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CCINP Mathématiques 1 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 6 pages.

Notations

On note : |z| le module du nombre complexe z,
J un intervalle de [0, + ∞[,
f une fonction définie sur J à valeurs dans ℝ ou ℂ,
g une fonction définie sur [0, + ∞[ à valeurs dans ℝ ou ℂ.
Sous réserve de son existence on note : f~_g(x) = ∫_J f(t)g(xt)dt pour x ∈ ]0, + ∞[.
Chaque fois qu'aucune confusion ne sera possible, on notera f~(x) au lieu de f~_g(x).

Objectifs

Pour différentes hypothèses sur la fonction f, sur l'intervalle J et pour deux choix de la fonction g, on se propose de déterminer la limite de f~_g(x) lorsque le nombre réel x tend vers + ∞.
Dans la partie I, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs de sommes de séries. Dans la partie II, on considère une fonction f définie sur [ 0, + ∞ [ à valeurs réelles et l'objectif est d'obtenir la limite en + ∞ de f~_g(x) lorsque g(t) = |sin(t)|, lorsque f est de classe C^1 ou lorsque f est continue par morceaux.

PARTIE I

Une étude de séries

I.1. Étude de la fonction L

Pour tout x réel tel que la série entière ∑_(k ≥ 1)(− 1)^(k − 1)(x^k)/k converge, on note L(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(− 1)^(k − 1)(x^k)/k sa somme.
I.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction L est définie sur l'intervalle ] − 1, 1] et expliciter L(x) pour x appartenant à ] − 1, 1[.
I.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction L est continue sur l'intervalle [0, 1]. En déduire que L(1) = ln(2) (où ln désigne la fonction logarithme népérien).
I.2. Étude de la série ∑_(k ≥ 1)1/kcos((2kπ)/3)
On considère la suite (a_k)_(k ∈ ℕ^∗) définie par :
Pour tout p ∈ ℕ^∗ : a_(3p) = − 2/(3p) et pour tout p ∈ ℕ : a_(3p + 1) = 1/(3p + 1) et a_(3p + 2) = 1/(3p + 2).
I.2.1. Montrer que : ∑_(k = 1)^(3p)a_k = ∑_(k = p + 1)^(3p)1/k = 1/p∑_(h = 1)^(2p)1/(1 + h/p).
I.2.2. Déterminer la limite de la somme ∑_(k = 1)^(3p)a_k lorsque p tend vers + ∞ (on pourra considérer la fonction qui à t associe 1/(1 + t) sur un intervalle convenable). En déduire la convergence de la série ∑_(k ≥ 1)a_k et préciser sa somme.
I.2.3. En déduire que la série ∑_(k ≥ 1)1/kcos((2kπ)/3) converge et montrer que sa somme est égale à ln(1/(√3)).
I.3. Étude des séries ∑_(k ≥ 1)(cos(kα))/k et ∑_(k ≥ 1)(sin(kα))/k
Pour t ∈ ]0, 2π[ et n ∈ ℕ^∗, on note : φ(t) = 1/(e^(it) − 1) et S_n(t) = ∑_(k = 1)^n e^(ikt).
On désigne par α un nombre réel fixé dans l'intervalle ]0, 2π[. Pour simplifier l'écriture des démonstrations, on supposera que π ≤ α < 2π.
I.3.1. Montrer que S_n(t) = φ(t)[e^(i(n + 1)t) − e^(it)].
I.3.2. Montrer que la fonction φ est de classe C^1 sur le segment [π, α].
I.3.3. Montrer que l'intégrale ∫_π^α e^(i(n + 1)t)φ(t)dt tend vers zéro lorsque l'entier n tend vers + ∞ (on pourra utiliser une intégration par parties).
I.3.4. Expliciter ∫_π^α S_n(t)dt. Déduire de ce qui précède la convergence de la série ∑_(k ≥ 1)(e^(ikα))/k. Expliciter la somme ∑_(k = 1)^(+ ∞)(e^(ikα))/k en fonction de ln(2) et de ∫_π^α e^(it)φ(t)dt.
I.3.5. Exprimer e^(it)φ(t) en fonction de (e^((it)/2))/(sin(t/2)) où t appartient à [π, α].
I.3.6. En déduire la convergence des séries ∑_(k ≥ 1)(cos(kα))/k et ∑_(k ≥ 1)(sin(kα))/k. Expliciter leur somme respective. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu en I.2.3. ?

PARTIE II

Limite d'une intégrale

Dans cette partie, on désigne par f une fonction continue par morceaux sur l'intervalle [0, + ∞[ à valeurs réelles et telle que l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)|f(t)|dt soit convergente. On désigne par g une fonction définie et continue sur l'intervalle [0, + ∞[ à valeurs complexes et (sous réserve d'existence) on note f~_g(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)g(xt)dt pour x ∈ ]0, + ∞[.

