Sujet E3A Mathématiques PSI 2020

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai:

14h - 18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Exercice 1.

Pour tout entier naturel

n

, on définit sur l'intervalle

J = [1, + \infty[

la fonction

f_n

par :

f_n(x) = ((- 1)^n)/(\sqrt(1 + nx))

Démontrer que la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 0)f_n$ converge simplement sur $J$ .

On note alors pour tout

x

J, φ(x)

sa somme.
2. Montrer que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur

J

.
3. Étudier alors sa convergence uniforme sur

J

.
4. Déterminer

ℓ = lim_(x \to + \infty)\sum_(n = 0)^(+ \infty)f_n(x)

.
5. Pour

n \in ℕ^⋆

, on pose

u_n = ((- 1)^n)/(\sqrtn)

.
5.1. Justifier la convergence de la série de terme général

u_n

. On note

a = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n

sa somme.
5.2. Montrer que l'on a au voisinage de l'infini :

φ(x) = ℓ + a/(\sqrtx) + O(1/(x^(3/2)))

Exercice 2.

Soient

n \in ℕ^*

A = (a_(ij)) \in ℳ_n(ℝ)

. On dit que la matrice

A

est à diagonale propre lorsque son polynôme caractéristique est

χ_A = \prod_(i = 1)^n(X - a_(ii))

Donner deux exemples de matrices à diagonale propre qui ne sont pas diagonales.
Soient $α$ et $β$ deux réels et $M = (0, 0, α; 0, 0, β; α, β, 0) \in ℳ_3(ℝ)$ .

Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels

α

β

pour que

M

soit une matrice à diagonale propre.
3. Soient

X_1, X_2

X_3

des variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

et qui suivent toutes les trois la loi géométrique de paramètre

1/3

.
3.1. Préciser

X_1(Ω)

. Donner la loi de la variable aléatoire

X_1

et donner sans démonstration les valeurs de son espérance et de sa variance.
3.2. Exprimer l'évènement [

X_1 = X_2

] sous forme d'une réunion dénombrable d'évènements incompatibles.
3.3. Pour tout

ω \in Ω

, on pose :

B(ω) = (0, 0, X_1(ω) - X_2(ω); 0, 0, X_2(ω) - X_3(ω); X_1(ω) - X_2(ω), X_2(ω) - X_3(ω), 0)

On notera ainsi

B = (0, 0, X_1 - X_2; 0, 0, X_2 - X_3; X_1 - X_2, X_2 - X_3, 0)

la fonction qui, à tout

ω

Ω

, associe

B(ω)

.
Déterminer la probabilité pour que

B

soit une matrice à diagonale propre.
4. Soit

A = (a_(ij)) \in ℳ_n(ℝ)

. On rappelle que

A^T

désigne la matrice transposée de la matrice

A

.
4.1. Calculer

tr(A^T A)

en fonction des coefficients de la matrice

A

où

tr(M)

désigne la trace de la matrice

M

.
4.2. On suppose dans cette question que

A

est une matrice symétrique réelle.

Démontrer que

tr(A^T A) = \sum_(i = 1)^n λ_i^2

où les

λ_i

sont les

n

valeurs propres distinctes ou non de la matrice

A

.
4.3. Déterminer les matrices symétriques réelles à diagonale propre.

Exercice 3.

Soient

a

un réel strictement positif et

f

une fonction continue sur

ℝ

.
Pour tout

λ

réel, on pose

I(λ) = \int_a^(+ \infty)(λ - f(t))/t dt

, lorsque cela existe.

