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Mines Physique 1 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Oscillateur harmonique amorti forcé, résonance
  • Couplage électromécanique et adaptation d'impédance
  • Équation de conservation de la charge et relations de passage
  • Ondes évanescentes et plasmons de surface
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Présentation du sujet

Difficile
Résonances et plasmons de surface : de l'oscillateur mécanique aux ondes électromagnétiques guidées
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Le sujet comporte deux parties largement indépendantes reliées par le thème de la résonance. La première étudie un oscillateur mécanique amorti entretenu puis un couplage électromécanique par adaptation d'impédance. La seconde s'intéresse à la propagation d'ondes électromagnétiques sur un plan métallique et à l'excitation de plasmons de surface par réflexion totale.

  1. 1Partie I.A : résonance en mécaniqueÉtude de l'oscillateur harmonique amorti entretenu, question de cours sur la résonance mécanique.
  2. 2Partie I.B : interaction électromécaniqueAdaptation d'impédance entre une onde sonore et un système électromécanique à membrane et solénoïde.
  3. 3Partie II.A : propagation d'une onde sur un plan métalliqueConservation de la charge, champ électrique créé par une distribution surfacique et relation de dispersion des plasmons de surface.
  4. 4Partie II.B : excitation de plasmons par réflexion totaleOnde évanescente entre un demi-cylindre de verre et une plaque métallique, confrontation à des données expérimentales.

Difficile. Le jury se dit extrêmement déçu du niveau général des copies et évoque une piètre performance moyenne, y compris sur des notions de première année.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Équation différentielle de l'oscillateur mal posée · Équation de Maxwell-Gauss non homogène · Partie sur l'excitation des plasmons traitée trop superficiellement
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Le jury a été extrêmement déçu du niveau général des copies sur ces trois premières questions, portant sur une question de cours de première année pourtant fortement valorisée au barème. Seule la partie I.B, bien guidée par l'énoncé, a été correctement traitée par les candidats méticuleux et connaissant leur cours. Le jury manifeste son inquiétude quant au niveau général des candidats sur les sujets abordés dans cette épreuve.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Équation différentielle de l'oscillateur mal poséeQ1

    Une part importante des candidats n'écrit pas correctement l'équation différentielle de l'oscillateur amorti entretenu, pourtant de niveau Terminale, et oublie que la solution générale est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière.

    « Environ un cinquième des candidats ne parvient pas même à écrire correctement l'équation différentielle attendue à la question 1, de niveau Terminale »
  2. 2
    Équation de Maxwell-Gauss non homogèneQ11

    De nombreux candidats écrivent une relation dimensionnellement fausse pour l'équation de Maxwell-Gauss en désespoir de cause face à la question sur le champ électrique créé par la densité de charge surfacique.

    « ce n'est pas le cas pour une loi manifestement non homogène, surtout quand il s'agit de l'équation de Maxwell - Gauss »
  3. 3
    Partie sur l'excitation des plasmons traitée trop superficiellement

    La sous-partie sur l'excitation de plasmons par réflexion totale a rapporté très peu de points, faute d'un traitement suffisamment approfondi.

    « La partie II.B. a été très superficiellement abordée par de nombreux candidats, et leur a souvent rapporté très peu de points »
  4. 4
    Réponses qualitatives mal argumentées

    Les questions qualitatives appellent une démarche scientifique construite à partir des faits, et non une suite de remarques désorganisées.

    « on ne répond pas à une question qualitative par une suite désorganisée de remarques, mais qu'il faut construire une démarche scientifique partant des faits »
  5. 5
    Arguments irréalistes faute de reculQ13

    Face à une question difficile, certains candidats avancent des explications fantaisistes plutôt que d'admettre ne pas savoir répondre.

    « calculer E par un effet de dilution »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I.B sur l'adaptation d'impédance électromécanique a été bien traitée par les candidats méticuleux maîtrisant la conversion électromécanique d'énergie.
  • La démarche de la partie I.B était bien guidée par l'énoncé, ce qui a permis aux candidats rigoureux d'être largement récompensés.

