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Mines Mathématiques 1 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Inégalité de Prékopa et Leindler

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Présentation du sujet

Difficile
Inégalité de Prékopa et Leindler, fonctions log-concaves et applications géométriques
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Le sujet établit, en dimensions 1 et 2, l'inégalité intégrale de Prékopa et Leindler, avec des applications aux fonctions log-concaves. Il comporte trois parties : l'établissement de l'inégalité elle-même, son application aux fonctions log-concaves, puis des applications géométriques liées à la notion d'aire d'un ouvert borné plan, avec une extension de l'inégalité dans la dernière question.

  1. 1Partie I : une inégalité de Prékopa et LeindlerÉtablir l'inégalité de Prékopa-Leindler à l'aide d'un changement de variable et de la notion de C1-difféomorphisme.
  2. 2Partie II : fonctions log-concavesÉtudier les fonctions log-concaves et appliquer l'inégalité de Prékopa-Leindler, notamment en diagonalisant un endomorphisme symétrique.
  3. 3Partie III : quelques applications géométriquesRelier l'inégalité étudiée à la notion d'aire d'un ouvert borné plan et en proposer une extension.

Difficile. Le rapport qualifie les résultats obtenus de franchement décevants dans l'ensemble et indique que le sujet, intéressant en lui-même, est apparu trop technique pour bon nombre de candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre puissance entière et puissance réelle entre 0 et 1 · Mauvaise utilisation du théorème de la bijection · Cauchy-Schwarz utilisée comme roue de secours
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La résolution du problème repose en grande partie sur la gestion d'inégalités, en particulier de convexité, ce qui a décontenancé beaucoup de candidats. La notion de C1-difféomorphisme, la convergence des intégrales généralisées et l'utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz hors contexte préhilbertien ont également posé de sérieuses difficultés. Les résultats obtenus sont dans l'ensemble franchement décevants, même si le jury a trouvé quelques bonnes copies et quelques idées originales.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre puissance entière et puissance réelle entre 0 et 1Q2

    À la question 2, l'erreur la plus fréquente est l'utilisation malencontreuse de la formule du binôme de Newton, alors qu'il fallait distinguer une puissance entière d'une puissance comprise strictement entre 0 et 1.

  2. 2
    Mauvaise utilisation du théorème de la bijectionQ3

    À la question 3, beaucoup de candidats utilisent mal le théorème de la bijection, confondant notamment existence et unicité.

  3. 3
    Cauchy-Schwarz utilisée comme roue de secoursQ5, Q9, Q12, Q13

    L'inégalité de Cauchy-Schwarz apparaît de façon récurrente dans les questions 5, 9, 12 et 13, souvent hors de tout contexte préhilbertien pertinent.

  4. 4
    Mauvaise lecture de l'énoncé sur la convergence dominéeQ11

    À la question 11, le théorème de convergence dominée semble connu, mais la majorité des candidats l'appliquent seulement aux fonctions caractéristiques de la question 10, ce qui trahit une mauvaise lecture de l'énoncé.

  5. 5
    Somme de deux ouverts confondue avec union de deux ouvertsQ16

    À la question 16, le fait que la somme de deux ouverts soit un ouvert réclame une véritable démonstration, ce que confondent certains candidats avec le fait que l'union de deux ouverts soit un ouvert.

    « l'union de deux ouverts est un ouvert donc la somme de deux ouverts également »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul des dérivées u'(t) et v'(t) demandé en question 4 a été fréquemment correctement exécuté.
  • La question 10, dont le résultat est graphiquement évident, a été souvent abordée avec succès.
  • Quelques bonnes démonstrations complètes ont été observées à la question 13.

