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Sujet X ENS Mathématiques PSI 2008

Indice de rotation d'une courbe simple

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X ENS Mathématiques PSI 2008

Indice de rotation d'une courbe simple et théorème de Whitney-Graustein (degré d'une application à valeurs dans le cercle)

Le problème construit la théorie du relèvement et du degré d'une application continue périodique à valeurs dans le cercle unité, pour l'appliquer à l'indice de rotation d'une courbe plane fermée simple. Les parties I et II établissent l'existence du relèvement et les propriétés du degré. La partie III introduit l'homotopie et montre que deux applications sont homotopes ssi elles ont même degré. La partie IV démontre que l'indice de rotation d'une courbe simple régulière vaut toujours 1 ou -1.

  1. 1Partie I : relèvement d'une application à valeurs dans UExistence et construction d'un relèvement continu f tel que u = e^(if) pour une application T-périodique continue à valeurs dans le cercle unité U, et unicité à un multiple de 2π près.
  2. 2Partie II : degré d'une application et propriétésDéfinition du degré d_T(u) comme entier indépendant du relèvement choisi, propriétés d'additivité, de stabilité par petite perturbation, formule intégrale et expression du degré à l'aide des coefficients de Fourier.
  3. 3Partie III : homotopie et classification par le degréDéfinition de l'homotopie entre deux applications à valeurs dans U, démonstration que deux applications sont homotopes si et seulement si elles ont le même degré.
  4. 4Partie IV : indice de rotation d'une courbe simpleDéfinition de l'indice de rotation d'une courbe plane régulière comme le degré de son application tangente, et démonstration, pour une courbe fermée simple, que cet indice vaut nécessairement 1 ou -1.

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques X-ENS PSI 2008 ?

Le sujet porte sur l'analyse (fonctions continues et dérivables, séries de Fourier, courbes paramétrées) pour construire la notion de degré d'une application à valeurs dans le cercle, et l'appliquer à l'indice de rotation d'une courbe plane.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, les parties s'enchaînent : la partie I construit le relèvement utilisé pour définir le degré en partie II, réutilisé pour l'homotopie en partie III, puis appliqué à l'indice de rotation des courbes en partie IV.

Quel est le résultat final démontré dans ce problème ?

La partie IV démontre que l'indice de rotation d'une courbe plane fermée, simple et régulière (courbe de Jordan lisse) vaut toujours 1 ou -1, un résultat classique parfois appelé théorème de Hopf sur la rotation totale.

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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI

Session 2008

Épreuve de MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé
L'usage de toute calculatrice est interdit

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être un erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Indice de rotation d'une courbe simple.

Dans tout ce problème, T désigne un réel strictement positif.

1 Première partie

On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1 . On note F_T l'ensemble des applications T-périodiques et continues de R à valeurs dans U et F_T^1 l'ensemble des applications T-périodiques de classe C^1 de R à valeurs dans U. On appelle relèvement de u ∈ F_T une fonction continue f : R → R telle que u = e^(if).
  1. Montrez que si u ∈ F_T^1, et si f est un relèvement de u que l'on suppose de plus dérivable, alors f^′ = − iu¯u^′.
    Montrez que, réciproquement, tout u ∈ F_T^1 admet un relèvement f qui est de classe C^1 et qui est une primitive de − iu¯u^′.
  2. Montrez que si f est un relèvement de u et g est un relèvement de v, alors f + g est un relèvement de uv.
  3. Montrez que si z ∈ U est de partie réelle positive, alors z = e^(iArcsiny), où y est la partie imaginaire de z, puis que si u ∈ F_T vérifie ‖u − 1‖_∞ ≤ √2, alors u admet un relèvement f à valeurs dans [ − π/2, π/2].
  4. Montrez que pour tout u ∈ F_T, il existe w ∈ F_T^1 tel que ‖u − w‖_∞ ≤ √2/2. Montrez que w ne s'annule pas et que v = w/|w| vérifie ‖v − w‖_∞ ≤ √2/2 et ‖u/v − 1‖_∞ ≤ √2. Déduisez-en que tout u ∈ F_T admet un relèvement.
  5. Montrez que si f et g sont deux relèvements d'un même u ∈ F_T, alors f − g est une fonction constante, égale à un multiple entier de 2π. Déduisez-en que si u ∈ F_T^1 et si f est un relèvement de u, alors f est de classe C^1.

