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Mines Physique 2 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique des fluides et ondes à la surface de l'eau
  • Mécanique du point en référentiel non galiléen
  • Équations différentielles du second ordre à coefficients constants
  • Induction électromagnétique et couple de Laplace
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Difficile
Un houlogénérateur pendulaire : houle, mécanique du pendule et conversion électromécanique
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L'épreuve étudie un générateur électrique transformant l'énergie des vagues en énergie électrique, à travers trois parties indépendantes. Elle caractérise d'abord la houle par une étude d'ondes à la surface de l'eau, puis modélise le houlogénérateur par un pendule en référentiel non galiléen, avant d'aborder la conversion électromécanique par induction.

  1. 1I. Caractérisation de la houleÉtude des ondes à la surface de l'eau à partir de l'équation de Navier-Stokes et de l'équation de Laplace sur le potentiel des vitesses.
  2. 2II. Étude mécanique du houlogénérateurModélisation du houlogénérateur par un pendule dans un référentiel non galiléen en translation, avec établissement et résolution d'une équation différentielle du second ordre.
  3. 3III. Problème de la conversion électromécaniqueCalcul de la force électromotrice induite et du couple de Laplace, étude du couple moyen et de la stabilité du générateur.

Difficile. Le rapport indique un comportement d'ensemble décevant des candidats sans que la longueur ou la difficulté de l'épreuve ne puisse l'expliquer, l'épreuve ayant pourtant été jugée peu réussie par le jury.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre distance et longueur d'onde · Affirmations sans justification · Applications numériques commentées sans comparaison
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L'épreuve, bien dimensionnée pour quatre heures et composée de trois parties indépendantes, a donné lieu à un comportement d'ensemble décevant des candidats. La première partie sur la houle était largement guidée, la deuxième sur la mécanique du pendule a été peu réussie car les candidats ont perdu de vue les bases du cours de première année, et la troisième sur l'induction a été mieux traitée car ce thème est bien travaillé dans le programme de PSI. Le jury signale aussi une erreur d'énoncé en fin de troisième partie, sans grosse influence car cette partie a été abordée en fin d'épreuve par la plupart des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre distance et longueur d'ondeQ1, Q2

    À la question 1, une confusion grave entre la distance a et la longueur d'onde a empêché de nombreux candidats de réussir la suite de la partie I.

  2. 2
    Affirmations sans justificationQ8

    À la question 8 sur la dispersion, un bon nombre de candidats affirment la dispersion ou la non-dispersion sans fournir d'explication, une réponse juste sans justification n'étant pas validée.

  3. 3
    Applications numériques commentées sans comparaisonQ12

    Certains candidats commentent une application numérique par de simples jugements de valeur sans aucune comparaison raisonnable.

    « tains candidats proposent une application numérique mais la commente en disant »
  4. 4
    Erreurs sur le moment de la force d'inertie d'entraînementQ14

    Le moment du poids est en général calculé correctement, mais celui de la force d'inertie d'entraînement pose davantage de difficultés en référentiel non galiléen.

  5. 5
    Maîtrise insuffisante des équations différentielles du second ordreQ16, Q20

    La gestion des équations différentielles du second ordre à coefficient constant avec second membre harmonique reste mal maîtrisée en fin de seconde année.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 19 sur la force électromotrice a été plutôt réussie.
  • Les questions 5, 6 et 7, faisant suite à une question 3 correctement traitée, ont été plutôt bien réussies malgré quelques erreurs de calcul.
  • La linéarisation à la question 16 a été plutôt réussie.

Conseils du jury

  • Ne pas négliger les explications et justifications, même sur les questions qualitatives où le sens physique est évalué.
  • Maîtriser la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, indispensable en fin de seconde année.
  • Se présenter au concours avec un niveau homogène sur l'ensemble du programme, y compris la mécanique du point de première année.
  • Justifier toute affirmation par une comparaison ou un argument plutôt que par un simple jugement de valeur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2012

