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CCINP Mathématiques 1 PSI 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Longueur de la courbe représentative d'une fonction : calculs, séries entières, intégrales généralisées et continuité
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Le problème, en cinq parties, étudie la longueur L(f) de la courbe représentative d'une fonction de classe C¹. Il enchaîne des calculs explicites de longueurs, une valeur approchée pour un arc d'hyperbole par développement en série entière, la limite des longueurs des graphes de t ↦ t^n, un exemple de fonction continue de longueur infinie, puis la continuité de l'application L selon la norme choisie.

  1. 1Partie I : quelques exemples de calculs de longueursLongueurs pour t, ch(t), un arc de cercle et t², par calcul de primitives et intégration par parties.
  2. 2Partie II : un calcul approché de longueurLongueur d'un arc d'hyperbole écrite comme somme d'une série grâce au développement en série entière de (1+u)^α et à l'intégration terme à terme, puis valeur approchée.
  3. 3Partie III : longueur du graphe des fonctions puissancesConjecture puis preuve, par convergence dominée, que la longueur du graphe de t^n tend vers 2, et majoration générale L(f) < 2.
  4. 4Partie IV : un résultat inattenduConvergence de l'intégrale de sin(t)/t, divergence de celle de |sin(t)|/t et construction d'une fonction continue sur [0,1] dont la courbe est de longueur infinie.
  5. 5Partie V : continuité de la fonction longueurComparaison de deux normes sur l'espace des fonctions C¹ et étude de la continuité de L pour chacune.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Comparaison sans vérifier le signe · Résultats forcés vers l'énoncé · Intégration terme à terme non justifiée
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Le problème, progressif, couvrait plusieurs champs du programme d'analyse de PSI et a bien classé les candidats. Beaucoup de questions étaient des applications directes du cours, avec des résultats donnés dont seule la justification était attendue. Les candidats ont en général abordé les cinq parties, mais rares sont ceux qui ont tout traité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Comparaison sans vérifier le signe

    Utiliser les théorèmes de comparaison pour les séries ou les intégrales généralisées sans contrôler le signe des termes a valu une note nulle à la question.

    « Ce genre d'erreur, beaucoup trop fréquent, a été sanctionné par une note nulle à la question correspondante. »
  2. 2
    Résultats forcés vers l'énoncéII-1, II-2

    Faire disparaître des coefficients gênants ou enchaîner des égalités non justifiées pour retrouver la formule annoncée indispose fortement le correcteur. En II-1, il fallait penser au changement de variable u = 1/t.

  3. 3
    Intégration terme à terme non justifiéeII-2

    Le théorème devait être justifié pour obtenir les points ; une série entière ne converge pas toujours normalement sur son disque de convergence.

    « Le théorème d'intégration terme à terme devait être justifié pour rapporter la plupart des points »
  4. 4
    Convergence dominée mal appliquéeIII-2

    La limite simple doit distinguer t = 1 de t dans [0,1[, et la domination porte sur la valeur absolue de l'intégrande. L'inégalité stricte λn < 2 n'est souvent pas justifiée.

    « la domination est une majoration de la valeur absolue de l'intégrande. »
  5. 5
    Calculatrice utilisée sans le direI-4, II-2

    Beaucoup recopient un résultat de calcul formel sans le signaler ; peu savent en revanche l'utiliser pour sommer les premiers termes d'une série.

    « Si vous utilisez la calculatrice, ce qui était autorisé, dîtes-le. »
  6. 6
    Normes et continuité en dimension infinieV-1, V-2

    La définition d'une norme est mal connue, et la continuité automatique d'une application linéaire ne vaut qu'en dimension finie.

    « La continuité des applications linéaires n'est assurée que dans le cas de la dimension finie. »

Ce qui a été bien réussi

  • La présentation des copies est en général satisfaisante.
  • La question IV-1, classique, a permis aux candidats ayant travaillé régulièrement de montrer leur savoir-faire ; le traitement en 0 se passe généralement bien.

Conseils du jury

  • Lire tout l'énoncé pendant les cinq premières minutes et répondre aux questions telles qu'elles sont posées.
  • Rappeler et vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés.
  • Faire un dessin : il aidait à conjecturer la limite en III-1 et à trouver le bon changement de variable en II-1.
  • Bien connaître les fonctions usuelles, notamment hyperboliques, et leurs dérivées.
  • Ne pas confondre développement en série entière et développement limité.
  • Indiquer la référence complète des questions et écrire avec une encre lisible.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations, définitions et rappels

Pour toute fonction f : [a, b] → ℝ de classe C^1, on note :
L(f) = ∫_a^b√(1 + (f^′(t))^2)dt
une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative de f.

