deux modèles étant posés a priori, l'objectif de l'étude est de modéliser l'interaction entre l'onde électromagnétique incidente et le matériau non linéaire. Le processus choisi est le plus simple qui soit : il s'agit de générer une onde de fréquence double, ce phénomène étant aussi appelé génération de second harmonique. La modélisation de cette interaction pourra nous amener à affiner les modèles retenus, tant pour l'onde incidente que pour le matériau dans lequel elle se propage.

Le matériau retenu pour réaliser la génération de second harmonique est CdGeAss_2.
En partant d'un faisceau incident (la «pompe») de longueur d'onde 10.6μ m, issu d'un laser CO_2, on souhaite obtenir un faisceau le plus intense possible à la longueur d'onde moitié, soit 5.3μ m. Il s'agit bien d'un doublage de fréquence, puisque la longueur d'onde 10.6μ m correspond à une fréquence de, 2.83 ⋅ 10^(13) Hz alors qu'à la longueur d'onde 5.3μ m est associée une fréquence de 5.66 ⋅ 10^(13) Hz, c'est-àdire le double.

Dans un matériau optiquement isotrope, la susceptibilité électrique linéaire est un scalaire, supposé réel, et indépendant de la direction de propagation de l'onde: χ = constante. La permittivité diélectrique relative, nombre sans dimension noté ε_r, est alors définie en imposant la relation constitutive ^8 D⃗ = ε_0 ⋅ ε_r ⋅ E⃗.

Montrer que la permittivité diélectrique relative s'écrit ε_r = (1 + χ), et vérifier que le champ électrique est transverse, c'est-à-dire que div(E⃗) = 0.

Montrer que les équations de Maxwell associées aux équations constitutives permettent d'aboutir à l'équation d'onde de D'Alembert suivante pour le champ électrique : rot^(→−)(rot^(→−)(E⃗)) + μ_0 ⋅ ε_0 ⋅ ε_r ⋅ (∂^2 E⃗)/(∂t^2) = 0→.

Par un raisonnement sur les dimensions des différents termes de cette équation, montrer que le terme μ_0 ⋅ ε_0 ⋅ ε_r est homogène à l'inverse du carré d'une vitesse, notée v.

Cette vitesse v correspond à la célérité de l'onde électromagnétique dans le matériau. La célérité de la lumière dans le vide est quant à elle notée c, et elle est définie par μ_0 ⋅ ε_0 ⋅ c^2 = 1. On définit également l'indice optique d'un matériau par n = c/v.

Exprimer v en fonction de ε_r et c, puis en déduire l'expression de l'indice optique du matériau n en fonction de E_r.

Dans le cas d'un matériau linéaire et non absorbant, l'amplitude complexe du champ électrique E_– ne dépend pas de Z. La dérivée temporelle et les opérateurs d'analyse vectorielle prennent alors des formes simplifiées : (∂E⃗)/(∂t) ⇔ jω ⋅ E⃗; div(E⃗) ⇔ − jk⃗ ⋅ E⃗; rot^(→−)(E⃗) ⇔ − jk⃗ ∧ E⃗.

Déterminer la relation entre k = ‖k⃗‖, n, ω et c qui permet à l'expression choisie pour E⃗ de vérifier l'équation de D'Alembert ^9.

Les vecteurs D⃗ et H⃗, sont pris sous la même forme que celle choisie pour E⃗ et B⃗ : D⃗ = D_– ⋅ e^(j(ωt − kZ)) ⋅ d⃗ et H⃗ = H_– ⋅ e^(j(ωt − kZ)) ⋅ h⃗, où d⃗ et h⃗ sont des vecteurs unitaires. Dans un milieu matériel, le vecteur de Poynting est défini par Π⃗ = (ℜe(E_– ⋅ e^(j(ωt − kZ))) ⋅ e⃗) ∧ (ℜe(H_– ⋅ e^(j(ωt − kZ))) ⋅ h⃗), où ℜe(A_–) désigne la partie réelle du nombre complexe A_–. D'un point de vue physique, le vecteur Π⃗ matérialise la direction de propagation de l'énergie lumineuse associée à l'onde.

En écrivant les équations de Maxwell à l'aide des opérateurs simplifiés donnés précédemment, montrer que les vecteurs E⃗ et H⃗ sont orthogonaux. En déduire que (E⃗, H⃗, Π⃗) forment un trièdre direct, et montrer qu'il en est de même pour (D⃗, B⃗, k⃗).