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

UN HOULOGÉNÉRATEUR PENDULAIRE

On considère un houlogénérateur pendulaire destiné à convertir l'énergie mécanique de la houle marine en énergie électrique. Celui-ci se compose d'un pendule oscillant à l'intérieur d'un flotteur libre de se déplacer à la surface de l'océan. La houle entretient le mouvement du flotteur, et donc, par l'intermédiaire des forces d'inertie, l'oscillation relative du pendule. Un alternateur solidaire de l'axe du pendule assure la production d'énergie électrique. Les trois parties du problème sont indépendantes. On y envisage successivement la caractérisation de la houle en tant qu'onde de surface, l'étude mécanique du houlogénérateur, puis le problème de la conversion électromécanique.
Dans tout le problème, les vecteurs v⃗ sont notés avec une flèche en général mais avec un chapeau uˆ s'ils sont unitaires, et on associe à une grandeur sinusoïdale f(t) = A_0 cos(ωt + φ) sa représentation complexe soulignée
f_–(t) = A_0 expj(ωt + φ) avec f(t) = Re{f_–(t)} et j^2 = − 1
Une grandeur surmontée d'un point représente la dérivée temporelle de celle ci : α˙ = (dα)/(dt).

I. - Caractérisation de la houle

Dans une modélisation simplifiée, le problème est supposé illimité selon la direction eˆ_y et invariant vis-à-vis de la variable x. La houle en surface est caractérisée par l'équation de la surface libre
z = H + ξ(y, t) où ξ(y, t) = acos(ωt − ky)
où H est la profondeur au repos, ξ(y, t) l'élévation par rapport à H
Figure 1 - Paramétrisation de la houle
due à la houle, ω la pulsation et k⃗ = ke_y ˆ le ≪ vecteur d'onde ≫ de la houle, tous les deux réels. On leur associe la période temporelle T et la longueur d'onde λ.
On s'intéresse à l'écoulement de l'eau de mer entre le fond plat et imperméable en z = 0 et la surface libre en z = H + ξ(y, t). Cet écoulement est paramétré par les champs eulériens de vitesse v⃗(y, z, t) = v_y(y, z, t)eˆ_y + v_z(y, z, t)eˆ_z et de pression P(y, z, t). Pour cette étude, on se place dans le cadre de l'approximation a≪λ, dite ≪ acoustique ≫, où les champs précédents traduisent une évolution de ≪ faible amplitude ≫ de la particule fluide autour de sa position au repos (y, z).
On suppose que l'eau de mer est un fluide incompressible de masse volumique μ = 1, 00 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3) en écoulement irrotationnel. La pression atmosphérique P_0 et le champ de pesanteur g⃗ = − geˆ_z sont uniformes, on prendra g = 9, 81 m.s^(− 2). Enfin, dans le référentiel terrestre ( Oxyz ), l'écoulement vérifie l'équation de Navier-Stokes
μ[(∂v⃗)/(∂t) + (v⃗ ⋅ grad^(→−))v⃗] = − gradP^(→−) + μg⃗ − 2μΩ⃗_t ∧ v⃗ + ηΔv⃗
où Ω⃗_t désigne le vecteur rotation de la Terre autour de son axe polaire et η la viscosité dynamique de l'eau de mer. Pour les application numériques on prendra η = 10^(− 3) Pa.s.
Pour l'étude envisagée, l'équation de Navier-Stokes peut être grandement simplifiée dans le cadre des approximations suivantes :
  • A1 : le terme de viscosité est négligeable devant le terme de convection;
  • A2 : le terme de Coriolis est négligeable devant le terme de convection;
  • A3 : la dérivée convective est négligeable devant la dérivée temporelle locale.
    ◻1 - En considérant a comme distance caractéristique du déplacement d'une particule fluide, traduire littéralement chacune des approximations sous forme d'une inégalité en ordre de grandeur portant sur les quantités a, T, λ, et les constantes du problème.
    ◻2 - Proposer des valeurs numériques pour μ et Ω_t. En déduire les ordres de grandeurs inférieur et supérieur pour λ imposés par les approximations A1 et A2 dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s. Ces approximations sont-elles justifiées?