Conseils du jury

  • Lire attentivement le texte de chaque question pour en cerner le contexte précis, en particulier les contraintes sur les paramètres (par exemple un réel strictement compris entre 0 et 1).
  • Rechercher des méthodes simples, comme diagonaliser un endomorphisme symétrique en s'appuyant sur le théorème spectral, plutôt que d'appliquer directement une définition plus lourde.
  • Rester cohérent sur la nature des objets manipulés : ne pas transformer sans justification une intégrale simple en intégrale double.
  • Ne pas hésiter à formuler une approche intuitive raisonnable même si elle n'est pas menée à son terme complet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A 2011 MATH I PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011

PREMIÊRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité de Prékopa et Leindler.

Notations.

On notera ℝ l'ensemble des nombres réels, ℝ_+l'ensemble des nombres réels positifs et ℝ_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désignera par ℕ l'ensemble des entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit n ∈ ℕ^∗. On notera C^0(ℝ^n, ℝ_+)(resp. C^0(ℝ^n, ℝ_+^∗) ) l'ensemble des fonctions continues de ℝ^n dans ℝ_+(resp. dans ℝ_+^∗ ).
Soient A et B deux parties non vides de ℝ^n. Pour tous réels a et b on notera aA + bB la partie de ℝ^n définie par
aA + bB = {ax + by, x ∈ A, y ∈ B}.
En particulier pour a = − 1, on écrit − A = { − x, x ∈ A}.
Si f désigne une fonction f : ℝ → ℝ bornée sur ℝ alors on pose ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|. Soit I un intervalle non vide de ℝ.
On rappelle qu'une fonction g : I → ℝ est dite convexe si:
∀x, y ∈ I, ∀λ ∈ [0, 1], g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y).
L'opposée d'une fonction convexe est une fonction concave. On rappelle que si g est de classe C^1 sur I, alors g est convexe si et seulement sa dérivée g^′ est croissante (au sens large) sur I.
Pour toute fonction f : I → ℝ_+, tous x ∈ I et λ ∈ ]0, 1[, on écrira f(x)^λ pour (f(x))^λ.

Partie I. Une inégalité de Prékopa et Leindler.