Donner l'expression du module du vecteur de Poynting Π = ‖Π⃗‖ en fonction de n, ε_0, μ_0 et ℜe(E_– ⋅ e^(j(ωt − kZ))).

L'éclairement, noté I, qui correspond à la densité surfacique de puissance lumineuse, en Watts par mètre carré, se calcule en prenant la moyenne temporelle du module du vecteur de Poynting: I = ⟨Π⟩_T.

Exprimer l'éclairement I en fonction de n, ε_0, μ_0 et |E_–|, où |E_–| désigne le module de l'amplitude complexe E_–.

Etant données les caractéristiques géométriques des faisceaux lumineux utilisés, à savoir un cylindre de rayon W, montrer que l'expression de la puissance totale transportée par l'onde électromagnétique s'exprime par 𝒫 = (π ⋅ W^2)/2 ⋅ n ⋅ √((ε_0)/(μ_0)) ⋅ |E_–|^2.

Un matériau optiquement anisotrope est particularisé par le fait que la polarisation induite P⃗ dépend de la direction du champ électrique inducteur E⃗. Cette direction, matérialisée par le vecteur unitaire e⃗, est appelée direction de polarisation ^(10) de l'onde. Il est aisément concevable que, dans un matériau «feuilleté» par exemple, la réponse du milieu (id est la polarisation P⃗ ) ne soit pas la même si le champ électrique E⃗ est dans le plan du feuilletage ou au contraire orthogonal à ce plan.

La susceptibilité électrique linéaire χ d'un milieu anisotrope n'est alors plus représentée par un scalaire, mais par une matrice, toujours supposée réelle. En pratique, nous admettrons qu'il existe une repère orthogonal qui permet une écriture diagonale de χ; ce repère, appelé repère optique, est lié à la maille cristalline du matériau, et sera noté en lettres minuscules: (O, x, y, z). Dans ce repère, la relation constitutive P⃗ = ε_0 ⋅ χ ⋅ E⃗ reste vraie, et s'écrit sous forme matricielle :

Il apparaît alors clairement que les vecteurs D⃗ = ε_0 ⋅ E⃗ + P⃗ et E⃗ ne sont en général plus colinéaires; cependant, comme le matériau reste non magnétique, les vecteurs H⃗ et B⃗ conservent la même direction : la relation B⃗ = μ_0 ⋅ H⃗ est préservée.

Pour un matériau uniaxe, ce qui correspond au cas de CdGeAs_2, deux valeurs propres de la matrice χ sont égales. L'écriture est allégée en notant χ_(xx) = χ_(yy) = χ_o et χ_(zz) = χ_e ≠ χ_o.

Nous supposerons que la relation D⃗ = E_0 ⋅ E_r ⋅ E⃗ est toujours valable.

Montrer que la permittivité diélectrique relative ε_r est alors également une matrice dont l'expression dans le repère optique sera donnée en fonction de χ_o et χ_e.

Cette écriture matricielle de la permittivité permet de conserver également l'expression de l'équation d'onde établie à la question I-2.

En raisonnant dans le repère optique ( O, x, y, z ), montrer qu'en général le champ électrique n'est plus transverse, ce qui revient à dire que div(E⃗) ≠ 0.

Avant d'étudier le cas général, il est riche d'enseignement de se pencher sur le cas particulier d'un vecteur E⃗ orienté selon un axe du repère optique, c'est-à-dire (Ox), (Oy) ou (Oz).

Dans chacun des trois cas particuliers proposés, vérifier que div(E⃗) reste nul, et montrer que l'équation d'onde aboutit alors à deux valeurs possibles du nombre d'onde, notées k_o et k_e, qui seront exprimées en fonction de χ_o et χ_e. Donner l'expression des indices optiques correspondants, n_o et n_e, appelés respectivement indice «ordinaire» et indice « extraordinaire», et précisez les vitesses de propagation associées, v_o et v_e.

Pour une direction de propagation quelconque, on peut montrer qu'il y a également deux ondes, notées (+) et (−), susceptibles de se propager dans le matériau, chacune ayant son indice optique propre, en adoptant le classement trivial n^((+)) ≥ n^((−)). L'un des deux indices obtenus dépend de la direction de propagation de l'onde, matérialisée par k⃗ : il faut donc pouvoir repérer le vecteur d'onde dans le repère optique. Compte tenu de la symétrie d'un matériau uniaxe, les axes ( Ox ) et ( Oy ) sont équivalents, de sorte que la seule donnée pertinente est l'angle θ que fait le vecteur d'onde avec l'axe (Oz), comme le montre la Figure 3(a).

