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Mines Mathématiques 2 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Course-poursuite

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Présentation du sujet

Difficile
Course-poursuite : une équation différentielle de type Loewner
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Le problème étudie l'équation différentielle x'(t) = 2/(x(t) - λ(t)), introduite par Loewner, présentée comme une course-poursuite entre un lièvre (la fonction λ) et une tortue (la solution x). La première partie établit des résultats généraux sur les solutions maximales, la deuxième étudie deux exemples explicites, et la troisième donne une condition suffisante, portant sur la régularité höldérienne de λ, pour qu'il n'y ait jamais capture.

  1. 11. GénéralitésPropriétés des solutions maximales du problème de Cauchy E(λ, x0) : monotonie, limite, comparaison de deux solutions.
  2. 22. Étude de deux exemplesCas de la fonction nulle puis d'une fonction λ1 explicite, avec calcul du temps de vie de la solution maximale.
  3. 33. Une condition suffisante pour qu'il n'y ait pas de captureIntroduction d'une quantité M(f) de type höldérien et démonstration que M(λ) < 4 empêche la capture.

Difficile. Le rapport indique que la prestation moyenne des candidats est décevante, avec une moyenne de 8,23/20, et que les questions de la première partie étaient délicates malgré un barème très généreux.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,23 / 20
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Moyenne
8,23/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Justification insuffisante des théorèmes invoqués · Paraphrase de l'énoncé sans démonstration · Précipitation dans le raisonnement et le calcul
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Le sujet demandait une bonne maîtrise du cours sur les problèmes de Cauchy et une lecture très attentive de l'énoncé, notamment de la définition particulière de solution maximale. Le jury constate des prestations globalement très décevantes, des raisonnements souvent flous et des calculs maladroits, tout en notant la satisfaction d'avoir corrigé un certain nombre de bonnes copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justification insuffisante des théorèmes invoqués

    Il ne suffit pas d'invoquer un théorème du cours : il faut aussi en donner un énoncé exact et montrer que toutes les hypothèses sont satisfaites.

    « il faut aussi en donner un é noncé exact et montrer que toutes les hypoth èses sont satisfaites. »
  2. 2
    Paraphrase de l'énoncé sans démonstration

    De nombreux résultats étaient donnés dans l'énoncé, mais trop de candidats se contentent de le paraphraser sans fournir de preuve sérieuse.

    « contentés de paraphraser cet énoncé, sans autre preuve sérieuse. »
  3. 3
    Précipitation dans le raisonnement et le calcul

    Certains candidats agissent avec beaucoup trop de précipitation, aussi bien dans le raisonnement que dans les calculs, sans faire de brouillon préalable.

    « Certains candidats agissent avec beaucoup trop de pr écipitation »
  4. 4
    Dérivation d'une fonction composée mal maîtriséeQ8

    Une grande proportion des candidats ne sait pas dériver une fonction dont l'expression combine plusieurs opérations classiques.

    « Une grande proportion des candidats ne sa it pas dériver une fonction »
  5. 5
    Question facile mal traitée en fin d'épreuveQ12

    Une question pourtant très facile a été particulièrement mal traitée, sans doute par fatigue en fin d'épreuve et manque de temps.

    « Cette question é tait tr ès facile et a é té particulièrement mal traité e par les candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • Un certain nombre de copies révèlent une bonne compréhension du problème dans son ensemble.
  • Certains candidats savent traiter avec plus ou moins de rigueur les questions de raisonnement de la première partie.

Conseils du jury

  • Lire très attentivement l'énoncé, en particulier les définitions spécifiques qui diffèrent des définitions usuelles.
  • Toujours énoncer précisément les théorèmes utilisés et vérifier explicitement leurs hypothèses.
  • Faire un brouillon avant de rédiger, pour éviter les calculs maladroits rendus directement pour la correction.
  • Ne pas chercher à traiter un maximum de questions au détriment de la qualité et de la rigueur des solutions proposées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

COURSE-POURSUITE.

