WikiPrépaLivrets

Mines Physique 1 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Ondes acoustiques et approximation acoustique
  • Thermodynamique des gaz parfaits
  • Optique ondulatoire et interférences
  • Analyse dimensionnelle
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2013FilièrePSIMatièrePhysique
Annales Mines PSI PhysiqueMines PSI 2013PSI PhysiquePhysique 2013

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé sur Discord
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Modulation acousto-optique et détection hétérodyne
Afficher ou masquer la section

Le sujet est consacré à la modulation acousto-optique et forme une étude cohérente d'un phénomène physique, la propagation d'ondes acoustiques dans un milieu compressible, et de l'une de ses applications, la détection hétérodyne par interférométrie. Il comporte trois parties de difficulté très progressive, permettant de bien classer les candidats.

  1. 1Partie I : ondes acoustiques dans un milieu compressibleÉtablir l'expression de la célérité du son dans un milieu compressible à partir des équations reliant pression, vitesse et masse volumique.
  2. 2Partie II : modèle du modulateur acousto-optique (MAO)Modéliser le fonctionnement du modulateur acousto-optique.
  3. 3Partie III : interférométrie hétérodyneÉtudier la détection hétérodyne par interférométrie, application du phénomène acousto-optique étudié dans les parties précédentes.

Difficile. Le rapport indique une difficulté très progressive qui a permis de bien classer les candidats, avec d'excellentes copies mais aussi un nombre croissant de copies présentant des manipulations malhonnêtes des résultats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Calculs faux mais résultat juste par escamotage · Confusion entre pression et force de pression · Erreur sur l'unité des masses molaires
Afficher ou masquer la section

Le sujet formait une étude très cohérente d'un phénomène physique et de son application, avec une difficulté très progressive. Le jury a eu le plaisir de corriger d'excellentes copies rigoureuses, mais s'est dit très défavorablement étonné par le nombre croissant de copies montrant un manque d'honnêteté flagrant dans la présentation des calculs et résultats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calculs faux mais résultat juste par escamotage

    Le jury relève des calculs faux conduisant, selon le candidat, à un résultat juste grâce à un calcul escamoté, ou des formules modifiées a posteriori pour coller au résultat attendu.

    « des calculs faux conduisant, selon le candidat à un résultat juste grâce à un calcul escamoté »
  2. 2
    Confusion entre pression et force de pressionQ2

    À la question 2, beaucoup de candidats oublient que le gradient de la pression est une force volumique, ou confondent pression et force de pression.

  3. 3
    Erreur sur l'unité des masses molairesQ5

    À la question 5, certains candidats tombent dans le piège classique de l'unité des masses molaires, qui doivent s'exprimer en kilogrammes par mole dans le système international.

  4. 4
    Confusion entre amplitude et éclairementQ16

    À la question 16, de nombreuses confusions entre amplitudes et éclairements aboutissent à des tracés de courbe passant sous l'axe des abscisses, comme la fonction sinus cardinal au lieu de son carré.

  5. 5
    Valeurs numériques aberrantes non contrôlées

    Le jury a relevé des valeurs numériques assez délirantes, comme une célérité du son de 10 puissance -5 ou 10 puissance 26 mètres par seconde, sans que le candidat ne s'en inquiète.

Ce qui a été bien réussi

  • Le jury a corrigé d'excellentes copies rédigées par des candidats rigoureux, maîtrisant bien les techniques de calcul attendues d'un futur ingénieur et sachant répondre avec concision et précision aux questions qualitatives.

Conseils du jury

  • Ne jamais encadrer un résultat non établi : si le calcul n'aboutit pas, il vaut mieux exprimer honnêtement l'écart avec le résultat attendu plutôt que de le maquiller.
  • Vérifier systématiquement l'homogénéité des expressions, règle absolue dans une copie de physique.
  • Contrôler la vraisemblance des valeurs numériques obtenues et ne rien écrire si la calculatrice donne un résultat manifestement faux.
  • S'adapter aux notations et à la démarche proposées par l'énoncé, même si elles diffèrent de la démarche habituelle du cours.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÊRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires pertinents (incluant des considérations numériques), même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