Pour chaque valeur de θ, la résolution de l'équation d'onde permet de calculer la valeur des deux indices. Pour le matériau considéré, CdGeAs_2, on aboutit alors à une représentation graphique de cette dualité de l'indice optique, présentée sur la Figure 3(b) en exagérant l'écart entre n_o et n_e. Il apparaît que l'une des deux valeurs de l'indice, n^((−)), reste constante, d'où la dénomination d'onde «ordinaire». En revanche, l'autre valeur de l'indice, n^((+)), dépend de θ, d'où le vocable «extraordinaire», et peut être représentée par une ellipse, de petit axe n_o et de grand axe n_e.

Enfin, un calcul plus approfondi permettrait de déterminer la direction de polarisation de chacune des deux ondes associées aux deux valeurs de l'indice optique: e^((−))^(→−)est perpendiculaire au plan de la figure, alors que e^((+))^(→−)est porté par la tangente à l'ellipse, comme le montre la Figure 3(b).

Pour chacune de ces deux ondes, (+) et (−), les résultats établis dans le cadre d'un matériau isotrope restent vrais : ainsi (E^((+))^(→−), H^((+))^(→−), Π^((+))^(→−))et (D^((+))^(→−), B^((+))^(→−), k^((+))^(→−))forment des trièdres directs, de même que nous conservons la relation I^((+)) = 1/2 ⋅ n^((+))(θ) ⋅ √((ε_0)/(μ_0)) ⋅ |E_–^((+))|^2, l'onde (+) étant associée à un indice n^((+))(θ), à un nombre d'onde k^((+)) = (n^((+)) ⋅ ω)/c, et à une vitesse de propagation v^((+)) = c/(n^((+))(θ)); ces résultats sont transposables par symétrie à l'onde (-).

Il existe cependant une différence importante entre les deux ondes : le champ électrique ordinaire est transverse, soit div(E^((−))^(→−)) = 0, alors que son homologue extraordinaire ne l'est pas, soit div(E^((+))^(→−)) ≠ 0, sauf dans les cas particuliers où θ = 0^∘ et θ = 90^∘.

En justifiant la démarche adoptée, compléter la figure reproduite sur le document-réponse
ci-joint (à rendre avec la copie) en traçant les vecteurs unitaires b^((+))^(→−) = h^((+))^(→−), b^((−))^(→−) = h^((−))^(→−) ainsi que les vecteurs de Poynting associés aux ondes (+) et (−), pour lesquels une norme arbitraire sera choisie car c'est la direction seule qui nous intéresse.

L'angle observé entre Π^((+))^(→−)et Π^((−))^(→−)est appelé angle de double réfraction, noté ρ. Il se traduit phénoménologiquement par le fait que l'énergie lumineuse incidente se sépare en deux rayons distincts, chacun ayant sa direction propre, et sa vitesse de propagation propre. Notons cependant que les deux ondes conservent la même direction de propagation de l'onde (matérialisée par les vecteurs k^((+))^(→−)et k^((−))^(→−)qui sont colinéaires), même si elles sont associées à des directions de propagation de l'énergie différentes ^(11) (matérialisées par les vecteurs Π^((+))^(→−)et Π^((−))^(→−)).

Pour θ ∈ [0^∘; 90^∘], indiquer quelles sont les valeurs de θ pour lesquelles l'angle de double réfraction est nul.

L'équation donnant l'indice ordinaire est triviale : n^((−))(θ) = n_o. En adaptant l'équation d'une ellipse ^(12) à notre problème, déterminer l'équation donnant l'indice extraordinaire, n^((+))(θ), en fonction de θ, n_o et n_e.

En exploitant la Figure 3(b) et l'équation établie à la question précédente, établir l'expression de la pente de la tangente à l'ellipse représentant n^((+))(θ), notée p.

Etablir une expression de l'angle de double réfraction, ρ, en fonction de θ, n_o et n_e.

Calculer la valeur de ρ associée à la seule direction qui nous intéressera ultérieurement, à savoir θ_(AP) = 33.58^∘, sachant que les indices principaux de CdGeAs_2 à la longueur d'onde du laser CO_2 valent n_o = 3.5046 et n_e = 3.5911. Donner également la valeur correspondante de l'indice n^((+))(θ_(AP)).