On note ℝ l'ensemble des nombres réels, ℝ^+l'ensemble des nombres réels positifs, et ℝ^(+ ∗) l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désigne par ℕ l'ensemble des entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit λ : [0, + ∞[ → ℝ une fonction continue telle que λ(0) = 0. L'objet du problème est l'étude de l'équation différentielle
E(λ) : x^′(t) = 2/(x(t) − λ(t))
On dira qu'une fonction φ de classe C^1 sur un intervalle non vide I est solution de E(λ) si pour tout t ∈ I, φ(t) ≠ λ(t) et φ^′(t) = 2/(φ(t) − λ(t)).
Soit x_0 > 0 un réel strictement positif. On appelle solution de E(λ, x_0) une fonction φ : [0, a[ → ℝ ( a ∈ ℝ^(+ ∗) ou a = + ∞ ) de classe C^1 telle que
φ(0) = x_0, et ∀t ∈ [0, a[, φ(t) ≠ λ(t) et φ^′(t) = 2/(φ(t) − λ(t))
Une solution de E(λ, x_0) est dite maximale si ou bien elle est définie sur [0, + ∞[ ou bien elle est définie sur un intervalle [0, a[(a > 0) et elle n'est pas la restriction d'une solution définie sur un intervalle plus grand [0, a^′[(a^′ > a).
On admettra le résultat suivant :

Théorème 1.

1] Soit t_0 > 0 et y_0 ∈ ]λ(t_0), + ∞[. Alors il existe ε > 0 tel que le problème de Cauchy
x(t_0) = y_0, et ∀t ∈ ]t_0 − ε, t_0 + ε[, x(t) ≠ λ(t) et x^′(t) = 2/(x(t) − λ(t))
possède une unique solution φ définie sur ]t_0 − ε, t_0 + ε[.
2] Soient I, J deux intervalles inclus dans [0, + ∞[. On considère deux solutions ψ : I → ℝ, φ : J → ℝ de E(λ) de classe C^1. On suppose qu'il existe t_1 ∈ I ∩ J tel que ψ(t_1) = φ(t_1). Alors, ψ et φ coincident sur I ∩ J.
3] Pour tout x_0 > 0 il existe une unique solution maximale, notée t ↦ φ(t, x_0), de E(λ, x_0). Son domaine de définition est alors noté [0, T(x_0)[; T(x_0) est appelé temps de vie de la solution maximale t ↦ φ(t, x_0). Ou bien T(x_0) ∈ ℝ^(+ ∗), ou bien T(x_0) = + ∞.
Le problème de Cauchy E(λ, x_0) représente une course poursuite entre λ le lièvre et x la tortue. Au temps t = 0, le lièvre est à l'origine 0 = λ(0) tandis que la tortue est en x_0 > 0. On verra que si T(x_0) < + ∞ alors le lièvre rattrape la tortue, on dit qu'il y a capture. Si T(x_0) = + ∞ alors la tortue parvient à s'échapper.
On pourra utiliser librement les résultats de la Partie 1 pour traiter la suite, même si on ne les a pas démontrés.

