WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques PSI 2013Sujet et corrigé

4,0(1 vote)
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2013FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales X-ENS PSI MathématiquesX-ENS PSI 2013PSI MathématiquesMathématiques 2013

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Étude d'une famille d'intégrales à paramètre et application à un modèle d'acoustique des gaz raréfiés
Afficher ou masquer la section

Ce sujet de mathématiques, filière PSI, banque commune Polytechnique - ENS de Cachan, étudie une fonction T_m(x) définie par une intégrale à paramètre : convergence, continuité, dérivabilité, relations de récurrence, développement en série entière et comportement asymptotique. Ces résultats servent ensuite à démontrer, par un théorème de point fixe, l'existence et l'unicité de solutions d'équations intégrales issues d'un modèle simplifié de l'acoustique des gaz raréfiés.

  1. 1Questions 1 à 3 : définition et régularité de T_mÉtudie la convergence de l'intégrale définissant T_m(x), la continuité de T_m et sa dérivabilité, avec le calcul de T_m'.
  2. 2Questions 4 à 5 : relation de récurrence et développement en série entièreÉtablit une relation liant T_m(x) à T_{m-2}(x) et T_{m-3}(x), puis démontre le développement de T_k en série entière au voisinage de x=1.
  3. 3Questions 6 à 7 : comportement asymptotique et majoration de T_mObtient un encadrement puis un équivalent asymptotique de T_m(x) quand x tend vers l'infini, et majore T_{-1}(x) ainsi qu'un opérateur intégral associé.
  4. 4Questions 8 à 9 : équation intégrale et théorème de point fixeUtilise un théorème de point fixe admis pour démontrer l'existence et l'unicité de solutions d'équations intégrales issues d'un modèle simplifié de l'acoustique des gaz raréfiés.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan

PSI

Session 2013

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heuresAucun document n'est autoriséAucune calculatrice n'est autorisée

