WikiPrépaLivrets

Mines Physique 1 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Champ et théorème de Gauss gravitationnel
  • Mécanique du point et forces conservatives
  • Référentiel non galiléen et satellite géostationnaire
  • Cinématique du point et mécanique du solide
  • Machines asynchrones et régime sinusoïdal forcé
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2011FilièrePSIMatièrePhysique
Annales Mines PSI PhysiqueMines PSI 2011PSI PhysiquePhysique 2011

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé sur Discord
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Transports planétaires : métro gravitationnel à travers un tunnel et ascenseur spatial
Afficher ou masquer la section

Le sujet regroupe des questions classiques de physique des deux années de classes préparatoires sous le thème des transports planétaires. La partie I étudie un métro gravitationnel à travers un tunnel droit, en mêlant champ gravitationnel, mécanique du point et thermodynamique. La partie II étudie un ascenseur spatial, avec l'équilibre d'un câble en référentiel non galiléen, la cinématique de la cage d'ascenseur et un moteur électrique asynchrone.

  1. 1Partie I.A : étude préliminaireÉtude du champ gravitationnel à l'aide du théorème de Gauss gravitationnel.
  2. 2Partie I.B : le tunnel droitÉtude énergétique d'un mobile soumis à des forces conservatives dans un tunnel gravitationnel.
  3. 3Partie I.C : projet de métroApplication des résultats précédents à un projet de métro gravitationnel.
  4. 4Partie II.A : étude de l'équilibre du câbleÉtude d'un satellite géostationnaire et d'une corde tendue dans un référentiel non galiléen.
  5. 5Partie II.B : montée de la cage d'ascenseur le long du câbleÉtude de cinématique du point et de mécanique du solide.
  6. 6Partie II.C : étude du moteur électriqueÉtude d'un moteur asynchrone selon les conventions du cours de physique de la filière PSI.

Difficile. Le jury manifeste une déception globale face à un faible nombre de candidats capables de traiter correctement des exercices pourtant classiques, comme le calcul du rayon de l'orbite géostationnaire ou l'étude d'un moteur asynchrone sans originalité.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Symétries et invariances mal analysées pour le théorème de Gauss · Falsification pour retrouver l'expression donnée · Solution sinusoïdale proposée pour une équation qui n'est pas celle d'un oscillateur harmonique
Afficher ou masquer la section

Le sujet, de longueur raisonnable et constitué de questions très classiques, offrait à un candidat sérieux la possibilité de bien se classer. Le jury a pourtant été très déçu de la valeur moyenne des copies, rappelant que la préparation au concours passe d'abord par la maîtrise du cours puis par les exercices classiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Symétries et invariances mal analysées pour le théorème de GaussQ1

    Le jury sanctionne surtout le manque de rigueur dans l'analyse des symétries, indispensable pour simplifier le calcul du flux du champ de pesanteur.

    « le jury a surtout sanctionné le manque de rigueur dans l’analyse des symétries et des invariances »
  2. 2
    Falsification pour retrouver l'expression donnéeQ2

    Le jury n'est jamais dupe d'un tour de passe-passe visant à obtenir l'expression attendue en falsifiant une formule fausse.

    « n’est jamais dupe d’un tour de passe -passe du candidat visant à obtenir à tout prix »
  3. 3
    Solution sinusoïdale proposée pour une équation qui n'est pas celle d'un oscillateur harmoniqueQ3

    Une faute de signe dans l'équation différentielle conduit plusieurs dizaines de candidats à proposer à tort une solution sinusoïdale.

    « proposer une solution sinusoïdale alors que l’équation n’était pas celle d’un »
  4. 4
    Commentaire qualitatif non quantifiéQ7

    Dire qu'une quantité est « énorme » n'a pas de valeur physique sans comparaison à un ordre de grandeur de référence.

    « Dire que la quantité est « énorme » n’a pas de valeur. »
  5. 5
    Terme d'inertie ajouté par un tour de passe-passeQ12

    Certains étudiants font apparaître artificiellement le terme manquant plutôt que de le justifier physiquement.

