Sujet X ENS Mathématiques PSI 2009

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Présentation du sujet

X ENS Mathématiques PSI 2009

Champ numérique et rayon numérique d'une matrice complexe, comparés au spectre et au rayon spectral

Le problème étudie l'ensemble V(A) des quotients x*Ax/x*x associés à une matrice complexe A, appelé champ numérique, et le rayon numérique r(A) qui lui est associé. Il compare ces notions au spectre et au rayon spectral d'une matrice, en s'appuyant sur la réduction des matrices hermitiennes, puis établit un encadrement du champ numérique à l'aide de disques de Gershgorin généralisés et de convexité. La dernière partie montre que le rayon numérique, à une constante près, définit une norme matricielle.

1PréambuleIntroduire les notations sur les matrices complexes, le produit scalaire hermitien, les matrices hermitiennes, anti-hermitiennes et unitaires, et admettre un théorème de réduction de ces matrices.
2Première partieMontrer que le spectre d'une somme de matrices ne se déduit pas simplement des spectres de chaque matrice, puis établir le principe min-max donnant les valeurs propres d'une matrice hermitienne et un encadrement des valeurs propres d'une somme de matrices hermitiennes.
3Deuxième partieÉtudier les propriétés du champ numérique V(A) d'une matrice : lien avec le spectre, comportement par changement de base unitaire, compacité, et caractérisation des matrices nilpotentes ou nulles par leur champ numérique.
4Troisième partieÉtablir des disques de Gershgorin généralisés contenant le spectre puis le champ numérique d'une matrice, à l'aide de propriétés de convexité des parties du plan complexe.
5Quatrième partieDéfinir le rayon spectral et le rayon numérique d'une matrice, les comparer aux normes matricielles subordonnées usuelles, et montrer qu'une constante multiple du rayon numérique définit une norme matricielle.

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths banque X-ENS PSI 2009 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire dans les espaces complexes : matrices hermitiennes et unitaires, réduction spectrale, convexité dans le plan complexe et normes matricielles subordonnées.

Qu'est-ce que le champ numérique d'une matrice étudié dans ce sujet ?

C'est l'ensemble V(A) des nombres complexes de la forme x*Ax/x*x pour x parcourant les vecteurs non nuls de C^n. Le sujet étudie ses propriétés et le compare au spectre de la matrice.

Quel résultat de cours faut-il admettre pour traiter ce sujet ?

Le sujet fournit et fait admettre un théorème de réduction affirmant qu'une matrice hermitienne est diagonalisable par une matrice unitaire avec des valeurs propres réelles, et une matrice anti-hermitienne avec des valeurs propres imaginaires pures.

Les parties de ce sujet X-ENS PSI 2009 s'enchaînent-elles ?

Oui, chaque partie s'appuie sur les résultats des parties précédentes : la deuxième partie réutilise le principe min-max de la première, la troisième s'appuie sur les propriétés du champ numérique, et la quatrième combine l'ensemble des résultats pour étudier le rayon numérique comme norme matricielle.

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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI
Session 2009

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire

n^\circ99018

1^(er)

février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Dans tout le texte

M_(n, m)(C)

désigne l'ensemble des matrices à

n

lignes,

m

colonnes et à coefficients complexes; on notera

I_n

la matrice identité de

M_n(C) = M_(n, n)(C)

. Pour

A \in M_n(C)

, le spectre

Sp(A)

A

est le sous-ensemble de

C

constitué des valeurs propres de

A

. Si

A = [a_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ m) \in M_(n, m)(C)

, on notera

A^* = ^t A¯ = [a_(j, i)^-]_(1 ⩽ j ⩽ m; 1 ⩽ i ⩽ n) \in M_(m, n)(C)

le conjugué de la transposée de

A

. On identifiera les vecteurs de

C^n

avec les éléments de

M_(n, 1)(C)

. On utilisera la notation

diag(λ_1, \dots, λ_n)

pour désigner la matrice diagonale de

M_n(C)

dont les coefficients diagonaux sont les

λ_i

L'espace vectoriel

C^n

est muni du produit scalaire hermitien,

(x, y) \in C^n \times C^n \mapsto ⟨x|y⟩ = x^* y \in C

et pour tout sous-espace vectoriel

F

C^n

, on note

F^⊥

l'orthogonal de

F

dont on rappelle qu'il est de dimension

dimF^⊥ = n - dimF.