Dans cette question, et uniquement dans cette question, $f$ est la fonction $t \mapsto cos(t/(1 + t^2))$ .
1.1. En utilisant un développement asymptotique de $f$ au voisinage de $+ \infty$ , donner un équivalent de $λ - f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
1.2. En déduire l'ensemble des valeurs du réel $λ$ pour lesquelles $I(λ)$ existe.
1.3. Donner alors un équivalent de $\int_a^x(f(t))/t dt$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
On suppose qu'il existe $λ$ et $μ$ deux réels pour lesquels $I(λ)$ et $I(μ)$ existent. Prouver que l'on $a : λ = μ$ .
Pour tout $x$ réel, on pose $H_λ(x) = \int_a^x(λ - f(t))dt$ .
3.1. Justifier que $H_λ$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et préciser $H_λ^'(x)$ .
3.2. Démontrer que si $H_λ$ est bornée sur $ℝ$ , alors $I(λ)$ existe et que $I(λ) = \int_a^(+ \infty)(H_λ(t))/(t^2) dt$ .
Désormais on suppose que $f$ est continue sur $ℝ$ et $T$ -périodique ( $T > 0$ ).
4.1. Démontrer que la fonction $φ$ qui à tout $x$ réel associe $φ(x) = \int_x^(x + T)f(t)dt$ est constante. Montrer alors que l'on a, pour tout réel $x : H_λ(x + T) - H_λ(x) = λT - \int_0^T f(t)dt$ .
4.2. Montrer qu'il existe une unique valeur $λ_0$ du réel $λ$ pour laquelle la suite $(H_λ(a + nT))_(n \in ℕ)$ est bornée.
4.3. Prouver que, dans ce cas, la fonction $H_λ$ est périodique et bornée dans $ℝ$ .
4.4. Déterminer alors toutes les valeurs du réel $λ$ pour lesquelles $I(λ)$ converge.
4.5. Dans le cas où $λ_0 \neq 0$ , déterminer un équivalent de $\int_a^x(f(t))/t dt$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $A_n = \int_0^(π/2)(|sin(nt)|)/(sin(t))dt$ et $B_n = \int_0^(π/2)(|sin(nt)|)/t dt$ .
5.1. Prouver que $A_n$ existe. On admettra qu'il en est de même pour $B_n$ .
5.2. Déterminer un équivalent au voisinage de 0 de la fonction $t \mapsto 1/t - 1/(sin(t))$ .
5.3. Démontrer que la suite $(A_n - B_n)_(n \in ℕ^*)$ est bornée.
5.4. On effectue dans $B_n$ le changement de variable $u = nt$ .
5.4.1. Donner un équivalent de $B_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. On pourra utiliser les résultats établis à la question 4.
5.4.2. En déduire un équivalent de $A_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Exercice 4.

Soient

E

un plan vectoriel,

B = (i⃗, j⃗)

une base de

E

θ \in ]0, π[

fixé.
On considère l'endomorphisme

f

E

représenté par sa matrice

C

dans la base

B : C = (0, - 1; 1, 2cos(θ))

.
On définit alors sur

E

une forme bilinéaire symétrique

Φ

par les relations :

Φ(i⃗, j⃗) = Φ(j⃗, i⃗) = cos(θ) et Φ(i⃗, i⃗) = Φ(j⃗, j⃗) = 1.

On rappelle qu'une forme bilinéaire sur

E

est une application de

E^2

dans

ℝ

, linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Soient $X = x_1 i⃗ + x_2 j⃗$ et $Y = y_1 i⃗ + y_2 j⃗$ deux vecteurs de $E$ . Exprimer $Φ(X, Y)$ en fonction des réels $x_1, x_2, y_1, y_2$ et $θ$ .
Montrer que $Φ$ est un produit scalaire sur $E$ .
Prouver que $f$ est une isométrie pour le produit scalaire $Φ$ .
Déterminer un vecteur $k⃗ \in E$ tel que $(i⃗, k⃗)$ soit une base orthonormée pour $Φ$ et que $Φ(j⃗, k⃗) > 0$ .
Expliciter la matrice de $f$ dans la base $(i⃗, k⃗)$ . Préciser la nature de $f$ .
Soit $m \in ℕ^*$ . Pour quelles valeurs de $θ \in ]0, π[$ a-t-on $f^m = id_E$ ?

FIN

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