MODULATION ACOUSTO-OPTIQUE

Ce problème comporte trois parties largement indépendantes. La première partie fait établir l'équation de propagation d'ondes acoustiques dans un milieu compressible. Dans une deuxième partie, une modélisation d'un modulateur acousto-optique (MAO) est présentée. Le MAO est un outil très utile en optique : il peut modifier la direction et la fréquence d'une fraction de la lumière le traversant. La troisième et dernière partie étudie une application utilisant un MAO : la méthode de détection hétérodyne.
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner le meilleur ordre de grandeur possible de la valeur numérique.
Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ( eˆ ), ou d'une flèche dans le cas général ( a⃗ ). À l'exception de j, tel que j^2 = − 1, les nombres complexes seront soulignés.
Constantes numériques :
⋄ constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J ⋅ mol^(− 1) ⋅ K^(− 1);
⋄ exposant adiabatique : γ = 5/3 (resp. γ = 7/5 ) pour un gaz parfait monoatomique (resp. diatomique) ;
⋄ masse molaire moyenne de l'air : M = 29, 0 g ⋅ mol^(− 1).

I. - Ondes acoustiques dans un milieu compressible

Figure 1 - Déformation du milieu lors du passage d'une onde sonore se propageant selon eˆ_z.
On considère un milieu compressible et homogène caractérisé, au repos, par sa masse volumique ρ_0 uniforme, et au sein duquel règnent une température T_0 et une pression P_0 uniformes (pesanteur négligée). Pour décrire la déformation du milieu, on considère une tranche (système fermé) de section S et d'épaisseur dz initialement au repos. Sous l'effet d'une perturbation se propageant dans la direction z, la tranche élémentaire, repérée au repos par l'abscisse z, est déplacée d'une distance ξ(z, t) à un instant t (voir figure 1). La grandeur ξ est appelée champ de déplacement acoustique. On note P(z, t) et ρ(z, t) respectivement la pression et la masse volumique de cette tranche élémentaire à un instant t quelconque. On définit enfin par v⃗(z, t) = (∂ξ)/(∂t)eˆ_z la vitesse de cette tranche.
  • 1 - Déterminer, par conservation de la masse, la relation liant ρ(z, t) à ρ_0 et (∂ξ)/(∂z).
  • 2 - En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la tranche de fluide initialement au repos entre les abscisses z et z + dz, établir la relation liant ρ_0, (∂^2 ξ)/(∂t^2) et (∂P)/(∂z).
    ◻3 - En déduire que ξ(z, t) vérifie l'équation différentielle suivante, où χ_s = 1/ρ(∂ρ)/(∂P)|_S est le coefficient de compressibilité isentropique du milieu :
(∂^2 ξ)/(∂t^2) = 1/(χ_s ρ_0)((∂^2 ξ)/(∂z^2))/((1 + (∂ξ)/(∂z)))
4- On se place dans l'approximation acoustique où l'on suppose l'inégalité |(∂ξ)/(∂z)|≪1. Montrer que le champ de vitesse v(z, t) vérifie alors une équation de propagation de d'Alembert. Exprimer la célérité c_0 des ondes acoustiques. Donner la forme générale d'une solution sinusoïdale progressive d'amplitude v_0, de pulsation temporelle Ω et se propageant dans le sens des z croissants avec un vecteur d'onde K⃗ = Keˆ_z. Exprimer la norme de K⃗ en fonction des données.
  • 5 - Exprimer la célérité du son dans l'air, notée c_(air), en fonction de grandeurs pertinentes puis calculer sa valeur dans le cas d'une propagation isentropique dans l'air, assimilé à un gaz parfait à la température T_0 = 300 K. Comparer la valeur obtenue à l'ordre de grandeur (que l'on précisera) de la célérité c_(sol) des ondes sonores dans un solide.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Modèle du modulateur acousto-optique (MAO)