Partie I

Quelques exemples de calculs de longueurs

I. 1 Vérifier la formule donnant L(f) pour f définie sur [0, 1] par f(t) = t.
I. 2 Calculer L(f) pour f définie sur [0, 1] par f(t) = ch(t).

I. 3 Un exemple de calcul de longueur d'un arc de courbe

I.3.1 Calculer L(f) pour f définie sur [0, 1/(√2)]parf(t) = √(1 − t^2).
I.3.2 Retrouver le résultat de la question I.3.1 sans calcul, par des considérations géométriques.
I. 4 Soit f définie sur [0, 1] par f(t) = t^2.
Calculer L(f), en utilisant une intégration par parties ou en s'inspirant de la question I.2.

Partie II

Un calcul approché de longueur

L'objectif de cette partie est d'effectuer un calcul approché de la longueur d'un arc d'hyperbole.
On considère, pour ce faire, la fonction f définie sur [1/2, 1] par f(t) = 1/t.

II. 1 Expression intégrale de L(f)

II.1.1 Donner une expression intégrale de L(f).
II.1.2 Montrer que L(f) est aussi la longueur de l'arc d'hyperbole correspondant à la restriction de f à l'intervalle [1, 2].

II. 2 Expression de L(f) sous forme de série numérique

II.2.1 Soit α ∈ ℝ∖ℕ. Rappeler le développement en série entière de la fonction u ↦ (1 + u)^α, en précisant son domaine de validité.
II.2.2 Montrer que, pour tout t ∈ ]0, 1[, on a :
(√(1 + t^4))/(t^2) = 1/(t^2) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^(n − 1)((2n)!)/((2n − 1)2^(2n)(n!)^2)t^(4n − 2).
II.2.3 On note, pour tout entier n ≥ 1, a_n = ((2n)!)/((2n − 1)2^(2n)(n!)^2). Montrer que la suite (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) est décroissante et donner un équivalent de a_n quand n tend vers l'infini.
II.2.4 En déduire une expression de L(f) comme somme d'une série numérique (on vérifiera avec soin les hypothèses du théorème utilisé).
II.2.5 Donner une valeur approchée de L(f) en utilisant les 5 premiers termes de la série obtenue à la question précédente et donner une majoration de l'erreur commise.

Partie III

Longueur du graphe des fonctions puissances

On s'intéresse ici, pour tout entier n ≥ 1, aux fonctions puissances p_n définies sur [0, 1] par :
∀t ∈ [0, 1], p_n(t) = t^n
On désigne par (λ_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite définie par :
∀n ∈ ℕ^∗, λ_n = L(p_n) = ∫_0^1√(1 + n^2 t^(2n − 2))dt

III. 1 Conjecture sur la limite éventuelle de (λ_n)_(n ∈ ℕ^∗)

III.1.1 Déterminer λ_1 et λ_2.
III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques fonctions p_n avec n de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite (λ_n)_(n ∈ ℕ^∗) ainsi que la valeur de sa limite éventuelle.

III. 2 Convergence et limite de la suite (λ_n)_(n ∈ ℕ^∗)

III.2.1 Montrer que, pour tout entier n ∈ ℕ^∗, on a :
λ_n − n∫_0^1 t^(n − 1)dt = μ_n
où :
μ_n = ∫_0^1(dt)/(√(1 + n^2 t^(2n − 2)) + nt^(n − 1))
III.2.2 Montrer que λ_n < 2 pour tout n ∈ ℕ^∗.
III.2.3 Déterminer la limite de la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ^∗) (on citera avec précision le théorème utilisé).
III.2.4 En déduire la convergence de la suite (λ_n)_(n ∈ ℕ^∗), ainsi que la valeur de sa limite.
III. 3 Plus généralement, montrer que si f : [0, 1] → ℝ est une fonction de classe C^1, croissante et telle que f(0) = 0 et f(1) = 1, on a alors L(f) < 2.