    « indisposer le jury sans procurer aucun point de barème à son auteur. »
  6. 6
    Impédance de la bobine mal adaptée à la pulsation effectiveQ18 à Q20

    La mise en évidence d'un terme en cos((ω-Ω)t) impose de considérer l'impédance complexe jL(ω-Ω) et non l'habituel jLω.

    « l’impédance complexe de la bobine était donc »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 18 à 20 ont montré la rigueur et la précision d'une majorité de copies, saluant la solide formation des étudiants de la filière.

Conseils du jury

  • Analyser rigoureusement les symétries et invariances avant tout calcul de flux ou de champ.
  • Ne jamais falsifier un calcul pour retrouver un résultat donné par l'énoncé.
  • Accompagner tout commentaire qualitatif d'une comparaison chiffrée ou d'un ordre de grandeur.
  • Réviser spécifiquement les points de première année non revus en seconde année avant les concours.
  • Adapter l'impédance complexe d'un dipôle à la pulsation réellement en jeu dans le régime étudié.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

TRANSPORTS PLANÉTAIRES

Ce problème étudie divers aspects physiques du voyage à l'échelle planétaire. Il est composé de deux parties indépendantes, la première envisage le déplacement d'un train dans un tunnel creusé dans la sphère terrestre, la seconde étudie la montée d'un ascenseur le long d'un câble vertical fixé à l'équateur. Dans tout le problème la Terre est assimilée à un corps sphérique homogène de rayon r_T, de centre O_T et de masse volumique homogène μ_T.
Pour les applications numériques on prendra μ_T = 5, 50 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3), r_T = 6, 38 ⋅ 10^6 m, et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de gravitation de Newton G = 6, 67 ⋅ 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2). Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires u_x ˆ ou d'une flèche dans le cas général OP^(→−). Une quantité surmontée d'un point désigne la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité θ˙ = (dθ)/(dt). Les nombres complexes sont soulignés z_– ∈ ℂ, à l'exception de j tel que j^2 = − 1.

I. - Le métro gravitationnel

Dans toute cette partie on néglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-même et on se place dans le référentiel géocentrique que l'on supposera galiléen.

I.A. - Etude préliminaire

On considère un point P situé à l'intérieur de la sphère terrestre. On note O_T P^(→−) = r⃗ = ru_r ˆ et g(P)^(→−) le champ gravitationnel créé par la terre en P.
◻1 - Justifier que g(P)^(→−) est porté par u_r ˆ et que son module ne dépend que de r, on notera donc g(P)^(→−) = g(r)u_r ˆ. En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel, déterminer l'expression de g(r) en fonction de ω^2 = 4/3πGμ_T et r.
◻2 - Déduire de la question précédente que la force de gravitation s'exerçant sur un point de masse m situé en P dérive de l'énergie potentielle
E_p(r) = E_(p_0) + 1/2mω^2 r^2
où E_(p_0) est une constante qui dépend de la référence choisie et que l'on ne demande pas d'expliciter. Quelle est la dimension de ω ?

I.B. - Le tunnel droit

On relie deux points A et B de l'équateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schéma de la figure 1 qui présente également les notations utilisées.
Fig. 1 - Le tunnel droit
On considère un mobile ponctuel P de masse m se déplaçant dans le tunnel sous l'effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est repérée sur le segment [AB] par la coordonnée x telle que PH^(→−) = xu_x ˆ où le vecteur unitaire u_x ˆ est colinéaire à AB^(→−) et de même sens et H est la projection orthogonale de O_T sur [AB]. On note finalement h = O_T H.
Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l'axe du tunnel grâce à un système de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnétiques ! On suppose enfin qu'un vide suffisament poussé a été créé dans le tunnel. Sous toutes ces hypothèses, on considérera que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation qu'exerce sur lui la terre.
À l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.
◻3 - Déterminer l'équation différentielle (linéaire) du second ordre vérifiée par x(t). En déduire l'expression de x(t) en fonction de h, r_T, ω et t.
◻4 — Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte?
◻5 - Exprimer la durée τ_0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numérique.