Conseils du jury

  • Maîtriser dès la première année les équations différentielles linéaires avec second membre, y compris la structure solution homogène plus solution particulière.
  • Relire sa copie avant de la rendre, pour repérer les erreurs d'homogénéité et éviter les affirmations irréalistes.
  • Construire une démarche scientifique argumentée et un vocabulaire précis pour répondre aux questions qualitatives, plutôt que d'aligner des remarques désorganisées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

RÉSONANCES & PLASMONS DE SURFACE

Le problème se compose de trois parties largement indépendantes. La première partie présente un modèle qui servira dans la partie suivante pour résoudre qualitativement par analogie quelques questions, avec des calculs plus simples. La dérivée par rapport au temps t d'une fonction x(t) est notée x˙. Hormis j dans la partie I et i dans la partie II, les nombres susceptibles d'avoir une partie imaginaire non nulle sont soulignés. La notation ℛ_e(z_–) signifie partie réelle du nombre complexe z_–. Les vecteurs sont notés avec un chapeau s'ils sont unitaires e_x ˆ, avec une flèche v⃗ dans le cas général. Les applications numériques peuvent toutes être effectuées sans calculatrice, il n'est donc demandé de fournir qu'un ordre de grandeur correct.

I. - Résonance en mécanique

Dans toute cette partie on notera j le nombre complexe tel que j^2 = − 1.

I.A. - L'oscillateur harmonique amorti entretenu.

Une masse m supposée ponctuelle et dont l'abscisse est repérée par la fonction x(t), peut se déplacer sur un plan horizontal sous l'action d'un ressort de raideur k_0. On posera ω_0 = √(k_0/m). Elle est soumise à une force de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse F_v^(→−) = − fx˙e_x ˆ, créée par un amortisseur à air comme représenté sur la figure 1 . En faisant apparaître un facteur d'amortissement sans dimension ξ > 0, le coefficient f peut être mis sous la forme f = 2ξω_0 m. À l'instant t = 0 la masse est abandonnée sans vitesse initiale d'une position x(t = 0) = x_0 > 0. On entretient les oscillations du système en exerçant sur la masse m et à partir de t = 0, une force sinusoïdale de pulsation ω qui s'écrit F_e^(→−) = k_0 x_0 ℛ_e(e^(jωt))e_x ˆ. L'origine de l'axe des x correspond à la position de la masse lorsque le ressort n'est ni étiré ni compressé.
Figure 1 - Oscillateur mobile amorti
  • 1 - Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x(t) et décrivant le mouvement de m. On utilisera les seuls paramètres ξ, ω_0, ω et x_0.
    ◻2 - Résoudre l'équation obtenue à la question 1 dans le cas général. On note X_m l'amplitude du mouvement dans la limite t≫(ξω_0)^(− 1), exprimer dans cette limite
  • la valeur ω_M de ω rendant maximale la fonction X_m(ω). On exprimera ω_M en fonction de ω_0 et ξ;
  • la valeur X_M = X_m(ω_M) dans la limite ξ≪1;
  • la largeur de la bande passante Δω = |ω_2 − ω_1| avec X_m(ω_2) = X_m(ω_1) = X_M/√2, toujours dans la limite ξ≪1.
    ◻3 - En considérant la variable χ = ω/ω_0, tracer une représentation graphique approximative de la fonction g_ξ(χ) = X_m(χ)/x_0 pour ξ = 0, 05 et ξ = 0, 2.

I.B. - Interaction électromécanique.