  1. Soient λ un réel dans l'intervalle ]0, 1[, et a et b deux réels positifs. Montrer que
λa + (1 − λ)b ≥ a^λ b^(1 − λ)
(on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavité). Montrer en outre que pour tout réel u > 1,
(λa + (1 − λ)b)^u ≤ λa^u + (1 − λ)b^u.
  1. Soient a et b deux réels positifs et λ un réel dans ]0, 1[. Montrer que
(a + b)^λ ≤ a^λ + b^λ
Dans toute cette partie λ est un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1[ et f, g, h sont des fonctions de C^0(ℝ, ℝ_+)intégrables qui satisfont l'inégalité suivante
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, h(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ g(y)^(1 − λ)
Le but de cette partie est de montrer l'inégalité suivante, à laquelle on fera référence par "inégalité de Prékopa et Leindler", ou en abrégé "P-L":
∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x)dx ≥ (∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx)^λ(∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx)^(1 − λ)
Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus que f et g sont strictement positives, c'est-à-dire pour tout réel x, f(x) > 0 et g(x) > 0.
3) On note F = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx et G = ∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx. Montrer que pour tout t dans l'intervalle ]0, 1 [ il existe un unique réel noté u(t) et un unique réel noté v(t) tels que
1/F∫_(− ∞)^(u(t))f(x)dx = t, 1/G∫_(− ∞)^(v(t))g(x)dx = t
(On pourra étudier les variations de la fonction : u ↦ 1/F∫_(− ∞)^u f(x)dx ).
4) Montrer que les applications u et v sont de classe C^1 sur l'intervalle ]0, 1[ et, calculer pour chaque t ∈ ]0, 1[ les nombres dérivés u^′(t) et v^′(t).
5) Prouver que l'ensemble image de l'application w définie sur ]0, 1[ par
∀t ∈ ]0, 1[, w(t) = λu(t) + (1 − λ)v(t)
est égal à ℝ. Puis montrer que w définit un changement de variable de ]0, 1[ sur ℝ. En utilisant ce dernier et ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(w)dw, montrer que f, g et h satisfont l'inégalité "P-L" (1).
On pose Ψ(u) = exp(− u^2) pour tout réel u.
A partir de maintenant, on suppose que f, g et h sont seulement à valeurs positives ou nulles.
6) Prouver que pour tous x, y ∈ ℝ,
Ψ(λx + (1 − λ)y) ≥ Ψ(x)^λ Ψ(y)^(1 − λ)
Soit M un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que f et g sont nulles en dehors de l'intervalle [ − M, M]. On note Λ = min(λ, 1 − λ), Θ = max(λ, 1 − λ) et, Mˆ = Mmax(λ, 1 − λ). Pour chaque réel u on pose:
Ψ_M(u) = {exp(− 1/(Θ^2)(|u| − Mˆ)^2),, si |u| > Mˆ; 1,, si |u| ≤ Mˆ
  1. Soit x, y ∈ ℝ. On pose z = λx + (1 − λ)y. Prouver que si |y| ≤ M alors Ψ(x) ≤ Ψ_M(z). De même, prouver que si |x| ≤ M alors Ψ(y) ≤ Ψ_M(z).
  2. Soit ε ∈ ]0, 1[, f_ε = f + εΨ et g_ε = g + εΨ. Montrer que
∀x, y ∈ ℝ, f_ε(x)^λ g_ε(y)^(1 − λ) ≤ h(z) + ε^Λ(‖f‖_∞^λ + ‖g‖_∞^(1 − λ))(Ψ_M(z))^Λ + εΨ(z),
où z = λx + (1 − λ)y. On commencera par appliquer l'inégalité de la question 2 , puis les deux questions précédentes. On rappelle que f(x) = 0 si |x| > M et que g(y) = 0 si |y| > M).
9) En déduire que si f et g sont nulles en dehors d'un intervalle borné alors l'inégalité "P-L" est satisfaite.
Soit n ∈ ℕ. On désigne par χ_n : ℝ → ℝ la fonction continue qui vaut 1 sur [ − n, n], qui vaut 0 sur ] − ∞, − n − 1] ∪ [n + 1, + ∞[ et qui est affine sur chacun des deux intervalles [ − n − 1, − n] et [n, n + 1].
10) Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que
∀x, y ∈ ℝ, χ_n(x)^λ χ_n(y)^(1 − λ) ≤ χ_(n + 1)(λx + (1 − λ)y).
  1. Montrer que l'inégalité "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d'utiliser le théorème de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de validité sont remplies).

Partie II. Fonctions log-concaves.

Soit n un entier strictement positif. On dira qu'une fonction f de ℝ^n dans ℝ_+est log-concave si pour tout λ dans l'intervalle ]0, 1[
∀x ∈ ℝ^n, ∀y ∈ ℝ^n, f(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ f(y)^(1 − λ)
  1. On note ⟨ ⋅; ⋅ ⟩ le produit scalaire euclidien canonique de l'espace vectoriel ℝ^n. Soit S ∈ Endℝ^n un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien ( ℝ^n, ⟨ ⋅; ⋅ ⟩ ). On suppose que ∀x ∈ ℝ^n, ⟨S(x); x⟩ ≥ 0. Prouver alors que l'application définie par
∀x ∈ ℝ^n, f(x) = exp(− ⟨S(x); x⟩),
est continue et log-concave sur ℝ^n.

Partie III. Quelques applications géométriques.