    ◻3 - Quelle propriété doit vérifier le champ de vitesse v⃗ pour qu'il existe un potentiel des vitesses scalaire Φ(y, z, t) tel que v⃗ = gradΦ^(→−). Quelle est l'équation vérifiée par Φ ?
    -4 - Simplifier l'équation de Navier-Stokes dans le cadre des approximations A1, A2 et A3. En déduire que la quantité ε = (∂Φ)/(∂t) + P/μ + gz est uniforme dans l'écoulement. Quelle signification physique peut-on donner à P/μ + gz ?
    ◻5 - On cherche Φ sous la forme d'une fonction à variables séparées dont la représentation complexe s'écrit
Φ(y, z, t) = f_–(z)e^(j(ωt − ky))
Déterminer l'expression de f_–(z) en fonction de k, z et de deux constantes d'intégration que l'on notera c_1 et c_2.
◻6 - En étudiant la surface libre de cote z = H + ξ(y, t), justifier avec rigueur les conditions aux limites imposées à Φ_– sur la surface libre, ce qui revient dans l'approximation ≪ acoustique ≫ à se placer en z = H.
(∂Φ_–)/(∂z)|_(z = H) = (∂ξ_–(y, t))/(∂t) et (∂Φ_–)/(∂t)|_(z = H) = − gξ_–(y, t)
En déduire une relation reliant c_1, c_2 et les paramètres du problème.
◻7 - En écrivant la condition aux limites imposée à Φ_– en z = 0, montrer que c_1 = c_2. En déduire l'expression de ω^2 sous la forme ω^2 = gkΨ(kH) où l'on précisera l'expression de la fonction Ψ(kH). Vérifier que
Ψ(kH) ≃ kH si kH≪1 et Ψ(kH) ≃ 1 si kH≫1
Dans le cadre de l'étude envisagée, il est possible de faire l'une ou l'autre des deux hypothèses suivantes :
  • H1 : la houle se propage en eau peu profonde ainsi kH≪1;
  • H2 : la houle se propage en eau profonde ainsi kH≫1.
  • 8 - Préciser dans chacun des cas H1 et H2 si la propagation de la houle est ou n'est pas dispersive. Comment cela se manifeste-t-il en pratique pour un observateur scrutant les oscillations de la surface libre?
    ◻9 - L'étude envisagée par la suite est effectuée pour une profondeur au repos H ≃ 100 m. Laquelle des deux hypothèses H1 ou H2 doit-on retenir dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s ? L'approximation << acoustique >> est elle vérifiée a posteriori ?
    ◻10 - Les résultats précédents permettent de montrer qu'au voisinage de la surface libre le potentiel des vitesses s'écrit
Φ_–(y, z, t) = (jaω)/ke^(k(z − H))e^(j(ωt − ky))
Exprimer, dans le cadre de l'approximation ≪ acoustique ≫, les déplacements réels δy(y, z, t) et δz(y, z, t) d'une particule fluide autour de sa position au repos repérée par ses coordonnées ( y, z ). Quelle est, dans ce cas, la nature de la trajectoire suivie au cours du temps par une particule fluide ? Quelle est l'évolution de cette trajectoire en fonction de z ?
11-Le fonctionnement du houlogénérateur peut être perturbé quand la vitesse horizontale d'une particule fluide en surface dépasse la vitesse de propagation de la houle. On dit alors qu'il y a déferlement. On appelle γ = 2a/λ la cambrure de la houle. Établir que le déferlement apparaît lorsque γ devient supérieur à une certaine cambrure critique γ_c que l'on déterminera. Une houle se propageant en eau profonde et telle que a = 1 m et T = 5 s est-elle déferlante ?
12 - Avant de passer au principe même du houlogénérateur, il reste à quantifier la puissance disponible. Justifier que l'on puisse exprimer la puissance mécanique 𝒫_m développée par la houle à travers une section verticale 𝒮 d'écoulement sous la forme
𝒫_m = − ∬_𝒮 μ(∂Φ)/(∂y)(∂Φ)/(∂t) dσ
Exprimer, dans le cadre de l'approximation ≪ acoustique ≫, la puissance mécanique moyenne < 𝒫_m > développée par la houle sur toute la hauteur de l'écoulement en fonction de μ, ω, g, a et de la largeur ℓ_x selon la direction eˆ_x. Déterminer la valeur de la puissance < 𝒫_m > /ℓ_x disponible par mètre de front d'onde dans le cas d'une houle telle que a = 1 m et T = 5 s. Que pensez-vous de cette valeur?