On s'intéressera dans un premier temps à la réflexion d'une onde lumineuse sur un dioptre plan, préalable nécessaire à la modélisation d'un MAO. On note c la célérité de la lumière dans le vide.
On considère deux milieux, diélectriques (isolants) transparents, non chargés, linéaires, homogènes et isotropes d'indices réels respectifs n et n^′ dont l'interface de séparation est le dioptre plan d'équation z = 0. Le milieu d'indice n occupe le demi-espace z > 0 et le milieu d'indice n^′ le demi-espace z < 0 (voir figure 2).
Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation temporelle ω se propage dans le milieu d'indice n. Dans le référentiel centré sur O, on note E⃗_i_–(M, t) = E_0 exp[j(ωt − k⃗_i ⋅ OM^(→−))]eˆ_y la représentation complexe du champ électrique au point M associé à cette onde. En notant c la célérité de la lumière dans le vide, le vecteur d'onde k⃗_i = (nω)/ceˆ_i définit l'angle d'incidence θ par rapport à la normale au dioptre.
En notation complexe, les champs électriques réfléchis et transmis s'écrivent :
⋄E⃗_r_–(M, t) = RE_0 exp[j(ωt − k⃗_r ⋅ OM^(→−))]eˆ_y, où le vecteur d'onde k⃗_r = (nω)/ceˆ_r définit l'angle de réflexion θ_r.
⋄E⃗_t_–(M, t) = TE_0 exp[j(ωt − k⃗_t ⋅ OM^(→−))]eˆ_y, où le vecteur d'onde k⃗_t = (n^′ ω)/ceˆ_t définit l'angle de réfraction θ^′.
Exceptionnellement, les coefficients R et T de réflexion et transmission en amplitude ont été notés avec des majuscules pour éviter de confondre T et le temps t.
Figure 2 - Réflexion et réfraction d'une onde lumineuse sur un dioptre plan.
  • 6 - A partir de considérations sur la polarisation des ondes planes incidente, réfléchie et transmise, déduire les valeurs de k_(iy), k_(ry) et k_(ty), composantes selon y des vecteurs d'onde incident, réfléchi et transmis respectivement. Montrer que l'on peut restreindre le domaine d'étude à un plan que l'on précisera.
  • 7 - Démontrer les lois de Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction à l'interface entre les deux milieux.
  • 8 - Déterminer les expressions (en complexes) des champs magnétiques B⃗_i_–, B⃗_r_– et B⃗_t_– (champs incident, réfléchi et transmis respectivement) dans la base ( O, eˆ_x, eˆ_y, eˆ_z ). Expliquer pourquoi le champ magnétique est continu à l'interface entre les deux milieux. En traduisant cette continuité, montrer que les expressions des coefficients de réflexion R et de transmission
    T en amplitude à l'interface s'écrivent :
R = (ncosθ − n^′ cosθ^′)/(ncosθ + n^′ cosθ^′) et T = (2ncosθ)/(ncosθ + n^′ cosθ^′)
On se place dans le cas particulier d'un faible saut d'indice de part et d'autre du dioptre. On note alors n^′ = n + δn et θ^′ = θ + δθ où δn et δθ sont des infiniment petits d'ordre 1 .
  • 9 - Au premier ordre, déterminer la relation liant δθ à n, δn et θ.
  • 10 - Montrer que, au premier ordre, l'expression du coefficient de réflexion du dioptre peut alors s'écrire sous la forme (− δn)/(2ncos^2 θ). On notera δR cette expression dans la suite.
    Un modulateur acousto-optique est un cristal dans lequel se propage une onde acoustique plane générée par une céramique piézoélectrique dans la direction Oz. On suppose que le passage de l'onde sonore dans ce milieu entraîne une modulation de son indice n(M, t) telle que :
n(M, t) = n_0 + n_1 cos(Ωt − Kz)