I.C. - Projet de métro

Pour desservir plusieurs points sur l'équateur, on considère un système de tunnels représentés sur la figure 2.
FIG. 2 - Le système de tunnels
Un tunnel circulaire est percé à une distance r_H du centre de la Terre dans le plan de l'équateur et l'on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontée A_1 H_1 A_2 H_2, etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H_1, H_2, ⋯. Chaque jonction est tangentielle, c'est-à-dire que A_1 H_1^(→−) ⋅ O_T H_1^(→−) = A_2 H_2^(→−) ⋅ O_T H_2^(→−) = ⋯ = 0. Les points H_1, H_2, … sont équipés d'un système d'aiguillage assurant la continuité du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontée et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame à un point matériel P de masse m astreint à circuler dans l'axe du tunnel et sans contact avec ses parois grâce au système de confinement. À l'instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A_1 et sans vitesse initiale.
◻6 - Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H_1 H_2. Déterminer la vitesse de la rame sur cette portion, en déduire que la durée τ_1 du transfert de H_1 vers H_2 se met sous la forme
τ_1 = θ/ωf(y)
où y = r_T/r_H et f est une fonction que l'on déterminera.
◻7 — Déterminer la durée totale τ du voyage de A_1 vers A_2 en fonction de θ, ω et y. Déterminer la valeur numérique de τ pour un voyage tel que θ = π/3 avec r_H = r_T/2. Comparer les caractéristiques de ce voyage avec son équivalent à la surface de la terre.
◻8 - Avec un diamètre moyen de 7 m , évaluer la quantité de déblais à évacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le résultat obtenu.
L'une des nombreuses hypothèses nécessaires à la réalisation d'un tel projet est la création et le maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut être que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l'air de densité volumique de masse ρ maintenu à la pression p et à la température ambiante. Ce dernier point serait à discuter dans le cadre d'une étude plus complète que nous ne mènerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l'enceinte du tunnel et que l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette étude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire.
Des expériences d'aérodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un gaz au repos est soumis à une force de frottement, dite traînée. Cette traînée dépend de la taille caractéristique L et de la vitesse ν du solide ainsi que de la densité ρ du gaz dans lequel s'effectue le mouvement.
◻9 - En effectuant une analyse dimensionnelle, déterminer l'expression de cette force de frottement.
◻10 - On note 𝒫 la puissance développée par la traînée subie par la rame de métro lorsqu'elle circule dans la portion circulaire du tunnel. Déterminer la pression qu'il faut maintenir dans le tunnel afin que 𝒫 soit comparable à la puissance que développe la force de traînée dans le cas d'une rame de TGV circulant à la vitesse de 360 km.h^(− 1) à la surface de la terre. On supposera qu'en dehors de la vitesse la rame de métro et la rame de TGV possèdent les mêmes caratéristiques physiques. Commenter le résultat obtenu.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Ascenseur spatial

Ce problème étudie certains aspects physiques de la réalisation d'une idée récurrente dans de nombreux contextes «l'ascenseur spatial». Il s'agit d'un mécanisme permettant de s'extraire du champ de pesanteur terrestre sans utiliser de fusée. On suppose pour cela qu'un câble réalisé par filage de nanotubes de carbone, de plus de 100000 km de long, inextensible, a pu être dressé à la verticale d'un point de l'équateur de la Terre. Ce câble possède une masse linéique λ = 1, 00 kg ⋅ m^(− 1) extrêmement faible et une résistance mécanique extrêmement forte par rapport à un câble en acier, qui le rend capable de supporter de très fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique supposé galiléen. Il effectue un tour en un jour sidéral de durée T_σ = 8, 62 ⋅ 10^4 s. La terre est toujours supposée sphérique et homogène de masse m_T = 4/3πr_T^3 μ_T = 5, 98 ⋅ 10^(24) kg.