FIN DE LA PARTIE I

II. - Étude mécanique du houlogénérateur

Le houlogénérateur considéré est modélisé par deux composants :
  • un flotteur de centre d'inertie G;
  • un pendule pesant de longueur ℓ = AB, dont la masse m_p = 10^5 kg est concentrée à l'extrémité B et dont le point d'attache A est confondu avec G.
    On note, dans ce cas, α(t) l'inclinaison du pendule relativement au flotteur qui, lui-même, reste vertical. Enfin, le couplage électromécanique entre le pendule et l'alternateur qui permet de convertir l'énergie mécanique du pendule en énergie électrique introduit un couple résistant de moment − βα˙eˆ_x où le coefficient de conversion est fixé à la
Figure 2 - Houlogénérateur mécanique
valeur β = 1, 05.10^6 N.m.rad^(− 1).s.
Le champ de pesanteur g⃗ = − geˆ_z est toujours uniforme. La liaison pivot d'axe ( Gx ) entre le pendule et le flotteur est parfaite. On considère que l'action de la houle sur le flotteur se résume aux seules translations selon les directions eˆ_y et eˆ_z du centre d'inertie G, appelées cavalement et pilonnement, et caractérisées par les coordonnées Y(t) et Z(t) de G dans le référentiel terrestre ℛ = (Oxyz) supposé galiléen.
  • 13 - Donner l'expression de la force d'inertie qui s'exerce sur le pendule dans le référentiel barycentrique ℛ^′ = (Gxyz) du flotteur.
    14 - En appliquant le théorème du moment cinétique en G = A au pendule dans le référentiel barycentrique ℛ^′ du flotteur, montrer que l'équation différentielle vérifiée par α s'écrit
α¨ + χα˙ + s(α) = 0
où l'on exprimera χ en fonction de β, m_p et ℓ et la fonction s(α) en fonction de ℓ, g, Y¨, Z¨ et α.
◻15 - Exprimer l'énergie mécanique E_m du pendule dans le référentiel barycentrique ℛ^′ du flotteur. À l'aide d'un bilan énergétique, retrouver l'équation différentielle établie à la question 14.
L'action de la houle est dorénavant caractérisée par une période T = 5 s et par les fonctions Y(t) = acos(ωt) et Z(t) = asin(ωt) avec ω = 2π/T.
◻16 - Pour cette question on considérera l'exemple d'un houlogénérateur doté d'un pendule de longueur ℓ = 2 m. Étudier la solution de l'équation (1) dans un régime de faibles accélérations verticales ( |Z¨|≪g ) et de petites oscillations ( |α|≪1 ). On déterminera en particulier la durée caractéristique τ et la pseudo-période T_t du régime transitoire ainsi que l'amplitude A_(max) du régime sinusoïdal forcé.
Figure 3 - Évolution de α en fonction de t pour différentes valeurs de a et de ℓ.
  • 17 - Une résolution numérique de l'équation (1) sans hypothèses sur α et Z¨ est entreprise pour différentes valeurs de a et ℓ à partir de conditions initiales nulles. La représentation graphique de certaines de ces solutions fait l'objet de la figure 3 . En utilisant les résultats de la question 16, interprétez le plus précisément possible ces courbes.
Figure 4 − < 𝒫 > en fonction de ℓ
On s'intéresse à présent à la puissance moyenne convertie en régime d'oscillations forcées par le houlogénérateur, notée ⟨𝒫⟩. On calcule pour cela la fonction ⟨𝒫_ℓ⟩ qui représentent l'évolution de ⟨𝒫⟩ en fonction du paramètre ℓ du houlogénérateur, les autres paramètres étant constants. La résolution numérique de l'équation (1) a permis d'obtenir la figure 4. Pour ces calculs et afin de tracer la courbe on a choisi a = 0, 1 m et T = 5 s.
◻18 - Comment peut-on évaluer ⟨𝒫_ℓ⟩ à partir de la solution numérique α(t) de l'équation (1) ? Interpréter physiquement la courbe.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Problème de la conversion électromécanique