où n_0 représente l'indice du milieu non perturbé et n_1 l'amplitude de la modulation d'indice avec n_1≪n_0. On note Ω la pulsation temporelle et K = (2π)/Λ la pulsation spatiale (norme du vecteur d'onde) associées à l'onde acoustique de longueur d'onde Λ dans le milieu. On modélise le cristal (d'épaisseur e dans la direction Oz ) comme une succession continue de tranches infinitésimales d'épaisseur dz≪e et de grandes dimensions selon Ox et Oy.
Ce cristal est traversé par une onde lumineuse de pulsation temporelle ω, de longueur d'onde dans le milieu λ et dont le vecteur d'onde est k⃗, avec ‖k⃗‖ = (2π)/λ (voir figure 3).
Figure 3 - Interaction d'une onde lumineuse et d'un milieu perturbé par le passage d'une onde acoustique.
L'indice du milieu étant partout très peu différent de sa valeur moyenne n_0, on pourra considérer en bonne approximation que la lumière se propage en ligne droite et garde une amplitude pratiquement constante égale à E_0. Cependant, chaque tranche d'épaisseur dz peut être considérée comme un faible saut d'indice δn = (∂n)/(∂z) dz et réfléchit une onde élémentaire d'amplitude très faible devant E_0.
On note α l'angle complémentaire de l'angle θ introduit précédemment. L'angle α correspond donc, au signe près, à l'angle d'incidence de l'onde lumineuse sur la face d'entrée du cristal (on néglige le phénomène de réfraction lorsque la lumière pénètre dans le cristal). En résumé, on ne tient compte de la non uniformité de l'indice que pour expliquer le phénomène de réflexion.
11 - Exprimer le coefficient de réflexion δR(z, t) au niveau d'un plan d'équation z = cte (interface entre deux couches consécutives) en fonction de α, dz et des données relatives à l'indice du milieu. On rappelle que n ≃ n_0 en tout point du cristal.
  • 12 - On choisit comme référence de phase l'onde réfléchie par l'interface z = 0. Exprimer, en fonction de α, k et z, le déphasage φ(z) de l'onde élémentaire réfléchie par l'interface z par rapport à celle réfléchie par l'interface z = 0.
  • 13 - La superposition des ondes élémentaires réfléchies par chaque interface constitue l'onde totale réfléchie dont la représentation scalaire complexe E_r_– s'exprime sous la forme E_r_– = ∫_(− e/2)^(e/2)δRE_0 exp[j(ωt + φ(z))]. En introduisant la fonction sinus cardinal définie par sincx = (sinx)/x pour x ≠ 0 et sincx = 1 pour x = 0, montrer que :
E_r_– = A_–exp(jωt)[exp(jβ(t))sinc((K − 2ksinα)e/2) − exp(− jβ(t))sinc((K + 2ksinα)e/2)]
où l'on précisera les expressions des grandeurs A_– et β(t).
14- Montrer que les deux termes contribuant à l'amplitude de l'onde réfléchie sont respectivement maximaux pour deux valeurs de α opposées, notées ± α_B et appelées angles de Bragg. On donnera l'expression de α_B > 0 en fonction de k et K puis en fonction de λ et Λ. L'angle α_B existe-t-il toujours?
15- Vérifier que, à l'incidence de Bragg, les ondes élémentaires réfléchies aux interfaces z et z + Λ interfèrent de manière constructive.
  • 16 - On donne e ≃ 2, 0 mm, Λ ≃ 50μ m, n_0 ≃ 2, 0 et la longueur d'onde dans le vide de l'onde lumineuse λ_0 ≃ 0, 60μ m. Montrer que le profil de l'intensité lumineuse (ou éclairement) réfléchie en fonction de sinα se limite en bonne approximation à deux pics très étroits centrés sur ± sinα_B et dont on précisera (littéralement et numériquement) la largeur, notée Δsinα. On envisage alors le cas α = + α_B. Montrer que l'onde lumineuse réfléchie est décalée en fréquence par rapport à l'onde incidente (et transmise). Caractériser ce décalage.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Interférométrie hétérodyne

