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Mines Mathématiques 1 PSI 2013Sujet et rapport du jury

Le flot de Toda

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Le flot de Toda : tridiagonalisation, matrices de Jacobi et paires de Lax
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Le problème étudie le flot de Toda en combinant algèbre linéaire et analyse. Il commence par une tridiagonalisation à l'aide de matrices de Householder, introduit les matrices de Jacobi, étudie des paires de Lax, puis termine par une étude asymptotique reposant sur une équation différentielle et des questions d'intégrabilité.

  1. 11. TridiagonalisationUtiliser des matrices de Householder pour tridiagonaliser une matrice symétrique réelle par blocs.
  2. 22. Matrices de JacobiEtudier les propriétés des matrices de Jacobi issues de la tridiagonalisation.
  3. 33. Paires de LaxEtudier des paires de Lax associées au système considéré.
  4. 44. Etude asymptotiqueEtudier le comportement asymptotique des solutions à l'aide d'une équation différentielle linéaire et de questions d'intégrabilité.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un énoncé de longueur globalement raisonnable qui a su départager les candidats, les meilleurs parvenant à le résoudre dans sa quasi-intégralité.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Notion de vecteur unitaire mal interprétée · Matrices semblables confondues avec matrices congruentes · Caractère linéaire de l'équation non souligné
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L'épreuve combinait algèbre et analyse sur des domaines variés, permettant à chaque candidat de faire valoir sa compréhension sur des points élémentaires. Le jury regrette quelques copies trop courtes où les candidats ne traitent pas les points accessibles en fin d'épreuve pour s'être trop attardés sur le début.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Notion de vecteur unitaire mal interprétéeQ1

    La notion de vecteur unitaire, non rappelée dans l'énoncé, a parfois été mal interprétée à la question 1.

  2. 2
    Matrices semblables confondues avec matrices congruentesQ5

    La notion de matrices semblables est parfois confondue avec celle, hors programme, de matrices congruentes.

  3. 3
    Caractère linéaire de l'équation non soulignéQ9

    Les candidats repèrent souvent qu'il s'agit d'un problème de Cauchy mais trop peu soulignent que l'équation est linéaire, ce qui assure l'existence d'une solution définie sur R.

  4. 4
    Non bornée confondue avec divergence vers l'infiniQ12

    Beaucoup réinterprètent le fait qu'une fonction ne soit pas bornée par le fait qu'elle diverge vers l'infini en un point.

  5. 5
    Intégrabilité confondue avec limite nulleQ15

    L'intégrabilité d'une fonction ne suffit pas à justifier qu'elle tend vers 0 en plus l'infini.

    « L'intégrabilité de αi 2 ne suffit pas à justifier que αi est de limite nulle en +∞ »

Ce qui a été bien réussi

  • Bon nombre de candidats tiennent compte des remarques des années précédentes, avec moins de tentatives d'intoxication du correcteur par des calculs artificiels

Conseils du jury

  • Ne pas s'attarder excessivement sur le début du sujet afin de pouvoir traiter les points accessibles en fin d'épreuve.
  • Argumenter précisément les propriétés utilisées, par exemple la diagonalisabilité pour justifier un cardinal.
  • Eviter les assertions du type il est évident que sans justification.
  • Soigner l'orthographe et la présentation de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le flot de Toda

On note R l'ensemble des nombres réels, i la matrice unité d'ordre m et e_j le j-ème vecteur de la base canonique de R^m dont les composantes sont les δ_(ij), i = 1, m. On rappelle que δ_(ij) = 0 si j ≠ i et δ_(ij) = 1 si j = i.
On note ( u|v ) le produit scalaire des vecteurs u et v de R. Les vecteurs de R^m seront assimilés à des matrices colonnes; ^t u note le transposé du vecteur u.
L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 ≤ i ≤ m."

