WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 PSI 2012Sujet et rapport du jury

Le sinus lemniscatique

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2012FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales Mines PSI MathématiquesMines PSI 2012PSI MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile
Le sinus lemniscatique : de la lemniscate de Bernoulli à la formule de Fagnano
Afficher ou masquer la section

Le sujet de mathématiques 1 de la filière PSI au concours Mines-Ponts 2012 construit la fonction « sinus lemniscatique » à partir de l'étude géométrique de la lemniscate de Bernoulli. Il mobilise ensuite les séries entières et les équations différentielles pour aboutir à la démonstration de la formule de Fagnano. Le rapport précise que ce sujet est identique à celui de Mathématiques I filière PC de la même session.

  1. 11. La lemniscate de BernoulliÉtude géométrique de la courbe en coordonnées polaires : équation, symétries, tangentes à l'origine.
  2. 22. Le sinus lemniscatiqueConstruction de la fonction F par une intégrale, étude de sa continuité, de son développement en série entière et de sa fonction réciproque.
  3. 33. Équation différentielleDémonstration que la fonction sl vérifie une équation différentielle non linéaire du second ordre.
  4. 44. Le calcul trigonométrique généraliséFormule d'addition pour sl et démonstration finale de la formule de Fagnano.

Difficile. Le rapport indique que les copies ont été, pour une grande partie, très peu convaincantes, et que plusieurs questions classiques (symétries, tangentes à l'origine, convergence d'une intégrale) ont été mal traitées ou quasiment pas abordées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Symétries de la lemniscate mal justifiées · Tangentes à l'origine en polaires méconnues · Convergence d'une intégrale impropre mal maîtrisée
Afficher ou masquer la section

Le jury constate que ce sujet de mathématiques très classiques n'a pas inspiré les candidats : une grande partie des copies est jugée peu convaincante. Plusieurs questions portant sur des résultats de cours pourtant élémentaires ont été mal traitées ou quasiment pas abordées, notamment celles portant sur les symétries, les tangentes à l'origine et le tracé de graphes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Symétries de la lemniscate mal justifiéesQ1

    À la question 1, il fallait justifier les symétries de la courbe par un argument rigoureux, en polaires ou à partir de l'équation cartésienne qui ne dépend que de x² et y².

  2. 2
    Tangentes à l'origine en polaires méconnuesQ3

    Peu de candidats connaissent le résultat de cours donnant l'argument des tangentes à l'origine à partir des valeurs d'annulation de ρ(θ).

  3. 3
    Convergence d'une intégrale impropre mal maîtriséeQ5

    À la question 5, plusieurs erreurs reviennent : croire la fonction intégrée bornée, ou confondre la primitive avec un arcsinus, révélant un manque de pratique sur la convergence des intégrales.

    « Les correcteurs ont été très surpris du peu de réponses correctes apportées par les candidats à cette question. »
  4. 4
    Tracé de graphe peu maîtriséQ8

    La grande variété des graphes proposés pour la fonction F montre que la majorité des candidats ne sait pas tracer correctement le graphe d'une fonction, en indiquant parité, monotonie, limites et points d'inflexion.

    « L’ensemble des fonctions dont le graphe a été tracé par les candidats est une partie dense de C[−1, 1] ! »
  5. 5
    Argument de convergence uniforme oubliéQ11

    La preuve que F(1) = σ nécessitait un argument de convergence uniforme qui a échappé à la plupart des candidats ayant abordé la question.

    « La preuve de F (1) = σ nécessitait un argument de convergence uniforme qui a échappé à beaucoup des candidats ayant abordé cette question. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 9, sur le développement de F en série entière, a été globalement bien traitée.
  • Les questions Q17, Q23, ainsi que dans une moindre mesure Q12 à Q15, ont été significativement abordées et traitées de façon convenable.

Conseils du jury

  • Soigner le tracé des graphes de fonctions en indiquant parité, monotonie, limites aux bornes et points d'inflexion.
  • Justifier rigoureusement les symétries d'une courbe, par exemple à partir de son équation cartésienne.
  • Consulter aussi le rapport de l'épreuve de Mathématiques I filière PC, qui portait sur le même sujet cette année-là.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

A 2012 MATH I PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sinus lemniscatique

Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels.

1 La lemniscate de Bernoulli

La lemniscate de Bernoulli (voir la Figure 1) est une courbe elliptique particulièrement simple d'équation implicite
(x^2 + y^2)^2 = x^2 − y^2.
Figure 1 - La lemniscate de Bernoulli
Question 1 Déterminer dans le quart de plan x ≥ 0, y ≤ 0, une équation polaire de la lemniscate sous la forme ρ = g(θ) où la fonction g est définie sur l'intervalle [ − π/4, 0]. Préciser les symétries permettant de recouvrer l'ensemble de la courbe.
Question 2 Montrer que g constitue une bijection de [ − π/4, 0] sur [0, 1].
Question 3 Déterminer les tangentes à la lemniscate en ( 0,0 )
Question 4 Déterminer dans le demi-plan x ≥ 0, une équation paramétrique de la lemniscate en fonction de ρ et en déduire que l'abscisse curviligne s vérifie l'équation différentielle suivante sur [0, 1] :
s^′(ρ) = 1/(√(1 − ρ^4))