Étant donnés des vecteurs

v_1, \dots, v_k

C^n

, le sous-espace vectoriel de

C^n

qu'ils engendrent sera noté

Vect(v_1, \dots, v_k)

. Dans le problème nous aurons besoin du vocabulaire suivant :

A \in M_n(C)

est dite

hermitienne si $A^* = A$ ;
anti-hermitienne si $A^* = - A$ ;
unitaire si $AA^* = I_n$ .

Aucune connaissance spécifique sur ces matrices n'est requise à l'exception du théorème de réduction suivant que l'on admet; quand son invocation sera nécessaire pour répondre à la question posée, nous le signalerons systématiquement dans le texte.

Théorème T .

Soit $H \in M_n(C)$ une matrice hermitienne. Il existe une matrice unitaire $U$ telle que $U^* HU$ est diagonale réelle.
Soit $H \in M_n(C)$ une matrice anti-hermitienne. Il existe une matrice unitaire $U$ telle que $U^* HU$ est diagonale imaginaire pure.
Pour $X$ et $Y$ des parties de $C, X + Y$ désigne la partie de $C$ dont les éléments sont ceux qui peuvent s'écrire sous la forme $x + y$ avec $x \in X$ et $y \in Y$ :

X + Y = {x + y \in C/x \in X et y \in Y}.

De même

XY = {xy \in C/x \in X

y \in Y}

. On notera enfin

P = {z \in C/Re(z) > 0},

où

Re(z)

(resp.

Im(z)

) désigne la partie réelle (resp. imaginaire) du nombre complexe

z

Première partie

Pour tout nombre réel $α$ , on définit les matrices

A(α) = (1 - α, 1; α(1 - α) - 1, α) et B(α) = (1 + α, 1; - α(1 + α) - 1, - α).

Calculez

Sp(A(α)), Sp(B(α))

Sp(A(α) + B(α))

.
2) En vous aidant des matrices

A(α)

B(α)

, justifiez le fait que l'on ne peut pas en général, borner

Sp(A + B)

en fonction seulement de

Sp(A)

Sp(B)

.
3) Soit

A \in M_n(C)

hermitienne; d'après le théorème

T, A

est diagonalisable dans une base orthonormée

(v_1, \dots, v_n)

de vecteurs de

C^n

. Pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on note

λ_i

la valeur propre associée à

v_i

et on suppose que celles-ci sont ordonnées par ordre croissant, c'est à dire

λ_1 ⩽ λ_2 ⩽ \dots ⩽ λ_n

Pour

k \in {1, \dots, n}

, on note

E_k

l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension

k

C^n

3-a) Montrez que pour tout

F \in E_k

, la dimension de

F \cap Vect(v_k, v_(k + 1), \dots, v_n)

est supérieure ou égale à 1 .
3-b) Pour

F \in E_k

, montrez qu'il existe un vecteur non nul

x \in F

tel que

(x^* Ax)/(x^* x) ⩾ λ_k

.
3-c) Donnez un sous-espace vectoriel

F

appartenant à

E_k

tel que

max_(x ∈ F∖{0})(x^∗ Ax)/(x^∗ x) = λ_k

.
3 -d) Déduisez de ce qui précède que pour tout

1 ⩽ k ⩽ n

, on a

λ_k = min_(F ∈ E_k)max_(x ∈ F∖{0})(x^∗ Ax)/(x^∗ x)

3-e) Soient

A, B

des matrices hermitiennes de valeurs propres respectives

λ_1(A) ⩽ \dots ⩽ λ_n(A), λ_1(B) ⩽ \dots ⩽ λ_n(B).