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note ℕ l'ensemble des entiers naturels, ℝ l'ensemble des nombres réels, ℝ_+l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, ℝ_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs, ℝ_−^∗ l'ensemble des nombres réels strictement négatifs, et ℝ^∗ = ℝ − {0}.
Pour I intervalle de ℝ, on note C(I) l'ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans ℝ. Pour une fonction f continue et bornée sur I, on pose ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ I)|f(x)|.
On note pour x ∈ ℝ_+et m ∈ ℝ
T_m(x) = ∫_0^∞t^m e^(− (t^2 + x/t))dt
On pourra librement utiliser la formule T_0(0) = (√π)/2.
  1. a) Montrer que si x ∈ ℝ_+^∗ et m ∈ ℝ, l'intégrale qui définit T_m(x) est convergente.
    b) Quel est l'intervalle A des m ∈ ℝ tels que l'intégrale qui définit T_m(0) est convergente?
    c) Calculer T_(2k)(0) et T_(2k + 1)(0) pour k ∈ ℕ (en fonction de k! et (2k) !).
  2. a) Soit m ∈ A. Montrer que T_m est continue sur ℝ_+.
    b) Soit m ∈ ℝ. Montrer que T_m est continue sur ℝ_+^∗.
    c) Montrer que pour x ∈ ℝ_+^∗ et m ∈ ℝ,
T_m(x) ≥ e^(− 1)∫_0^1 t^m e^(− x/t)dt
En déduire la valeur de lim_(x → 0^+)T_m(x) lorsque m ∉ A, en utilisant le changement de variable w = x/t.
3. a) Soit m ∈ ℝ. Montrer que T_m est de Classe C^1 sur ℝ_+^∗, et calculer T_m^′ en fonction de T_(m − 1).
b) Soit m ∈ ℝ. La fonction T_m est-elle de classe C^∞ sur ℝ_+^∗ ? Quel est le sens de variation de T_m sur ℝ_+^∗ ? La fonction T_m est-elle convexe sur ℝ_+^∗ ?
c) Discuter en fonction de m ∈ ℝ la dérivabilité à droite de T_m en 0 .
4. a) Soit x ∈ ℝ_+^∗ et m ∈ ℝ. Calculer T_m(x) en fonction de T_(m − 2)(x) et T_(m − 3)(x). On pourra pour cela considérer la quantité
∫_A^B t^(m − 1)(2t − x/t^2)e^(− (t^2 + x/t))dt
pour 0 < A < B.
b) Soit m ∈ ℝ. trouver une relation entre xT_m^(′′′)(x), T_m^(′′)(x) et T_m(x) pour x ∈ ℝ_+^∗.
5. a) Soit x ∈ ℝ_+^∗ et m ∈ ℝ. Effectuer le changement de variable t = 1/u dans l'intégrale qui définit T_m. On justifiera soigneusement le calcul.
b) Soit n ∈ ℕ. Justifier l'existence de la quantité ∫_0^∞u^n e^(− u)du et la calculer.
c) Montrer que pour m ∈ ℕ − {0, 1}, T_(− m)(1) ≤ (m − 2) !.
d) Soit k ∈ ℕ. Montrer que le rayon de convergence R de la série entière ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/(n!)T_(k − n)(1)x^n vérifie R ≥ 1.
e) Soit k ∈ ℕ. Montrer que pour x ∈ ] − 1, 1[,
T_k(1 + x) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/(n!)T_(k − n)(1)x^n
  1. Pour t, x ∈ ℝ_+^∗, on pose g(t, x) = t^2 + x/t.
    a) Montrer que pour x ∈ ℝ_+^∗, la fonction t ∈ ℝ_+^∗ ↦ g(t, x) est convexe et admet un unique minimum en t = M(x), que l'on déterminera. Calculer g(M(x), x).
    b) Soit m ∈ ℝ_+, et x ∈ ℝ_+^∗. Montrer en utilisant l'inégalité M(x) ≤ x^(1/3) que
T_m(x) ≤ ∫_0^(x^(1/3))t^m e^(− g(t, x))dt + e^(− (19)/(10)x^(2/3))(∫_(x^(1/3))^∞t^m e^(− (t^2)/(20))dt)
c) Montrer que pour tout ε > 0 (et m ∈ ℝ_+), l'on peut trouver C > 0 tel que
∀t ≥ 1, t^m ≤ Cte^(εt^2)
En déduire que pour tout ε > 0,
e^(− (19)/(10)x^(2/3))(∫_(x^(1/3))^∞t^m e^(− (t^2)/(20))dt) = O_(x → ∞)(e^(− [(39)/(20) − ε]x^(2/3)))
d) Montrer que
T_m(x) = O_(x → ∞)(x^((m + 1)/3)e^(− 3(x/2)^(2/3)))
  1. a) Montrer que pour x ∈ ℝ_+^∗,
T_(− 1)(x) ≤ ∫_0^1 e^(− 1/u^2)(du)/u + ∫_1^∞e^(− xu)(du)/u
En déduire que T_(− 1)(x) ≤ 2 pour x ≥ 1 et que
T_(− 1)(x) ≤ 2 + ∫_x^1 e^(− w)(dw)/w ≤ 2 − lnx
si 0 < x ≤ 1.
b) Soit L ∈ [0, 1], et ρ ∈ C([0, L]). On pose
[F(ρ)](x) = ∫_0^L ρ(y)T_(− 1)(|x − y|)dy
Montrer que [F(ρ)](x) est bien définie pour x ∈ [0, L] et que
‖F(ρ)‖_∞ ≤ (4L + 2L|lnL|)‖ρ‖_∞
  1. Soit L > 0, ρ ∈ C([0, L]), et g_0 continue et intégrable sur ℝ_+. On pose pour x ∈ [0, L] et v ∈ ℝ^∗ :
g(x, v) = 2/(√π)(e^(− v^2))/(|v|)∫_x^L ρ(y)e^(− (x − y)/v)dy, si v < 0; g(x, v) = 2/(√π)(e^(− v^2))/(|v|)∫_0^x ρ(y)e^(− (x − y)/v)dy + g_0(v)e^(− x/v), si v > 0
a) Montrer que α : x ∈ [0, L] ↦ ∫_0^∞g_0(v)e^(− x/v)dv définit une fonction de C([0, L]).
b) Montrer que pour v ∈ ℝ^∗, la fonction x ∈ [0, L] ↦ g(x, v) est de classe C^1 sur [0, L] et
∀x ∈ [0, L], v ∈ ℝ^∗, v(∂g)/(∂x)(x, v) = ρ(x)2/(√π)e^(− v^2) − g(x, v); ∀v ∈ ℝ_+^∗, g(0, v) = g_0(v), ∀v ∈ ℝ_−^∗, g(L, v) = 0
  1. On admet dans cette question le théorème suivant : Soit L > 0. Si H est une application de C([0, L]) dans C([0, L]) vérifiant
∃k ∈ [0, 1[, ∀ρ_1, ρ_2 ∈ C([0, L]), ‖H(ρ_1) − H(ρ_2)‖_∞ ≤ k‖ρ_1 − ρ_2‖_∞
alors il existe un unique ρ ∈ C([0, L]) tel que H(ρ) = ρ.
a) Soit L > 0 et α~ ∈ C([0, L]). Montrer que si L ∈ ]0, 1/20[, il existe une unique fonction ρ~ ∈ C([0, L]) telle que
∀x ∈ [0, L], ρ~(x) = α~(x) + 2/(√π)∫_0^L ρ~(y)T_(− 1)(|x − y|)dy
b) Soit L ∈ ]0, 1/20[, et g_0 continue et intégrable sur ℝ_+. Montrer qu'il existe une fonction g~ de [0, L] × ℝ dans ℝ telle que
∀v ∈ ℝ^∗, g~(⋅, v) est de classe C^1 sur [0, L],; ∀x ∈ [0, L], g~(x, ⋅) est intégrable sur ℝ_+^∗ et ℝ_−^∗,
∀x ∈ [0, L], v ∈ ℝ^∗, v(∂g~)/(∂x)(x, v) = (∫_(ℝ_+^∗)g~(x, w)dw + ∫_(ℝ_−^∗)g~(x, w)dw)2/(√π)e^(− v^2) − g~(x, v)
∀v ∈ ℝ_+^∗, g~(0, v) = g_0(v), ∀v ∈ ℝ_−^∗, g~(L, v) = 0
L'équation pour laquelle on a démontré un théorème d'existence est un modèle simplifié pour l'acoustique des gaz raréfiés.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI Polytechnique - ENS de Cachan 2013 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI Polytechnique - ENS de Cachan 2013 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une intégrale à paramètre (convergence, continuité, dérivabilité, développement en série entière, comportement asymptotique) et sur l'existence de solutions d'équations intégrales par un théorème de point fixe.

Faut-il connaître le théorème du point fixe pour traiter ce sujet ?

Le théorème est admis et énoncé dans le sujet lui-même, il n'est donc pas nécessaire de le connaître au préalable ; il faut savoir l'appliquer.

Quel est le lien entre ce sujet de mathématiques et la physique ?

Le sujet conclut en indiquant que l'équation intégrale étudiée constitue un modèle simplifié pour l'acoustique des gaz raréfiés.

Le sujet est-il découpé en parties indépendantes ?

L'énoncé ne mentionne pas de parties indépendantes : les questions s'enchaînent et les résultats des premières questions sont réutilisés dans les suivantes.

Pas de description pour le moment