2 Le sinus lemniscatique

Question 5 Montrer que l'intégrale ∫_0^1(dr)/(√(1 − r^4)) converge.
On note
σ = ∫_0^1(dr)/(√(1 − r^4))
Question 6 Que représente σ ?
On définit la fonction F sur l'intervalle [ − 1, 1] par l'expression suivante :
F(x) = ∫_0^x(dr)/(√(1 − r^4))
Question 7 Montrer que la fonction F est continue sur [ − 1, 1] et de classe C^∞ sur ]-1,1[.
Question 8 Dessiner le graphe de F et en préciser le tableau de variations.
Question 9 Montrer que F est développable en série entière sur ] − 1, 1[.
Question 10 Donner l'expression des coefficients a_n de cette série.
Question 11 Montrer que la série de terme général a_n converge (on pourra utiliser la formule de Stirling : n! ∼ √(2πn)n^n e^(− n) ) et a pour somme σ.
Question 12 Montrer que F admet une fonction réciproque F^(− 1), continue et impaire sur [ − σ, σ].
Question 13 Montrer que F^(− 1) est de classe C^1 sur ] − σ, σ[, calculer sa dérivée, en déduire qu'elle est de classe C^1 sur [ − σ, σ].
On prolonge la fonction F^(− 1) à [ − σ, 3σ] en opérant sur son graphe une symétrie par rapport à la droite x = σ, puis on prolonge F^(− 1) à R tout entier par périodicité, on note sl la fonction ainsi construite.
Question 14 Montrer que sl est de classe C^1 sur R et exprimer sa fonction dérivée sl^′ en fonction de sl .
Question 15 Tracer le graphe de sl sur [ − 3σ, 3σ].

3 Equation différentielle

Question 16 Montrer que sl est de classe C^2 et vérifie l'équation différentielle suivante sur R.
sl^(′′)(x) + 2sl^3(x) = 0
Soit f une solution de (5) sur R.
Question 17 Montrer que la fonction H définie par
H(x) = f^(′2)(x) + f^4(x)
est constante sur R. On note encore H cette constante.
On choisit désormais de considérer le cas où H > 0, et on définit la fonction φ par
φ(x) = F(H^(− 1/4)f(x)),
où F a été définie à la formule (4).
Question 18 Montrer que φ est de classe C^1 sur tout intervalle ouvert ]α, β [ où f^′ ne s'annule pas et calculer alors sa dérivée. En déduire qu'il existe une constante b ∈ R telle que
f(x) = H^(1/4)sl(H^(1/4)x + b)
pour tout x ∈ ]α, β[.
Question 19 En déduire que f^′ s'annule au moins une fois sur tout intervalle ouvert de longueur supérieure à 2σH^(− 1/4).
Question 20 Soit x_0 une racine de f^′, démontrer que f^(′′)(x_0) ≠ 0 et en déduire l'existence de u_1 et u_2, u_1 < x_0 < u_2, tels que f^′ ne s'annule pas sur ]u_1, x_0[ ∪ ]x_0, u_2[.
Question 21 Démontrer l'existence de x_1 = inf{x > x_0|f^′(x) = 0}. Montrer que x_1 > x_0 et f^′(x_1) = 0. En déduire la valeur de x_1 − x_0.
Question 22 De même on pose x_(− 1) = sup{x < x_0|f^′(x) = 0}. Montrer que f vérifie (8) pour tout x ∈ ]x_(− 1), x_1[, puis sur R tout entier.

4 Le calcul trigonométrique généralisé

La fonction cl est définie sur R par
cl(x) = (sl^′(x))/(1 + sl^2(x))
Question 23 Montrer que pour tout x réel on a
sl^2(x) + cl^2(x) = 1 − sl^2(x)cl^2(x)
Question 24 Calculer la fonction dérivée cl^′ de la fonction cl et en déduire que cl vérifie l'équation différentielle (5).
Question 25 Montrer que pour tout x réel on a
cl(x) = sl(σ − x)
On définit la fonction G sur R × R par
G(x, y) = (sl(x)sl^′(y) + sl(y)sl^′(x))/(1 + sl^2(x)sl^2(y))
Question 26 Montrer que G vérifie l'équation
(∂G)/(∂x) = (∂G)/(∂y)
en déduire que pour tout a dans R, G est constante le long de la droite d'équation x + y = a.
Question 27 Montrer que
sl(x + y) = G(x, y)
et en déduire une formule d'addition pour la fonction sl, c'est-à-dire une expression de sl(x + y) ne faisant intervenir que sl(x), sl(y), cl(x) et cl(y).
Question 28 Démontrer la formule de Fagnano, valable dans un intervalle [ − α, α] que l'on précisera :
2∫_0^x(dr)/(√(1 − r^4)) = ∫_0^((2x√(1 − x^4))/(1 + x^4))(dr)/(√(1 − r^4))

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI Mines-Ponts 2012 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI Mines-Ponts 2012 ?

Le sujet construit la fonction sinus lemniscatique à partir de l'étude de la lemniscate de Bernoulli en coordonnées polaires, puis mobilise les séries entières et les équations différentielles pour démontrer la formule de Fagnano.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 1 PSI 2012 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans la justification des symétries, une méconnaissance du résultat de cours sur les tangentes à l'origine, des erreurs sur la convergence d'une intégrale impropre et des tracés de graphes de fonctions peu maîtrisés.

Ce sujet de mathématiques 1 PSI 2012 est-il difficile ?

Le rapport le juge globalement mal réussi : une grande partie des copies est jugée peu convaincante et plusieurs questions classiques ont été très peu abordées ou mal traitées.

Le sujet de mathématiques 1 PSI 2012 est-il le même qu'en filière PC ?

Oui, le rapport indique explicitement que ce sujet est identique à celui de Mathématiques I PC de la même session, et renvoie au rapport correspondant pour les conseils.

Pas de description pour le moment