II.A. - Étude de l'équilibre du câble

Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du câble est un point de l'équateur terrestre, r_T est le rayon de la Terre et O_T son centre. L'altitude d'un point M du câble est notée z, r = r_T + z est le rayon O_T M et h est la hauteur totale du câble. Le point H représente l'extrémité haute du câble : z_H = h et r_H = r_T + h. Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire u_r ˆ = O_T M^(→−)/r.
Fig. 3 - Vue générale de la Terre et du câble
  • 11 - Rappeler la définition de l'orbite géostationnaire terrestre. Établir l'expression littérale du rayon r_s correspondant à cette orbite en fonction de la masse m_T de la terre, de G et de la pulsation sidérale terrestre ω_σ = (2π)/(T_σ).
Dans toute la suite du problème, on considèrera un câble de longueur totale h = 4r_s − r_T, on a donc O_T H = r_H = 4r_s. On note g_s le module du champ de gravitation en r = r_s, c'est-à-dire la quantité telle que f_s = mg_s où f_s est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse m situé en r = r_s. Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = r_T.
◻12 - En écrivant que le câble est en équilibre, montrer que la dérivée de la tension du câble en M vérifie la relation
(dT)/(dr) = χ[(r_s^2)/(r^2) − r/(r_s)]
où χ est un paramètre que l'on exprimera en fonction de λ et g_s. En admettant que T(r_H) = 0, déterminer l'expression de la tension T(r) en fonction de χ, r et r_s.
◻13 - Déterminer les valeurs numériques de r_s, g_s de la tension du câble au point d'ancrage notée T_E = T(r_T), ainsi que la valeur maximale T_(max) de T(r). Commenter le résultat obtenu, on pourra par exemple se «servir» de la question 8, on donne aussi le module d'Young de l'acier ε_a = 210GPa et d'un câble en nanotubes de carbonne ε_c = 1TPa.

II.B. - Montée de la cage d'ascenseur le long du câble

Le système de propulsion de la cabine est modélisé sur la figure 4. La montée est assurée par la rotation en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon R_c = 1, 00 m, de masse m_c = 2, 00 ⋅ 10^3 kg, de moment d'inertie par rapport à son axe J = 1/2m_c R_c^2. Ces cylindres sont mûs par un moteur électrique exerçant sur chacun un couple. Le moment résultant de ce couple est Γ_g^(→−) = + Γ_0 u_y ˆ pour le cylindre de gauche et Γ_d^(→−) = − Γ_0 u_y ˆ pour le cylindre de droite. Les deux cylindres serrent le câble grâce à un ressort reliant leurs centres. La longueur à vide ℓ_0 = R_c et la constante de raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au contact du câble. On prend f_s = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le câble. On néglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport à celle des cylindres.
Fig. 4 - Vue générale des cylindres assurant la montée de la cabine
On négligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le système.
Dans le référentiel ( E, u_x ˆ, u_y ˆ, u_z ˆ ) avec u_z ˆ = u_r ˆ la cabine, repérée par le point M, est en E à t = 0. La montée de z = 0 (où la vitesse est nulle) à z = h dure au total t_m = 4 jours et se décompose en une phase d'accélération constante d'intensité a = 1 m.s^(− 2) pendant une durée t_0 suivie d'une phase à vitesse constante de module v_0.
◻14 - Calculer les valeurs numériques de la durée t_0, de la vitesse v_0 et de l'altitude z_0 atteintes à la fin de la première phase. On vérifiera que z_0≪h.
  • 15 - Justifier le fait que l'on puisse considérer que pendant la première phase, la force de gravitation exercée par la Terre sur le système est sensiblement constante et négliger une des forces par rapport à celle-ci.
16- Expliquer comment la montée du système le long du câble peut affecter sa verticalité au cours de la montée. Proposer un moyen technique de remédier à ce problème.
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le câble reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on négligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalité du câble.