Dans cette partie on admettra que l'inégalité "P-L" démontrée dans la partie I reste vraie dans l'espace des fonctions de ℝ dans ℝ_+continues par morceaux et intégrables. C'est-à-dire que pour toutes fonctions f, g, h de ℝ dans ℝ_+, continues par morceaux et intégrables sur ℝ, et pour tout λ dans l'intervalle ]0, 1[ tels que
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, h(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ g(y)^(1 − λ)
l'inégalité suivante est vérifiée
∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x)dx ≥ (∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx)^λ(∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx)^(1 − λ)
Soit f une fonction continue de ℝ^2 dans ℝ. On dit que f est à support borné si il existe un réel M > 0 tel que f est nulle en dehors du carré [ − M, M]^2, c'est à dire que f(x, y) = 0 si |x| > M ou |y| > M.
On admettra que
∫_(− M)^M(∫_(− M)^M f(x, y)dy)dx = ∫_(− M)^M(∫_(− M)^M f(x, y)dx)dy
et que cette valeur commune ne dépend pas du choix de M. On définit alors l'intégrale double ∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy de f(x, y) sur ℝ^2 comme la valeur commune des deux intégrales itérées écrites dans l'égalité précédente.
13) Soit λ ∈ ]0, 1[ et f, g, h des fonctions de ℝ^2 dans ℝ_+continues à support borné et telles que
∀X ∈ ℝ^2, ∀Y ∈ ℝ^2, h(λX + (1 − λ)Y) ≥ f(X)^λ g(Y)^(1 − λ).
Montrer que
∬_(ℝ^2)h(x, y)dxdy ≥ (∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy)^λ(∬_(ℝ^2)g(x, y)dxdy)^(1 − λ)
Dans la suite on munit ℝ^2 de la norme euclidienne canonique.
14) Soit A une partie ouverte bornée non vide de ℝ^2. On désigne par C(A) l'ensemble des fonctions continues f de ℝ^2 dans [0, 1] telles que ∀(x, y) ∈ ℝ^2∖A, f(x, y) = 0 (en d'autres termes f est nulle hors de A ). Montrer alors que la borne supérieure
sup_(f ∈ C(A))∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy
existe et définit un réel strictement positif noté V(A).
15) On considère un rectangle ]a, b[ × ]c, d[ du plan ℝ^2, avec a < b et c < d. On désigne par D(O, R) le disque ouvert de centre l'origine O et de rayon R > 0 du plan euclidien ℝ^2. Calculer alors les deux réels V(]a, b[ × ]c, d[) et V(D(O, R)). Que représentent-ils respectivement? (Dans le calcul de V(]a, b[ × ]c, d[) on pourra utiliser des fonctions du type (x, y) ↦ f(x, y) = φ(x)φ(y), où φ et φ sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies).
16) Soient A et B deux parties ouvertes bornées non vides de ℝ^2 et λ ∈ ]0, 1[. Vérifier que λA + (1 − λ)B est un ouvert borné de ℝ^2. Puis montrer que
V(λA + (1 − λ)B) ≥ V(A)^λ V(B)^(1 − λ)
Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour tout f ∈ C(A) et g ∈ C(B), la fonction h déterminée par:
∀Z ∈ ℝ^2, h(Z) = sup{f(X)^λ g(Y)^(1 − λ)/X, Y ∈ ℝ^2, Z = λX + (1 − λ)Y}
définit une fonction continue sur ℝ^2.
17) Soit u : ℝ^2 → ]0, + ∞[ une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l'inégalité précédente reste vraie si on remplace l'application V par l'application γ définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) A de ℝ^2 par
γ(A) = sup_(f ∈ C(A))∬_(ℝ^2)f(x, y)u(x, y)dxdy

Fin du Problème.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2011 ?

Le sujet porte sur les inégalités de convexité, le changement de variable via les C1-difféomorphismes, les intégrales généralisées et doubles, ainsi que la réduction des endomorphismes symétriques, à travers l'inégalité de Prékopa-Leindler.

Le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2011 est-il difficile ?

Le rapport indique des résultats franchement décevants dans l'ensemble, le sujet étant apparu trop technique pour bon nombre de candidats, notamment sur la gestion des inégalités de convexité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines PSI 2011 ?

Le jury relève une confusion entre puissance entière et puissance réelle, une mauvaise utilisation du théorème de la bijection, un recours abusif à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et une confusion entre union et somme d'ouverts.

Pas de description pour le moment