1 Tridiagonalisation

Soit u un vecteur unitaire de R^m; la matrice
H = I − 2u^t u,
est la matrice de Householder d'ordre m associée au vecteur u.
Question 1 Montrer que Hu = − u et que Hv = v dès que v est orthogonal à u.
Question 2 Démontrer que H est symétrique et orthogonale.
Question 3 Soit g ∈ R^m, de composantes γ_i, 1 ≤ i ≤ m, un vecteur unitaire non colinéaire à e_1. On pose u = (g − e_1)/√(2(1 − γ_1)), montrer que u est unitaire et que Hg = e_1.
Question 4 En déduire que si x est un vecteur de R^m non colinéaire à e_1, il existe un vecteur unitaire u et une matrice de Householder associée H telle que Hx = ‖x‖e_1.
Soient c un réel, Q une matrice symétrique réelle d'ordre m − 1, q_(21) un vecteur de R^(m − 1) et Qˆ = (c, ^t q_(21); q_(21), Q) une matrice définie par blocs. Si H_1 est une matrice de Householder d'ordre m − 1; on pose H_1 ˆ = (1, ζ; ζ, H_1), où ζ note le vecteur nul dans R^(m − 1), ainsi que Sˆ = H_1 QˆH_1 ˆ = (σˆ_(ij))_(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m).
Question 5 Montrer que Sˆ est semblable à Qˆ et qu'on peut choisir H_1 de telle sorte que σˆ_(i1) = σˆ_(1i) = 0 pour i = 3, m.
On dit qu'une matrice T = (τ_(ij))_(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m) est tridiagonale si τ_(ij) = 0 dès que |i − j| > 1.
Question 6 En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable à Qˆ.

2 Matrices de Jacobi

Une matrice tridiagonale symétrique réelle est encore appelée matrice de Jacobi. Soit
T_0 = (b_1, a_1, 0, ⋯, 0; a_1, b_2, a_2, ⋱, ⋮; 0, a_2, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, a_(m − 1); 0, ⋯, 0, a_(m − 1), b_m)
une matrice de Jacobi d'ordre m. On pose a_0 = a_m = 0 et on suppose que a_i ≠ 0, i = 1, m − 1. On note σ(T_0) le spectre de T_0, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres.
Question 7 Soit λ ∈ σ(T_0) et x un vecteur propre associé de composantes ξ_j, j = 1, m. En raisonnant par l'absurde, montrer que ξ_m ≠ 0.
Question 8 Démontrer que les sous-espaces propres de T_0 sont de dimension 1. Quel est le cardinal de σ(T_0) ?

3 Paires de Lax

On remplace désormais les a_i et les b_i par des fonctions à valeurs réelles α_i et β_i de la variable réelle t. On pose alors
T(t) = (β_1(t), α_1(t), 0, ⋯, 0; α_1(t), β_2(t), α_2(t), ⋱, ⋮; 0, α_2(t), ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, α_(m − 1)(t); 0, ⋯, 0, α_(m − 1)(t), β_m(t))
ainsi que
U(t) = (0, α_1(t), 0, ⋯, 0; − α_1(t), 0, α_2(t), ⋱, ⋮; 0, − α_2(t), ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, α_(m − 1)(t); 0, ⋯, 0, − α_(m − 1)(t), 0)
et on étudie le système différentiel non linéaire suivant :
{T^′(t) = U(t)T(t) − T(t)U(t), t ∈ R; T(0) = T_0 donné par (2)
dont on admettra qu'il possède une solution et une seule T(t) définie sur R. Le couple (T(t), U(t)) constitue une paire de Lax.
Question 9 Etant donnée T(t) solution de (5), et donc U(t), démontrer que le système différentiel
{v^′(t) = U(t)V(t), t ∈ R; V(0) = I,
admet une solution et une seule V(t) sur R.
Question 10 Montrer que pour tout t ∈ R, la matrice V(t) solution de (6) est orthogonale.
Question 11 Montrer que ^t V(t)T(t)V(t) est une matrice constante que l'on déterminera. Les valeurs propres de T(t) dépendent-elles de t ?
On montre facilement, et on admettra, que le système différentiel (5) peut s'écrire sous la forme suivante :
{α_i^′(t) = α_i(t)(β_(i + 1)(t) − β_i(t)), i = 1, m − 1; β_i^′(t) = 2(α_i^2(t) − α_(i − 1)^2(t)), i = 1, m
avec α_i(0) = a_i, i = 1, m − 1, β_i(0) = b_i, i = 1, m et α_0(t) = 0 = α_m(t)∀t ∈ R. C'est le système de Toda.