La conversion de l'énergie mécanique du pendule en énergie électrique est réalisée par un alternateur. Les oscillations du pendule sont converties en un mouvement de rotation sensiblement uniforme à la vitesse angulaire Ω autour de l'axe ( Ox ) d'une bobine appelée rotor. La bobine de résistance r et d'inductance propre L comporte N spires rectangulaires jointives et associées en série, d'épaisseur négligeable, de hauteur h selon eˆ_x et de largeur b perpendiculairement à cette direction. Elle est fermée sur une résistance de charge R.
On suppose dans un premier temps qu'un champ magnétique uniforme B⃗_0 = B_0 eˆ_y est créé par un aimant permanent et immobile, appelé stator (voir figure 5). On note i l'intensité du courant induit par la rotation de la bobine dans le champ B⃗_0, son sens est indiqué sur la figure 5 .
Figure 5 - Paramétrisation de l'alternateur
◻19 - En utilisant la méthode de votre choix, exprimer d'une part, la force électromotrice e induite au sein de la bobine en fonction de N, h, b, B_0, Ω et t, et d'autre part, le moment des forces de Laplace, ou couple de Laplace, Γ⃗_L subi par la bobine en fonction de N, h, b, B_0, i, Ω et t.
◻20 - On suppose que le rotor se trouve dans un régime de rotation uniforme forcée à la vitesse angulaire Ω. À l'aide d'un schéma électrique équivalent, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t). Montrer que l'intensité se décompose en la somme d'un régime transitoire i_0(t) et d'un régime sinusoïdal permanent i_1(t) = I_1 cos(Ωt + φ). Quelle est la durée caractéristique τ_1 du régime transitoire ? Déterminer les expressions de I_1, cosφ et sinφ en fonction de N, h, b, B_0, R, r, L et Ω.
On résume l'effet du couple de Laplace à sa valeur moyenne sur une période notée ⟨Γ_L⟩ et l'effet d'entraînement du pendule sur la bobine à un couple moteur Γ_m stationnaire.
◻21 - Exprimer le couple de Laplace moyen ⟨Γ_L⟩ en fonction de N, b, h, B_0, R, r, L et Ω. Interpréter physiquement le signe de ⟨Γ_L⟩.
◻22 - Tracer l'allure de la fonction |⟨Γ_L⟩(Ω)| pour Ω ≥ 0. Étudier graphiquement l'existence et la stabilité d'un (ou plusieurs) régime(s) de rotation établi(s) en fonction de la valeur du couple moteur Γ_m > 0. En déduire l'existence d'une vitesse de rotation et d'un couple moteur critiques, Ω_c et Γ_c, que l'on déterminera. Que se passe-t-il si les conditions de fonctionnement du houlogénérateur conduisent à dépasser l'une ou l'autre de ces valeurs critiques?
Dans la pratique, pour éviter ce problème, on organise le stator en secteurs angulaires créant un champ magnétique tournant B⃗_0 = B_0 uˆ où uˆ est toujours le vecteur représenté sur la figure 5 .
  • 23 - Avec cette nouvelle géométrie radiale du stator, déterminer la force électromotrice e^(rad) induite dans la bobine puis relier le couple de Laplace Γ⃗_L^(rad) subi par la bobine au courant i circulant dans celle-ci.
    ◻24 - On suppose toujours que le rotor se trouve dans un régime de rotation uniforme forcée à la vitesse angulaire Ω. Déterminer l'expression du couple de Laplace Γ⃗_L^(rad) en fonction de N, b, h, B_0, R, r et Ω subi par la bobine à l'issue du régime de courant transitoire.
    ◻25 - Les paramètres physiques du montage sont b = h = 1 m et B_0 = 1T. Le bobinage est réalisé dans un fil de cuivre de section s = 1 mm^2 et de conductivité électrique γ = 5, 8.10^6 Ω^(− 1) ⋅ m^(− 1). On suppose que l'on peut identifier Ω à α˙ défini lors de l'étude mécanique et que l'on peut négliger R devant r. Déterminer le nombre N de spires à réaliser pour atteindre le coefficient de conversion β = 1, 05 ⋅ 10^6 N ⋅ m ⋅ rad^(− 1).s utilisé pour dimensionner la partie mécanique du houlogénérateur.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines PSI 2012 sur le houlogénérateur ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Mines PSI 2012 sur le houlogénérateur ?

Le sujet porte sur la mécanique des fluides et les ondes à la surface de l'eau, la mécanique du point en référentiel non galiléen et l'induction électromagnétique avec le couple de Laplace.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une confusion entre distance et longueur d'onde en partie I, des affirmations sans justification sur la dispersion, et une maîtrise insuffisante des équations différentielles du second ordre en partie II.

Ce sujet de physique 2 Mines PSI 2012 est-il difficile ?

Le rapport indique un comportement d'ensemble décevant des candidats, sans que la longueur ou la difficulté propre du sujet ne l'explique, ce qui en fait une épreuve exigeante.

Y avait-il une erreur d'énoncé dans le sujet physique 2 Mines PSI 2012 ?

Oui, le jury signale un problème d'énoncé en fin de troisième partie, où la seconde modélisation du champ magnétique ne produisait pas de force électromotrice induite ; les candidats qui l'ont remarqué ont été récompensés.

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