On classe de même les valeurs propres

λ_1(A + B) ⩽ \dots ⩽ λ_n(A + B)

A + B

. Montrez que, pour tout

k \in {1, \dots, n}

, on a

λ_k(A) + λ_1(B) ⩽ λ_k(A + B) ⩽ λ_k(A) + λ_n(B)

Deuxième partie

Pour $A \in M_n(C)$ , on note $V(A)$ le sous-ensemble de $C$ défini par

V(A) = {(x^∗ Ax)/(x^∗ x) ∈ C/x ∈ C^n∖{0}}

4-a) Pour

A = [a_(i, j)]_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(C)

, montrez que pour tout

i \in {1, \dots, n}

a_(i, i) \in V(A)

.
4-b) On note

H(A) = (A + A^*)/2

. Montrez que

V(H(A)) = Re(V(A))

.
4-c) Montrez que pour

A, B \in M_n(C)

, on a

V(A + B) \subset V(A) + V(B)

.
4-d) Montrez que pour

A \in M_n(C)

, on a

Sp(A) \subset V(A)

.
4-e) Montrez que pour

A, B \in M_n(C)

, on a

Sp(A + B) \subset V(A) + V(B)

.
4-f) Montrez que pour

λ_1 ⩽ λ_2 ⩽ \dots ⩽ λ_n

des nombres réels,

V(diag(λ_1, \dots, λ_n)) = [λ_1, λ_n]

4-g) Montrez que si

U

est unitaire alors

V(U^* AU) = V(A)

.
4-h) En utilisant le théorème

T

, déterminez

V(A)

dans le cas où

A

est une matrice hermitienne.
4-i) Montrez que pour

A \in M_n(C), V(A)

est une partie compacte de

C

.
5) On rappelle qu'une matrice

A \in M_n(C)

est dite nilpotente s'il existe

m \in ℕ

tel que

A^m

est la matrice nulle.
5-a) Montrez, en utilisant par exemple le théorème de Cayley-Hamilton, que

A \in M_n(C)

est nilpotente si et seulement si

Sp(A) = {0}

.
5-b) Soit

A \in M_n(C)

telle que

V(A) = {0}

.
i) Montrez que

A

est nilpotente.
ii) Montrez que

KerA = (ImA)^⊥

.
iii) Déduisez des questions précédentes que

A

est la matrice nulle.

Troisième partie

Soit $A = [a_(i, j)] \in M_n(C)$ . Pour $i \in {1, \dots, n}$ , on note

L_i(A) = \sum_(j = 1; j \neq i)^n|a_(i, j)|, C_i(A) = \sum_(j = 1; j \neq i)^n|a_(j, i)|

6-a) On suppose que pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on a

|a_(i, i)| > L_i(A)

. Montrez que

A

est inversible.
6-b) Déduisez de la question précédente que

Sp(A) \subset G(A) \cap G(^t A)

où

G(A) = ⋃_(i = 1)^n{z ∈ C/|z − a_(i, i)| ⩽ L_i(A)}

Un sous-ensemble $X$ de $C$ est dit convexe s'il vérifie la propriété suivante :

\forall(x_1, x_2) \in X \times X, \forallt \in [0, 1], tx_1 + (1 - t)x_2 \in X.

7-a) Montrez que l'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de

C

est un sous-ensemble convexe de

C

.
7-b) Montrez que pour toute partie

X

C

, il existe un plus petit ensemble convexe contenant

X

: on le note

Conv(X)

et on l'appelle l'enveloppe convexe de

X

7-c) Montrez que

Conv(X)

est égal à l'ensemble :

{∑_(i = 1)^n t_i x_i/n ⩾ 1, {x_1, ⋯, x_n} ⊂ X, ∀i ∈ {1, ⋯, n}, t_i ⩾ 0 et ∑_(i = 1)^n t_i = 1}.

7-d) Soit

K

un convexe fermé de

C

qui ne contient pas 0 . Montrez qu'il existe un unique

z_0 \in K

tel que

|z_0| = min_(z \in K)|z|

.
7-e) Construisez une droite du plan complexe d'équation

f(z) = 0

de la forme

f(z) = aRe(z) + bIm(z) + c

où

(a, b, c) \in R^3

et telle que

c < 0

f(z) > 0

pour tout

z \in K

.
7-f) Montrez qu'un convexe fermé

K

C

ne contient pas 0 si et seulement s'il existe un réel

θ

tel que

e^(iθ)K

soit contenu dans

P

.
8) Pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on pose

E_i(A) = (L_i(A) + C_i(A))/2

ainsi que

G_V(A) = Conv(⋃_(i = 1)^n{z ∈ C tel que |z − a_(i, i)| ⩽ E_i(A)});

dont on admet qu'il est fermé.
8-a) Montrez que

0 \notin Gν(A)