La loi de Snell-Descartes régit les phénomènes de réfraction à l'interface entre deux milieux d'indices optiques différents n_1 et n_2; elle s'exprime par la relation n_1 ⋅ sin(i_1) = n_2 ⋅ sin(i_2), où i est l'angle entre le vecteur d'onde k⃗ et la normale à l'interface. On s'intéresse à un faisceau lumineux interceptant perpendiculairement la surface du cristal. Le milieu n^∘1 est donc de l'air, isotrope et d'indice n_1 = 1, alors que le milieu n^∘2 est CdGeAs_2, donc anisotrope ; deux ondes sont susceptibles de s'y propager, chacune avec son indice propre. L'onde ordinaire se comporte comme s'il s'agissait d'un milieu isotrope : elle continue à se propager en ligne droite, alors que l'onde extraordinaire avance «en crabe», comme le montre la Figure 4 ci-dessous, sur laquelle l'angle ρ a été nettement exagéré pour une meilleure lisibilité.

Question I-19 :
En justifiant la démarche adoptée, compléter la reproduction de la Figure 4 disponible sur le document-réponse ci-joint (à rendre avec la copie), en représentant la direction des faisceaux lumineux (matérialisés par les vecteurs de Poynting correspondants) à la sortie du cristal (id est dans l'air, après la traversée de la face de sortie).

Question I-20 :
En supposant que les faisceaux ont tous la même dimension transverse ^(13)W, déterminer la longueur L_(sép) de cristal qui occasionne une séparation totale des deux faisceaux se propageant dans le matériau, en fonction de ρ et W. Faire l'application numérique pour ρ = 1.275^∘ et pour W = 100μ m, ce qui correspond aux conditions expérimentales.

Cette séparation des faisceaux peut devenir un «frein» à la réalisation d'interactions optiques non linéaires efficaces. Il conviendra donc de choisir des situations pour lesquelles l'angle de double réfraction est le plus faible possible, voire nul, sous peine de ne pourvoir utiliser efficacement qu'une faible longueur de cristal.

Les interactions optiques non linéaires de conversion de fréquences les plus efficaces impliquent le plus souvent 3 ondes. Dans le cas simple qui nous intéresse, à savoir le doublage de fréquence (ou génération de second harmonique), deux ondes incidentes de même pulsation ω et de vecteurs d'onde respectifs k_1^(→−) et k_2^(→−) interagissent dans le cristal non linéaire en induisant une polarisation non linéaire P_(NL)^(→−) à la pulsation double 2ω, qui rayonne à son tour une onde de pulsation 2ω et de vecteur d'onde k_3^(→−). Il y a donc trois champs électriques, E_1^(→−)(ω), E_2^(→−)(ω) et E_3^(→−)(2ω), qui se propagent simultanément dans le cristal, ce qui peut être représenté par le schéma donné sur la Figure 5.

Notons que le milieu étant à la fois non linéaire et anisotrope, les deux ondes incidentes, bien qu'ayant la même pulsation, peuvent avoir des directions de polarisation différentes, donc des vecteurs d'onde et des indices optiques différents; elles doivent de ce fait être distinguées par les notations 1 et 2.

Les champs présents sont toujours choisis sous la forme d'ondes planes, progressives et monochromatiques ; leur direction de propagation commune reste alignée avec l'axe ( OZ ), mais leurs amplitudes complexes dépendent désormais de la variable d'espace Z. Leurs expressions respectives sont donc :
E_1^(→−)(ω) = E_–_1(Z) ⋅ e^(j(ωt − k_1 Z)) ⋅ e_1^(→−); E_2^(→−)(ω) = E_–_2(Z) ⋅ e^(j(ωt − k_2 Z)) ⋅ e_2^(→−); E_3^(→−)(2ω) = E_–_3(Z) ⋅ e^(j(2ωt − k_3 Z)) ⋅ e_3^(→−).
Ces trois champs induisent chacun une polarisation d'origine linéaire:
P_1^(→−)(ω) = ε_0 ⋅ χ_1 ⋅ E_1^(→−)(ω); P_2^(→−)(ω) = ε_0 ⋅ χ_2 ⋅ E_2^(→−)(ω); P_3^(→−)(2ω) = ε_0 ⋅ χ_3 ⋅ E_3^(→−)(2ω).