II.C. - Étude du moteur électrique

Dans cette dernière sous partie, on s'intéresse à la montée de la cabine à la vitesse constante v_0 dans les premiers instants de la deuxième phase. L'altitude reste donc faible, l'accélération de la cabine dans le référentiel terrestre est nulle. On admet que pendant cette montée, le moteur électrique exerce sur le cylindre de caoutchouc représenté sur la figure 5 , un couple moteur constant de moment Γ_d^(→−) = − Γ_0^′ u_y ˆ. Le cylindre tourne alors à une vitesse angulaire constante de module Ω = v_0/R_c.
  • 17 - Montrer qu'un moment de module Γ_0^′ = m_c R_c g est compatible avec les résultats de la question 15. Calculer la valeur numérique de Γ_0^′ ainsi que celle de la puissance fournie par le moteur s'il délivre ce couple lors de la phase de montée à vitesse constante.
Le moteur est de type asynchrone, les notations sont indiquées sur la figure 5, il est constitué par :
  • un stator, non étudié dans ce problème, qui génère un champ magnétique inducteur que l'on considèrera comme uniforme dans la zone d'évolution du rotor, au voisinage du point O représenté sur la figure 5 . Ce champ a pour expression
B⃗ = B_0 cos(ωt)u_x ˆ + B_0 sin(ωt)u_z ˆ
la pulsation ω imposée par l'alimentation du stator est a priori différente de la vitesse de rotation du cylindre Ω;
  • un rotor portant le circuit induit, assimilé à une bobine plate de centre O, de section S, sur laquelle sont enroulées N spires d'un fil conducteur en court-circuit sur lui-même. On désigne respectivement par R et L, la résistance totale et l'inductance propre du circuit induit.
FIG. 5 - Éléments géométriques relatifs au moteur
Le rotor est solidaire du cylindre et tourne donc aussi à la vitesse angulaire Ω autour de l'axe Oy. Le vecteur nˆ unitaire normal à la surface S, et B⃗ sont dans le même plan xOz. On note i(t) l'intensité algébrique du courant circulant dans le circuit induit orienté sur la figure 5 . L'origine des temps est choisie telle qu'à l'instant t = 0, la normale nˆ coïncide avec u_x ˆ.
◻18 - Déterminer l'expression du flux φ(t) créé par le champ inducteur B⃗ traversant le circuit induit.
19- Montrer alors qu'en régime permanent, le circuit induit fonctionne dans un régime sinusoïdal forcé dont on déteminera la pulsation. Représenter dans ce régime le circuit équivalent et expliciter la représentation complexe I_– de l'intensité i(t) en fonction de la représentation complexe Φ_– du flux φ(t) et des données du problème. En déduire que l'intensité peut se mettre sous la forme
i(t) = I_0 sin[(ω − Ω)t − φ]
où l'on exprimera I_0 et cos(φ) en fonction de N, B_0, S, ω, Ω, R et L. On supposera que ω > Ω.
  • 20 - Déterminer l'expression du moment magnétique M⃗ produit par le courant induit i(t). En déduire celle du moment du couple Γ⃗(t) subi par le rotor.
    ◻21 - Déterminer la valeur moyenne temporelle Γ_m^(→−) de Γ⃗(t). En déduire la pulsation ω_(max) qui permet l'obtention d'un couple moyen de module maximal Γ_(m, max). On exprimera ce dernier en fonction de N, S, L et B_0.
    ◻22 - En se référant aux valeurs numériques de la question 17, quels sont les problèmes techniques qu'engendre la réalisation d'un moteur asynchrone développant la puissance et le couple nécessaires au fonctionnement de l'ascenseur spatial?

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Physique I Mines PSI 2011 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet de Physique I Mines PSI 2011 ?

Le sujet porte sur les transports planétaires : un métro gravitationnel à travers un tunnel et un ascenseur spatial avec son moteur asynchrone.

Ce sujet de Physique I Mines PSI 2011 est-il difficile ?

Le rapport indique que le jury a été très déçu par la faible réussite des candidats sur des exercices pourtant classiques, comme le calcul du rayon de l'orbite géostationnaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Physique I PSI 2011 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans l'analyse des symétries, des falsifications de calcul, et une confusion sur l'impédance complexe d'une bobine en régime sinusoïdal forcé décalé.

Faut-il bien connaître le cours de première année pour ce sujet Mines Physique I PSI 2011 ?

Oui, le rapport signale qu'un exercice de cinématique de première année a dérouté une majorité de candidats faute de révision spécifique.

Pas de description pour le moment