, si et seulement s'il existe un réel

θ

tel que

G_V(e^(iθ)A) \subset P

.
8-b) Montrez que

G_V(A) \subset P

si et seulement si pour tout

i \in {1, \dots, n}

, on a

Re(a_(i, i)) > E_i(A)

.
8-c) On suppose que

G_V(A) \subset P

et on rappelle que

H(A)

désigne la matrice hermitienne

(A + A^*)/2

. En remarquant que

L_i(H(A)) ⩽ E_i(A)

, montrez que

Sp(H(A)) \subset P

et déduisez-en que

V(A) \subset P

.
8-d) Montrez que

0 \notin G_V(A)

implique

0 \notin V(A)

.
8-e) Déduisez de ce qui précède que

V(A) \subset G_V(A)

Quatrième partie

Le rayon spectral d'une matrice

A \in M_n(C)

est défini par

ρ(A) = max{|z| tel que z \in Sp(A)}.

D'après la compacité de

V(A)

prouvée à la question 4-i), on définit le rayon numérique de

A

par

r(A) = max{|z| tel que z \in V(A)}.

Étant donnée une norme

‖ \cdot ‖

sur

C^n

, la norme

‖‖ \cdot ‖

sur

M_n(C)

subordonnée à

‖ \cdot ‖

sur

C^n

est définie par la formule suivante:

‖A‖‖ = sup_(x \in C^n, ‖x‖ = 1)‖Ax‖.

Pour

x \in C^n

i \in {1, \dots, n}

, on notera

x_i

i

-ème coordonnée.
9) Une norme matricielle

‖‖ \cdot ‖|

sur

M_n(C)

est par définition une norme telle que pour tous

A, B \in M_n(C)

, on a

|||AB||| ⩽ ‖|A|‖.‖|B|‖

.
9-a) Montrez qu'une norme subordonnée est une norme matricielle.
9-b) On note

‖‖ \cdot ‖‖_2

la norme subordonnée à la norme

‖ \cdot ‖_2

définie par

‖x‖_2 = (\sum_(i = 1)^n|x_i|^2)^(1/2)

. En utilisant le théorème

T

, montrez que pour tout

A \in M_n(C), ‖A‖_2

est égale à la racine carrée positive de la plus grande des valeurs propres de

A^* A

.
9-c) On admet que les normes

||| \cdot ||_1

||| \cdot ||_\infty

subordonnées respectivement aux normes

‖x‖_1 = \sum_(i = 1)^n|x_i|

‖x‖_\infty = max_(i = 1, \dots, n)|x_i|

sont données par les formules

|‖A|‖_1 = max_(1 ⩽ j ⩽ n)\sum_(i = 1)^n|a_(i, j)|, ‖|A|‖_\infty = max_(1 ⩽ i ⩽ n)\sum_(j = 1)^n|a_(i, j)|.

i) Montrez que pour tout

A \in M_n(C), ρ(A) ⩽ r(A)

.
ii) Montrez, en utilisant 8-e), que pour tout

A \in M_n(C)

r(A) ⩽ max_(1 ⩽ i ⩽ n)1/2\sum_(j = 1)^n(|a_(i, j)| + |a_(j, i)|).

iii) Déduisez des questions précédentes que

ρ(A) ⩽ r(A) ⩽ (‖A‖‖_1 + ‖A|‖_\infty)/2

.
10) On note désormais

r : M_n(C) \to R_+

la fonction qui à

A

associe

r(A)

10-a) Montrez que

r

est une norme sur l'espace vectoriel

M_n(C)

.
10-b) Soient

A = (0, 2; 0, 0)

B = (0, 0; 2, 0)

. Calculez

V(A), V(B), V(A)V(B)

V(AB)

. La norme définie par

r

est-elle matricielle?
10-c) Montrez que pour tout

A \in M_n(C)

, on a

r(A) ⩽ ‖‖A‖‖_2

; en utilisant le théorème

T

montrez que l'on a égalité si

A

est hermitienne ou antihermitienne.
10-d) En écrivant

A = (A + A^*)/2 + (A - A^*)/2

montrez que

‖|A|‖_2 ⩽ 2r(A)

.
10-e) Déduisez de ce qui précède que

4r

est une norme matricielle sur

M_n(C)

.
10-f) Montrez que pour

c

réel strictement positif,

cr

est une norme matricielle sur

M_n(C)

si et seulement si

c ⩾ 4

FIN DE L'ÉPREUVE

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