Figure 2 - Vue en coupe d'un couplage électromécanique
Une onde sonore plane sinusoïdale progressive incidente se propage de la gauche vers la droite dans un tube T comme représenté en coupe sur la figure 2 . L'onde réfléchie sur une membrane d'aire Σ se propage quant à elle de la droite vers la gauche sur cette même figure. La surpression due à l'onde incidente est notée p_i, et celle due à l'onde réfléchie p_r. À l'extérieur du tube la pression p_0 est supposée constante, à l'intérieur du tube elle s'écrit p = p_0 + p_i + p_r.
Cette membrane est solidaire d'un solénoїde constitué par un fil de longueur totale ℓ, qui s'enfile sur un aimant de telle manière que ce fil, sur toute sa longueur, soit soumis à un champ magnétique B⃗ radial (donc perpendiculaire au fil qui est orthoradial) d'intensité B = ‖B⃗‖ uniforme dans l'espace et constante dans le temps. L'ensemble du dispositif : tube, solénoïde, aimant, possède la symétrie de révolution autour de l'axe des x.
Le fil est relié à un circuit R, L, C_a. Le sens du courant choisi est tel que i > 0 donne une force de LAPLACE orientée comme l'axe des x. On suppose que cette force est intégralement transmise
à la membrane qui est également soumise aux forces de pression mais libre de toute autre force. Cette membrane coulisse librement le long de l'axe des x. On néglige tout frottement mécanique, ainsi que l'émission éventuelle d'une onde sonore vers la droite par la membrane. La représentation complexe de l'abscisse de la membrane s'écrit x_–(t) = X_–e^(jωt). On rappelle que pour une onde sonore, la surpression est telle que p_i = ρc_s v_i, pour l'onde incidente se propageant vers la droite, et p_r = − ρc_s v_r pour l'onde réfléchie se propageant la gauche. Le paramètre ρ désigne la masse volumique moyenne de l'air, c_s la célérité du son dans l'air et v_i et v_r la vitesse de l'air au passage des ondes correspondantes. On pourra utiliser les représentations complexes de ces deux vitesses v_i_– = V_i_–e^(jωt) et v_r_– = V_r_–e^(jωt).
  • 4 - Écrire le principe fondamental de la dynamique en projection sur l'axe des x appliqué au système membrane-solénoïde en supposant que sa masse est nulle.
    ◻5 - En effectuant un bilan de puissance, exprimer la force électromotrice (fém) ℰ induite dans le circuit en fonction de B, ℓ et x˙. En déduire l'équation différentielle vérifiée par i.
    ◻6 - On définit le coefficient de réflexion λ_– par la relation p_r_– = λ_–p_i_–, montrer que
(1 + λ_–)/(1 − λ_–) = (R_m)/(R + jΩ(ω)) avec Ω(ω) = Lω − (C_a ω)^(− 1)
où l'on exprimera R_m en fonction de B, ℓ, ρ, c_s et Σ. On vérifiera que R_m est homogène à une résistance.
◻7 - Interpréter les valeurs de λ_– correspondant à B = 0 et à B → + ∞.
◻8 - Dans quelles conditions peut-on obtenir |λ_–| = 0 ? Quel nom donner à cet ajustement? Calculer la valeur numérique de B correspondant à cet ajustement pour ℓ = 4 m; Σ = 10 cm^2; ρ = 6/5 kg.m^(− 3); c_s = 1/3 ⋅ 10^3 m ⋅ s^(− 1) et R = 100Ω.
◻9 - Calculer |λ_–| en fonction de R_m, R et Ω(ω). Déterminer la valeur numérique de |λ_–| si C_a = 10μ F; L = 0, 1H; R_m = 150Ω; R = 100Ω et ω = √2 ⋅ 10^3 rad.s ^(− 1). En utilisant les divers résultats de la question 2, interpréter et commenter les différentes courbes de la figure 3 qui représente |λ_–| en fonction de ω pour R_m = 66; 100 et 150Ω.
Figure 3 - Module du coefficient de réflexion λ_– en fonction de la pulsation ω pour différentes valeurs de R_m

FIN DE LA PARTIE I

II. - Les plasmons de surface

Dans toute cette partie on notera i le nombre complexe tel que i^2 = − 1.

II.A. - Propagation d'une onde sur un plan métallique

On considère un plan conducteur infini ( Π = xOz, voir figure 4) plongé dans le vide. Ce plan est parcouru par des ondes électromagnétiques de célérité c caractérisées par une densité surfacique de courant j_s→ indépendante de x, et dont la représentation complexe s'écrit
j_s→ = j_(s_M)e^(i(Kz − ωt))e_z ˆ
où j_(s_M) et K sont des constantes réelles et positives.
Figure 4 - Géométrie du plan
  • 10 - En adaptant l'équation de conservation de la charge au cas de distributions surfaciques, déterminer la densité surfacique de charge σ(z, t) associée à J_s^(→−).
    11 - Montrer que le champ électrique E⃗ créé par la densité de charges σ est de la forme
E⃗ = E_y e_y ˆ + E_z eˆ_z
où E_y et E_z sont deux fonctions des variables y, z et t.
◻12 - Déterminer la limite de la fonction E_y(y, z, t) lorsque y → 0^+.
◻13 - On suppose que k = ω/c < K. Dans la région y > 0, déterminer l'expression de E_y(y, z, t) puis celle de E_z(y, z, t) en fonction des paramètres K, j_(s_M), ε_0, ω et k et des variables y, z et t. Pour cette dernière expression, on pourra calculer divE⃗.
◻14 - Quelles sont les propriétés de l'onde qui existe dans la région y > 0 ?
On se place dans le cas où le plan est un métal infiniment fin contenant des charges libres sous la forme d'électrons (charge e < 0 et masse m ). Le nombre de ces électrons par unité de surface est noté ρ, il est supposé constant. On fait l'hypothèse que ces électrons peuvent se déplacer sans interaction (frottement) avec le réseau cristallin constituant le métal. On suppose enfin que ces électrons restent dans le plan y = 0 et que le module de leur vitesse v = ‖v⃗‖ est toujours négligeable devant la célérité de la lumière c.
◻15 - En écrivant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l'expression de la vitesse d'un électron dans le métal.
◻16 - En déduire la relation de dispersion reliant ω et K pour des ondes libres se propageant dans le plan métallique. De telles ondes sont appelées plasmons de surface. On introduira la pulsation
Ω_S = (ρe^2)/(ε_0 mc)
◻17 - Pourquoi une onde électromagnétique plane progressive incidente, dans le vide, ne peut-elle pas exciter un plasmon de surface sur le métal ?