1 Généralités.

  1. On fixe x_0 > 0. Soit φ(⋅, x_0) : [0, T(x_0)[ → ℝ la solution maximale de E(λ, x_0). Montrer que ∀t ∈ [0, T(x_0)[, φ(t, x_0) > λ(t). Préciser le sens de variation de la fonction φ(⋅, x_0) et montrer qu'elle admet une limite réelle ou égale à + ∞ en T(x_0).
  2. Dans cette question et la suivante on suppose que T(x_0) < + ∞. Montrer que si
lim_(t → T(x_0), t < T(x_0))φ(t, x_0) = + ∞
alors la dérivée (par rapport à t)φ^′(t, x_0) est bornée sur [0, T(x_0)[. Aboutir à une contradiction et conclure qu'il existe l ∈ ℝ tel que lim_(t → T(x_0), t < T(x_0))φ(t, x_0) = l.
3) Montrer que λ(T(x_0)) ≤ l. On suppose que λ(T(x_0)) < l. Prouver alors que t ↦ φ(t, x_0) se prolonge en une fonction de classe C^1 sur le segment [0, T(x_0)] solution de E(λ). Puis, en appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 avec y_0 = l, t_0 = T(x_0) et J = ]t_0 − ε, t_0 ], montrer que l'on contredit le caractère maximal de la solution t ↦ φ(t, x_0). Conclure que l = λ(T(x_0)). On prolonge alors t ↦ φ(t, x_0) par continuité en T(x_0) en posant φ(T(x_0), x_0) = λ(T(x_0)).
4) Soient deux réels x_0 et y_0 tels que 0 < x_0 < y_0. On suppose qu'il existe t_1 ∈ [0, min(T(x_0), T(y_0))[ tel que φ(t_1, x_0) = φ(t_1, y_0). En appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 montrer que cela entraîne l'égalité des deux solutions maximales φ(⋅, x_0), φ(⋅, y_0) et, aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout t ∈ [0, min(T(x_0), T(y_0))[, φ(t, x_0) < φ(t, y_0).
5) On suppose toujours 0 < x_0 < y_0. En déduire que T(x_0) ≤ T(y_0). (On pourra, en raisonnant par l'absurde, supposer que T(x_0) > T(y_0) et utiliser les questions 4), 3) et 1)).

2 Etude de deux exemples.

  1. Soient x_0 > 0 et λ_0 la fonction nulle: ∀t ≥ 0, λ_0(t) = 0. Expliciter la solution maximale de E(λ_0, x_0). Peut il y avoir capture?
On considère la fonction λ_1 : [0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀t ∈ [0, 1], λ_1(t) = 4(1 − √(1 − t)); ∀t ≥ 1, λ_1(t) = 4
  1. Montrer qu'il existe un réel a > 0 que l'on précisera, tel que la fonction φ_0 déterminée par
∀t ∈ [0, 1], φ_0(t) = a − (a − 2)√(1 − t)
définit la solution maximale de E(λ_1, 2). Puis prouver que T(2) = 1.
Jusqu'à la fin de cette partie 2 on considère une autre solution de E(λ_1), φ = φ(⋅, x_0), telle que : φ(0) = x_0 ∈ ℝ^(+ ∗)∖{2}.
8) Pour chaque t ∈ [0, min(1, T(x_0))[, donner une expression simple de d/(dt)(ln|φ(t) − φ_0(t)|) en fonction de
− (φ(t) − λ_1(t))√(1 − t)
  1. Montrer que la fonction
t ↦ C(t) = ln|φ(t) − φ_0(t)| − (2√(1 − t))/(φ(t) − φ_0(t))
est bien définie sur [0, min(1, T(x_0))[ et y est constante. (On pourra utiliser les questions 4 et 8 ).
10) On suppose que x_0 ∈ ]0, 2[. Prouver que C(0) est supérieur ou égal à 1 + ln2. En supposant T(x_0) < 1, calculer C(T(x_0)) et aboutir à une contradiction. En déduire que T(x_0) = 1.
Dans la question suivante on suppose x_0 = φ(0) > 2.
11) Montrer que T(x_0) ≥ 1. Puis montrer, en considérant C(t) quand t → 1 par valeurs inférieures, que T(x_0) ne peut pas être égal à 1 . Enfin montrer, en résolvant l'équation E(λ_1) pour t ≥ 1, que T(x_0) ne peut pas être un nombre réel. Conclure. (On rappelle que ∀t ≥ 1, λ_1(t) = 4 ).