2 Deuxième partie

  1. Soit u ∈ F_T, soit f un relèvement de u et soit a un réel. On pose
d_T(u) = 1/(2π)(f(a + T) − f(a))
et on appelle ce nombre le degré de u. Montrez que d_T(u) est un entier et ne dépend ni du choix du relèvement f, ni de a.
7. Soient u ∈ F_T et k ∈ N tels que |d_T(u)| ≥ k. Montrez que pour tout z_0 ∈ U et tout réel a l'équation u(t) = z_0 admet au moins k solutions distinctes dans l'intervalle [a, a + T[.
8. Que vaut d_T(u) si u n'est pas surjective ?
9. Montrez que pour tous u, v ∈ F_T on a d_T(uv) = d_T(u) + d_T(v) et d_T(u/v) = d_T(u) − d_T(v).
10. Montrez que si u, v ∈ F_T et si ‖u − v‖_∞ < 2, alors d_T(u/v) = 0, puis que d_T(u) = d_T(v).
11. Montrez que si u ∈ F_T est de classe C^1 par morceaux alors pour tout réel a on a
d_T(u) = − 1/(2π)∫_a^(a + T)iu^′(t)u¯(t)dt
  1. Montrez que si u ∈ F_(2π) est de classe C^1 par morceaux alors
d_(2π)(u) = ∑_(n ∈ Z)n|c_n|^2
où (c_n)_(n ∈ Z) désignent les coefficients de Fourier de u.
13. Soit u ∈ F_T^1 et soit f un relèvement de u. Soit z ∈ U et
F = {t ∈ [a, a + T[|u(t) = z}.
Montrez que si F est fini et si pour tout t ∈ F on a f^′(t) ≠ 0, alors d_T(u) = p − q, où p = Card{t ∈ F|f^′(t) > 0} et q = Card{t ∈ F|f^′(t) < 0}.

3 Troisième partie

On appelle homotopie entre u ∈ F_T et v ∈ F_T une application continue
φ : [0, 1] × R, → U; (λ, t), ↦ φ_λ(t)
telle que, φ_0 = u, φ_1 = v, et
(i) ∀s ∈ [0, 1], φ_λ ∈ F_T,
(ii) ∀λ_0 ∈ [0, 1], lim_(λ → λ_0)‖φ_λ − φ_(λ_0)‖_∞ = 0.
S'il existe une homotopie entre u et v, on dit que u est homotope à v.
14. Montrez que si φ satisfait la condition (i) ci-dessus et est lipschitzienne sur [0, 1] × [a, a + T], où a est un réel arbitraire, alors la condition (ii) est vérifiée.
15. Montrez que si φ est une homotopie entre u ∈ F_T et v ∈ F_T, alors d_T(u) = d_T(v).
16. Montrez que pour tout nombre complexe z tel que |z| < 1, l'application M_z définie pour t ∈ R par
M_z(t) = (z − e^(it))/(1 − z¯e^(it))
appartient à F_(2π), puis que d_(2π)(M_z) = 1. (Indication: on pourra considérer les applications M_(λz), où λ parcourt l'intervalle [0, 1].)
17. Montrez que si u ∈ F_T et d_T(u) = 0, alors u est homotope à l'application constante égale à 1 .
18. Montrez que u, v ∈ F_T sont homotopes si et seulement si d_T(u) = d_T(v).