Partie IV
Un résultat inattendu

IV. 1 Etude de l'intégrale généralisée ∫_0^1(sin(t))/tdt
IV.1.1 Montrer que l'intégrale généralisée ∫_0^1(sin(t))/tdt est convergente.
IV.1.2 Montrer que, pour tout x ≥ 1, on a :
∫_1^x(sin(t))/tdt = cos(1) − (cos(x))/x − ∫_1^x(cos(t))/(t^2)dt
En déduire que l'intégrale généralisée ∫_1^(+ ∞)(sin(t))/tdt est convergente.
IV.1.3 Montrer que l'intégrale généralisée ∫_1^(+ ∞)(cos(2t))/tdt est convergente.
IV.1.4 Montrer que l'intégrale généralisée ∫_1^(+ ∞)(sin^2(t))/tdt est divergente. En déduire la divergence de l'intégrale généralisée ∫_1^(+ ∞)(|sin(t)|)/tdt.
IV. 2 On désigne par g la fonction définie sur ]0, 1] par g(t) = 1/tsin(1/t) et par f la fonction définie sur le même intervalle par f(x) = ∫_x^1 g(t)dt.
IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0 . On notera encore f ce prolongement.
IV.2.2 Montrer que f est continue sur [0, 1] et indéfiniment dérivable sur ]0, 1].
IV.2.3 Montrer que :
lim_(x → 0^+)∫_x^1|g(t)|dt = + ∞
IV. 3 Pour tout réel x ∈ ]0, 1], on désigne par λ(x) la longueur de la courbe représentative de la restriction de la fonction f au segment [x, 1].
Donner une expression intégrale de λ(x), pour tout x ∈ ]0, 1], puis montrer que lim_(x → 0^+)λ(x) = + ∞. Donner une interprétation de ce résultat.

Partie V

Continuité de la fonction longueur

On rappelle que l'application :
f ↦ ‖f‖_∞ = sup_(t ∈ [0, 1])|f(t)|
définit une norme sur l'espace E = C^0([0, 1], ℝ) des fonctions continues de [0, 1] dans ℝ.
On note E_1 = C^1([0, 1], ℝ) l'espace des fonctions continûment dérivables de [0, 1] dans ℝ et pour toute fonction f ∈ E_1, on note :
‖f‖ = |f(0)| + ‖f^′‖_∞

V. 1 Comparaison des normes ‖ ⋅ ‖ et ‖ ⋅ ‖_∞

V.1.1 Montrer que l'application f ↦ ‖f‖ définit une norme sur l'espace E_1.
V.1.2 Montrer que :
∀f ∈ E_1, ‖f‖_∞ ≤ ‖f‖.
V.1.3 Les normes ‖ ⋅ ‖ et ‖ ⋅ ‖_∞ sont-elles équivalentes sur E_1 ?
V. 2 On désigne par (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite de fonctions définie sur [ 0,1 ] par :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀t ∈ [0, 1], f_n(t) = (sin(nπt))/(√n)
V.2.1 Montrer que la suite (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers la fonction nulle sur [ 0,1 ] .
V.2.2 On désigne, pour tout entier n ∈ ℕ^∗, par I_n = L(f_n) la longueur de la courbe représentative de f_n. Montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, I_n ≥ √nπ/2
V.2.3 L'application L : f ↦ L(f) est-elle continue sur (E_1, ‖ ⋅ ‖_∞) ?
V.2.4 L'application L : f ↦ L(f) est-elle continue sur (E_1, ‖ ⋅ ‖) ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet CCINP Maths 1 PSI 2014 ?
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Sur quoi porte le sujet CCINP Maths 1 PSI 2014 ?

Sur la longueur de la courbe représentative d'une fonction : calculs d'intégrales, développement en série entière, convergence dominée, intégrales généralisées et normes sur un espace de fonctions.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 1 CCP PSI 2014 ?

Des théorèmes de comparaison appliqués sans vérifier le signe, des calculs forcés pour retrouver les résultats de l'énoncé, une intégration terme à terme et une convergence dominée mal justifiées, et une définition de norme mal connue.

La calculatrice était-elle autorisée en Maths 1 CCINP PSI 2014 ?

Oui. Le jury demande toutefois de signaler tout résultat obtenu à la calculatrice, et regrette que peu de candidats s'en servent pour approcher une somme de série.

Le sujet CCINP Maths 1 PSI 2014 est-il un bon entraînement ?

Le jury le décrit comme progressif, avec beaucoup d'applications directes du cours et des résultats donnés à justifier, tout en couvrant plusieurs chapitres d'analyse du programme de PSI.

Pas de description pour le moment