II.B. - Excitation de plasmons grâce à la réflexion totale

On considère (figure 5) un demi-cylindre de verre d'indice n. Une onde électromagnétique d'intensité I_e arrive perpendiculairement au plan tangent en A à la surface du verre. Elle pénètre donc le verre en A sans déviation. On suppose de plus qu'elle subit une réflexion totale en O pour ressortir du demi cylindre en B avec une intensité I_r.
Figure 5 - Excitation des plasmons dans la configuration de Otto
◻18 - Montrer qu'il existe une onde évanescente dans le vide d'épaisseur d entre le métal et le demi cylindre de verre. On pourra supposer que la loi de la réfraction s'applique encore, mais avec un angle de réfraction r qui est un nombre complexe tel que cosr = iβ avec β réel et positif. On écrira la dépendance en z, y, et t du champ électrique en procédant par analogie avec le cas où r est réel.
19 - Montrer que cette onde, qui existe alors dans l'espace vide entre le verre et le métal, peut exciter un plasmon dans le métal.
  • 20 - Déterminer l'expression de la pulsation ω de ce plasmon de surface en fonction de α, n, et Ω_S.
21 - Comment va se manifester l'excitation de plasmons dans le métal? On pourra par exemple considérer le rayon émergeant en B.
Lors d'une expérience on mesure le rapport g_d(α) = I_r/I_e pour différentes incidences α et différentes valeurs de d dans le cas d'une plaque en argent, d'un demi-cylindre en verre, et d'un rayon incident de 633 nm de longueur d'onde. Pour chacune des trois valeurs de d utilisées ( d_1 = 581 nm; d_2 = 918 nm et d_3 = 951 nm ), on a reporté sur la figure 6 la courbe g_d(α) expérimentale.
◻22 - En utilisant les différents résultats de la partie I, proposer une explication qualitative des résultats expérimentaux rassemblés sur la figure 6.
Figure 6 - Proportion d'intensité réfléchie en fonction de l'angle d'incidence. Chaque courbe a été obtenue pour une valeur différente de l'épaisseur de vide d.
23 - Si l'on place un liquide entre la surface du métal et le demi cylindre de verre, en quoi les phénomènes précédents sont ils modifiés. Comment un tel dispositif permet-il de détecter des impuretés dans un liquide ?

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Mines physique 1 PSI 2012 ?
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Sur quels chapitres porte Mines physique 1 PSI 2012 ?

Le sujet mêle résonance mécanique et couplage électromécanique en partie I, puis conservation de la charge et plasmons de surface en partie II.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines physique 1 PSI 2012 ?

Une équation différentielle de l'oscillateur mal posée dès la première question, une équation de Maxwell-Gauss écrite de façon non homogène, et une partie II.B traitée trop superficiellement.

Mines physique 1 PSI 2012 est-il faisable en première année ?

La question 1 porte sur une équation différentielle de niveau Terminale, mais le rapport souligne qu'elle a été mal traitée par une part importante des candidats malgré ce niveau attendu.

Le sujet Mines physique 1 PSI 2012 est-il difficile ?

Le jury se dit extrêmement déçu du niveau général des copies, à l'exception de la partie I.B, bien réussie par les candidats méticuleux et connaissant leur cours.

Pas de description pour le moment