4 Quatrième partie

On note A_T l'ensemble des arcs paramétrés de classe C^2 et T-périodiques de R dans R^2 identifié à C, réguliers à l'ordre 1 en chaque point, c'est-àdire dont la dérivée ne s'annule pas. On dira que Γ ∈ A_T est simple si la restriction de Γ à [0, T[ est injective.
Si Γ ∈ A_T, on appellera application tangente de Γ l'application T⃗_Γ ∈ F_T définie par
T⃗_Γ(t) = (Γ^′(t))/(|Γ^′(t)|)
pour t ∈ R. On appellera indice de Γ ∈ A_T l'entier
i_T(Γ) = d_T(T⃗_Γ)
  1. Déterminez i_(2π)(Γ_n), où n ∈ Z et Γ_n(t) = e^(int).
  2. On pose Γ(t) = cost + isin(2t), et on désigne par T⃗_Γ son application tangente. Montrez que pour tout réel t on a T⃗_Γ(t) ≠ i, puis que i_(2π)(Γ) = 0. 21. Montrez que si Γ ∈ A_T est paramétrée par l'abcisse curviligne, alors 2πi_T(Γ) est l'intégrale de la courbure de Γ entre 0 et T.
On suppose à présent que Γ ∈ A_T et que de plus Γ est simple. Pour tous (x, y) ∈ R^2 tels que (x − y)/T ∉ Z, on pose
S_Γ(x, y) = (Γ(x) − Γ(y))/(sin(π/T(x − y)))
et pour tout y ∈ R et tout k ∈ Z on pose
S_Γ(y + kT, y) = (− 1)^k T/πΓ^′(y)
  1. Montrez que l'application S_Γ est bien définie sur R^2, ne s'annule pas, et que pour tous x, y ∈ R on a S_Γ(x + T, y) = S_Γ(x, y + T) = − S_Γ(x, y) et S_Γ(x, y) = S_Γ(y, x).
  2. Soit U = {(x, y) ∈ R^2||x − y|<T}. Montrez que la fonction F définie pour (x, y) ∈ U, x ≠ y par F(x, y) = (x − y)/(sin(π/T(x − y))) se prolonge par continuité sur U en une fonction de classe C^1.
  3. En écrivant Γ(x) − Γ(y) comme un reste intégral, montrez que la fonction définie pour (x, y) ∈ R^2, x ≠ y par G(x, y) = (Γ(x) − Γ(y))/(x − y) se prolonge par continuité en une fonction de classe C^1 sur R^2.
  4. Montrez que S_Γ est de classe C^1 sur l'ouvert U défini à la question 23 , puis sur R^2. Montrez que S_Γ est lipschitzienne sur R^2.
  5. Montrez qu'il existe un réel a tel que Re(Γ(a)) = min_(t ∈ R)Re(Γ(t)), et que pour un tel a le nombre complexe S_Γ(a, a) est imaginaire pur. On supposera dans la suite de cette partie que a = 0 convient.
    27 . Soit P_0 : [0, T] → R^2 l'application définie par
P_0(t) = (max(0, 2t − T), min(T, 2t))
Soit u_0 l'application T-périodique de R dans U dont la restriction à [0, T[ est (S_Γ ∘ P_0)/(|S_Γ ∘ P_0|).
Montrez que u_0(T) = (S_Γ ∘ P_0(T))/(|S_Γ ∘ P_0(T)|) et que u_0 ∈ F_T.
28. Montrez u_0(0) ∈ { − i, i}, que la partie réelle de u_0 est positive sur [0, T/2] et que pour tout t ∈ [0, T/2] on a u_0(t + T/2) = − u_0(t).
29 . Déduisez de ce qui précède que la fonction f : [0, T] → R définie par
f(t) = {Arcsin(Im(u_0(t)), si t ∈ [0, T/2[; 2Arcsin(Im(u_0(T/2)) − Arcsin(Im(u_0(t)), si t ∈ [T/2, T]
est un relèvement de u_0 sur l'intervalle [0, T]. Montrez que f(T) − f(0) = 2f(T/2) − 2f(0), puis que d_T(u_0) ∈ { − 1, + 1}.
30. Pour tout t ∈ [0, T] on pose P_1(t) = (t, t), et pour tout λ ∈ [0, 1] on pose P_λ = λP_1 + (1 − λ)P_0. Montrez que l'application X(λ, t) = P_λ(t) est lipschitzienne sur [0, 1] × [0, T].
Soit φ_λ l'application T-périodique de R dans U dont la restriction à [0, T[ est (S_Γ ∘ P_λ)/(|S_Γ ∘ P_λ|). Montrez que φ_λ définit une homotopie entre u_0 et l'application tangente de Γ, et que i_T(Γ) ∈ { − 1, + 1}.

Fin de l'épreuve

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