4 Etude asymptotique

Pour tout réel t, on pose
L(t) = ∑_(i = 1)^(m − 1)α_i^2(t) + 1/2∑_(i = 1)^m β_i^2(t)
Question 12 Montrer que la fonction L est constante. En déduire que les fonctions β_i sont bornées sur R, soit par D.
Question 13 Pour 1 ≤ i ≤ m − 1, montrer que 2∫_0^t α_i^2(t)dt = ∑_(j = 1, i)(β_j(t) − b_j) et en déduire que les α_i^2 sont intégrables sur R.
Question 14 En déduire que les β_i(t), i = 1, m possèdent une limite quand t → ± ∞.
Question 15 Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction α_i α_i^′ est intégrable sur R. En déduire la limite de α_i(t) lorsque t → ± ∞.
On note χ_t(λ) = det(λI − T(t)) le polynôme caractéristique de la matrice T(t) et λ_i, i = 1, m les valeurs propres de T rangées dans l'ordre décroissant.
Les limites de β_i(t) pour t → + ∞ ou t → − ∞ seront respectivement notées β_i^+ et β_i^−; l'ensemble des β_i^+, i = 1, m sera noté B^+et celui des β_i^−sera noté B^−.
Question 16 Montrer que pour tout λ ∈ R, χ_t(λ) tend vers ∏_(i = 1, m)(λ − β_i^+)(respectivement vers ∏_(i = 1, m)(λ − β_i^−)) lorsque t → + ∞ (respectivement − ∞ ).
Question 17 En déduire que σ(T) = B^+ = B^−.
On rappelle que, par hypothèse, α_i(0) = a_i ≠ 0, i = 1, m − 1.
Pour i fixé compris entre 1 et m − 1, on note A^+ = {t > 0|α_i(t) = 0} et A^− = {t < 0|α_i(t) = 0}.
Question 18 On suppose que A^+n'est pas vide et on pose τ = inf{t|t ∈ A^+}. Déterminer la valeur de α_i(τ) et montrer que pour t ∈ ]0, τ[, α_i(t) est du même signe que a_i.
Question 19 En supposant toujours que A^+n'est pas vide, montrer que
∀t ∈ [0, τ[, |ln|α_i(t)| − ln|α_i(0)|| ≤ 2Dτ.
En déduire que nécessairement A^+ = ∅, puis que α_i ne s'annule en aucun point de R.
Question 20 En raisonnant par l'absurde, montrer que β_(i + 1)^+ < β_i^+, i = 1, m − 1; en déduire que β_i^+ = λ_i, i = 1, m.
Question 21 Montrer que si δ est choisi tel que 0 < δ < β_i^+ − β_(i + 1)^+, i = 1, m − 1, alors il existe S et C strictement positifs tels que ∀s > S, |α_i(s)| < Ce^(− δs), i = 1, m − 1. En déduire que pour t > S, ∃C^′ > 0 tel que |λ_i − β_i(t)| < C^′ e^(− 2δt), i = 1, m.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2013 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Mines PSI 2013 ?

Il porte sur le flot de Toda, avec une tridiagonalisation par matrices de Householder, des matrices de Jacobi, des paires de Lax et une étude asymptotique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une confusion entre matrices semblables et congruentes, l'omission du caractère linéaire d'une équation différentielle, et une confusion entre non bornée et divergence vers l'infini.

Ce sujet de mathématiques PSI est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable et capable de départager les candidats, les meilleurs parvenant à le résoudre presque entièrement.

Pas de description pour le moment