La non-linéarité occasionne une polarisation supplémentaire P_(NL)^(→−)(2ω) à la pulsation 2ω dont seule la projection sur e_3^(→−) nous intéresse. Cette composante projetée s'écrit:
P_(NL)^(→−)(2ω) ⋅ e_3^(→−) = ε_0 ⋅ χ_(eff)^((2)) ⋅ (E_–_1(Z) ⋅ e^(j(ωt − k_1 Z))) ⋅ (E_–_2(Z) ⋅ e^(j(ωt − k_2 Z))),
où χ_(eff)^((2)) est appelé coefficient effectif non linéaire d'ordre 2, et s'exprime en m ⋅ V^(− 1).

Notons que ce coefficient effectif χ_(eff)^((2)) dépend de la direction de propagation, repérée par θ, et des directions de polarisation des deux ondes incidentes, repérées par e_1^(→−) et e_2^(→−). Notons également que les susceptibilités électriques linéaires χ_1, χ_2 et χ_3 sont a priori matricielles: chacune d'entre elles est donc associée à une valeur «ordinaire», indicée o, et à une valeur «extraordinaire», indicée e.

Exprimer la polarisation totale à la pulsation 2ω, P⃗(2ω), puis établir l'équation différentielle vérifiée par le champ de second harmonique E_3^(→−)(2ω), et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :

Nous avons donc une équation de D'Alembert, où la non-linéarité apparaît comme un terme source qui sera traité comme une perturbation, les termes principaux restant ceux issus de l'optique linéaire.

En projetant l'équation d'onde obtenue sur la direction de polarisation de l'onde de second harmonique, et en utilisant le fait que e_3^(→−) est indépendant du temps, nous obtenons donc :

Les amplitudes complexes étant désormais fonction de Z, nous ne pouvons plus utiliser les opérateurs simplifiés : notamment, l'opérateur rot^(→−)(E⃗) n'est plus équivalent à − jk⃗ ∧ E⃗. Les ondes restent cependant planes, c'est-à-dire que leurs amplitudes complexes ne dépendent ni de X ni de Y.

De plus, nous supposerons que l'onde générée à la pulsation de second harmonique est ordinaire : nous avons donc div(E_3^(→−)(2ω)) = 0, ce qui revient à dire que le champ E_3^(→−)(2ω) est transverse. La validité de cette hypothèse sera établie par la suite.

Pour pourvoir continuer sans que les calculs ne deviennent trop fastidieux, il convient ici de faire une approximation, dite de «l'enveloppe lentement variable»: l'amplitude complexe, même si elle dépend de Z, est supposée varier lentement. En particulier, sur une période spatiale, la variation du module de l'amplitude pourra être négligée, ce qui se traduit mathématiquement par :

En limitant les calculs au premier ordre de perturbation, montrer que le terme rot^(→−)(rot^(→−)(E_3^(→−)(2ω))) se met sous la forme d'un terme principal, (k_3)^2 ⋅ E_3^(→−)(2ω), qui est celui obtenu dans le cadre de l'optique linéaire, et d'un terme de perturbation à déterminer.

L'effet de la non-linéarité étant traité comme une perturbation de l'optique linéaire cristalline, les résultats établis en première partie sont toujours valables en première approximation, ce qui revient à conserver la relation (k_3)^2 = ε_(r3) ⋅ ((2ω)^2)/(c^2) pour chacune des ondes, ordinaire et extraordinaire, et donc la définition des indices associés : n_3 = (k_3 ⋅ c)/((2ω)).

Montrer alors que pour vérifier l'équation d'onde, le terme de perturbation déterminé à la question II-3 doit être compensé par le terme source non linéaire, ce qui s'écrit 2 ⋅ j ⋅ k_3 ⋅ (∂(E_–_3(Z)))/(∂Z) ⋅ e^(j(2ωt − k_3 Z)) = − μ_0 ⋅ (∂^2(P_(NL)^(→−)(2ω) ⋅ e_3^(→−)))/(∂t^2).

En utilisant l'expression de P_(NL)^(→−)(2ω) ⋅ e_3^(→−) donnée dans l'énoncé, établir l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude complexe E_–_3(Z), et la mettre sous la forme suivante : (∂E_–_3(Z))/(∂Z) = − (j ⋅ ω)/(c ⋅ n_3) ⋅ χ_(eff)^((2)) ⋅ E_–_1(Z) ⋅ E_–_2(Z) ⋅ e^(+ j ⋅ Δk ⋅ Z), où Δk est un paramètre à déterminer.