3 Une condition suffisante pour qu'il n'y ait pas de capture.

Soit f : [0, + ∞[ → ℝ une fonction continue telle que f(0) = 0. On rappelle que la fonction λdu problème E(λ) vérifie ces deux hypothèses. On note
M(f) = sup_(0 < x < y; x, y ∈ ℝ^(+ ∗))(|f(y) − f(x)|)/(√(y − x)) ∈ ℝ^+ ∪ { + ∞}
  1. Soient t, s ∈ [0, 1] tels que 0 ≤ s < t. Déterminer une fonction F : [0, 1] → ℝ telle que :
(|λ_1(1 − s) − λ_1(1 − t)|)/(√(t − s)) = (F(s/t))/(1 + √(s/t)).
En déduire que M(λ_1) = 4. On rappelle que λ_1 a été introduite juste avant la Question 7.
Dorénavant et jusqu'à la fin du problème, on suppose que la fonction λ intervenant dans l'équation différentielle E(λ) vérifie M(λ) < 4. On se propose alors de montrer qu'il n'y a pas de capture, c'est à dire que pour tout x_0 > 0, T(x_0) = + ∞.
On raisonne par l'absurde, pour aboutir à une contradiction. Soit donc x_0 > 0 tel que la solution maximale, notée t ↦ x(t), de E(λ, x_0) ait un temps de vie T(x_0) < + ∞ (fini).
13) Montrer que M(λ) est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6).
Soit un réel r > 0. On désigne par λˆ_r la fonction définie sur ℝ^+par
∀t ∈ ℝ^+, λˆ_r(t) = 1/rλ(r^2 t)
On admettra que M(λˆ_r) = M(λ).
14) Montrer qu'il existe r ∈ ℝ^(+ ∗), que l'on précisera, tel que la solution maximale xˆ de E(λˆ_r, 1/rx_0) a un temps de vie égal à 1 et peut être prolongée par continuité en 1 en posant xˆ(1) = λ(1). (On pourra montrer que xˆ est de la forme t ↦ 1/rx(bt) où b est une constante à préciser).
Quitte à remplacer ( λ, x_0 ) par ( λˆ_r, 1/rx_0 ), on peut donc supposer que la solution maximale t ↦ x(t) de E(λ, x_0) a un temps de vie T(x_0) = 1 et peut être prolongée par continuité en 1 en posant x(1) = λ(1).
15) Montrer que
∀t ∈ [0, 1], x(t) − λ(t) ≤ M(λ)√(1 − t)
et en déduire que
∀t ∈ [0, 1], x(1) − x(t) ≥ 4/(M(λ))√(1 − t)
  1. Montrer alors que
∀t ∈ [0, 1], x(t) − λ(t) ≤ (M(λ) − 4/(M(λ)))√(1 − t)
(On utilisera la deuxième inégalité de la question précédente et la définition de M(λ) ).
17) Soit μ un réel > 0 tel que
∀t ∈ [0, 1], x(t) − λ(t) ≤ μ√(1 − t).
Montrer alors que
∀t ∈ [0, 1], x(t) − λ(t) ≤ (M(λ) − 4/μ)√(1 − t).
Conclure que M(λ) − 4/μ est strictement positif.
On rappelle que M(λ) < 4.
18) Déduire de ce qui précède l'existence d'une suite (u_n)_(n ∈ ℕ) de réels strictement positifs vérifiant :
u_0 = M(λ), ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = M(λ) − 4/(u_n)
Etudier la convergence de cette suite (u_n)_(n ∈ ℕ) et aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout réel x_0 > 0, T(x_0) = + ∞.

Fin du Problème

L'équation E(λ) a été introduite par Loewner. Elle joue un rôle important dans diverses branches des mathématiques (analyse complexe, processus stochastiques...etc).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2011 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles et le problème de Cauchy, à travers l'étude d'une équation de type Loewner présentée comme une course-poursuite entre un lièvre et une tortue.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2011 ?

Le jury relève des théorèmes invoqués sans énoncé précis ni vérification des hypothèses, une tendance à paraphraser l'énoncé sans démontrer, de la précipitation dans les calculs, et une dérivation de fonction composée mal maîtrisée.

Ce sujet de maths 2 PSI Mines-Ponts 2011 est-il difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 8,23/20 malgré un barème jugé très généreux par le jury, qui qualifie les prestations des candidats de globalement très décevantes.

Ce sujet de Mines-Ponts PSI 2011 nécessite-t-il de bien connaître les problèmes de Cauchy ?

Oui, le rapport souligne que le sujet demandait une bonne maîtrise du cours sur les problèmes de Cauchy, la dérivation, l'intégration et les équations différentielles linéaires du premier ordre.

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