Un faisceau laser Hélium-Néon (λ_0 = 632, 8 nm) est envoyé sous incidence de Bragg (α = α_B) à travers le modulateur acousto-optique modélisé dans la partie II. Deux faisceaux émergent du dispositif : le faisceau transmis (ordre 0 ), non dévié et de pulsation temporelle ω, est séparé du faisceau réfléchi (ordre 1), de pulsation ω + Ω. Ces faisceaux sont ensuite recombinés au moyen de deux miroirs et d'une lame semi-réfléchissante (analogue à la séparatrice d'un interféromètre de Michelson). On enregistre l'intensité lumineuse totale sur un détecteur (photodiode) dont le temps de réponse τ vérifie (2π)/ω≪τ≪(2π)/Ω (voir figure 4).
Figure 4 - Dispositif expérimental pour l'interférométrie hétérodyne.
On note A_0_– = a_0 exp(jωt) et A_1_– = a_1 exp[j[(ω + Ω)t + φ(t)]] les vibrations scalaires complexes respectives des champs électriques associés aux ordres 0 et 1 qui interfèrent au niveau du détecteur. La grandeur φ(t) représente le déphasage dû à la différence de chemin optique entre ces deux ondes. La photodiode délivre un courant i(t) proportionnel à l'intensité lumineuse reçue sur le détecteur et dont on élimine la composante continue par filtrage. On note S(t) le signal filtré après la sortie du système de détection puis observé à l'analyseur de spectre.
  • 17 - En quoi l'utilisation d'un MAO rend-il ce montage interférométrique particulier? Pourquoi parle-t-on d'interférométrie hétérodyne?
  • 18 - Déterminer l'intensité lumineuse reçue au niveau du détecteur. En déduire l'expression du signal S(t) en fonction de Ω, t, φ(t) et de l'amplitude maximale de S(t) que l'on notera S_0. L'expérience montre que la qualité de la superposition des deux faisceaux après la lame séparatrice est critique. S'ils ne coïncident pas parfaitement sur la photodiode, le signal S(t) est très faible, voire inexistant. Expliquer pourquoi.
L'un des miroirs (appelé miroir mobile sur la figure 4) est porté par une céramique piézoélectrique excitée par une tension sinusoïdale de fréquence f = 100kHz. Le miroir garde une direction fixe par rapport à la lumière incidente et son mouvement est alors une translation caractérisée par la distance algébrique d_A(t) = d_0 sin(2πft). On note φ_0 le déphasage dû à la différence de chemin optique entre les rayons d'ordres 0 et 1 lorsque d_A = 0.
19 - Déterminer φ(t) en fonction de φ_0, λ_0, d_0, f et de l'angle d'incidence i du faisceau d'ordre 1 sur le miroir mobile (angle entre la normale au miroir mobile et le faisceau frappant ce miroir). Pourquoi dit-on que le signal S(t) est modulé en phase?
  • 20 - Exprimer le signal S(t) dans le cas des faibles amplitudes de vibrations du miroir mobile ( d_0≪λ_0 ). On montrera en particulier que l'observation du signal S(t) à l'analyseur de spectre fait apparaître, de part et d'autre d'un pic central à la fréquence Ω/2π, deux pics latéraux décalés de ± f et dont on exprimera l'amplitude S_1 en fonction de S_0, d_0, i et λ_0.
  • 21 - En déduire qu'une mesure relative des amplitudes S_1 et S_0 permet de déterminer directement l'amplitude d_0 de vibration du miroir. On suppose qu'un analyseur de spectre peut mesurer, sur une échelle en décibels, une variation relative d'amplitude (S_1)/(S_0)de − 60 dB, ce rapport étant limité par le bruit sur le signal de photodétection. Calculer l'amplitude de vibration minimale d_(0 min) mesurable par cette méthode. On donne i = 15, 0^∘. Commenter le résultat. Vérifier également l'approximation initiale des faibles amplitudes de vibrations.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines PSI 2013 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 1 Mines PSI 2013 ?

Le sujet porte sur les ondes acoustiques dans un milieu compressible, la thermodynamique des gaz parfaits et l'optique ondulatoire, à travers l'étude de la modulation acousto-optique et de la détection hétérodyne.

Le sujet de physique 1 Mines PSI 2013 est-il difficile ?

Le rapport indique une difficulté très progressive qui a permis de bien classer les candidats, avec d'excellentes copies rigoureuses mais aussi de nombreuses copies présentant des manipulations malhonnêtes des calculs.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines PSI 2013 ?

Le jury relève des calculs escamotés ou des formules modifiées pour retrouver le résultat attendu, une confusion entre pression et force de pression, une erreur sur l'unité des masses molaires et des confusions entre amplitude et éclairement.

Pas de description pour le moment