II.1. Existence de f~_g(x)

On suppose que la fonction g est bornée sur l'intervalle [0, + ∞[.
Justifier l'existence de f~_g(x) pour tout x réel strictement positif. Montrer que la fonction f~_g est continue et bornée sur l'intervalle ]0, + ∞[.
II.2. Limite de f~_g(x) lorsque g(t) = e^(it)
On suppose que la fonction f est de classe C^1 sur l'intervalle [0, + ∞[ et à valeur réelle.
Soit f~_g(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(ixt)dt.
II.2.1. Justifier l'affirmation :
Pour tout ε > 0, il existe un réel positif A tel que ∫_A^(+ ∞)|f(t)|dt ≤ ε.
II.2.2. Le nombre réel A étant fixé, montrer que l'intégrale ∫_0^A f(t)e^(ixt)dt tend vers zéro lorsque le nombre réel x tend vers + ∞ (on pourra utiliser une intégration par parties).
II.2.3. En déduire la limite de f~_g(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(ixt)dt lorsque le nombre réel x tend vers + ∞.
Dans toute la suite du problème, on suppose que g(t) = |sin(t)| et on note simplement :
f~(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)|sin(xt)|dt

II.3. Étude pour une fonction f particulière

On suppose (dans cet exemple) que f désigne la fonction E définie par E(t) = e^(− t) pour t ∈ [0, + ∞[ et donc E~(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)|sin(xt)|dt pour x ∈ ]0, + ∞[.
II.3.1. Pour γ ∈ ℝ, calculer l'intégrale θ(γ) = ∫_0^π e^(γy)sin(y)dy.
II.3.2. Montrer que pour x ∈ ]0, + ∞[ :
E~(x) = 1/x∫_0^(+ ∞)e^(− u/x)|sin(u)|du
II.3.3. Exprimer pour tout k ∈ ℕ et pour tout x ∈ ℝ^∗, l'intégrale ∫_(kπ)^((k + 1)π)e^(− u/x)|sin(u)|du en fonction de e^(− (kπ)/x) et de θ(γ) pour un γ convenable.
II.3.4. Justifier, pour x ∈ ]0, + ∞[, la convergence de la série ∑_(k ≥ 0)e^(− (kπ)/x); préciser sa somme ∑_(k = 0)^(+ ∞)e^(− (kπ)/x).
II.3.5. Expliciter E~(x) pour x ∈ ]0, + ∞[. Déterminer la limite de E~(x) lorsque x tend vers + ∞.

II.4. Étude générale

On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur l'intervalle [0, + ∞[ telle que l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)|f(t)|dt converge et on note :
f~(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)|sin(xt)|dt pour x ∈ ]0, + ∞[

II.4.1. Lemme préliminaire

Pour tout t réel tel que la série ∑_(k ≥ 1)(cos(2kt))/(4k^2 − 1) converge, on pose h(t) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(cos(2kt))/(4k^2 − 1). Montrer que la fonction h est définie et continue sur ℝ. Justifier l'égalité :
∀t ∈ ℝ, |sin(t)| = 2/π − 4/πh(t)

II.4.2. Limite de f~(x) dans le cas C^1

On suppose de plus que f est une fonction de classe C^1 sur l'intervalle [0, + ∞[. En utilisant les résultats obtenus en II. 2 et II.4.1, déterminer la limite de f~(x) lorsque le réel x tend vers + ∞. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu pour la fonction E ?

II.4.3. Cas d'une fonction continue par morceaux

II.4.3.1. Une limite

Étant donnés deux nombres réels β et δ tels que 0 ≤ β < δ, on considère l'intégrale F(x) = ∫_β^δ|sin(xt)|dt pour x ∈ ]0, + ∞[. Montrer que F(x) = 1/x∫_(βx)^(δx)|sin(u)|du.
On pose p la partie entière de (βx)/π et q la partie entière de (δx)/π. Pour x > π/(δ − β), donner un encadrement de F(x) en fonction de p, q et x.
En déduire que F(x) tend vers 2/π(δ − β) lorsque le nombre réel x tend vers + ∞.
II.4.3.2. Limite de f~(x) dans le cas d'une fonction continue par morceaux Si J est un intervalle de [0, + ∞[ et si f est une fonction continue par morceaux sur J à valeurs réelles et telle que l'intégrale ∫_J|f(t)|dt existe, on note toujours :
f~(x) = ∫_J f(t)|sin(xt)|dt
Quelle est la limite de f~(x) lorsque le réel x tend vers + ∞ :
  • lorsque J est un segment de [0, + ∞[ et f une fonction en escalier ?
  • lorsque J est un segment de [0, + ∞[ et f une fonction continue par morceaux ?
  • lorsque J = [0, + ∞[ et f est une fonction continue par morceaux ?

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