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Mines Mathématiques 2 PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Déterminants et formule de condensation

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Présentation du sujet

Difficile
Déterminants et formule de condensation de Desnanot-Jacobi, algorithme de calcul de déterminant de Lewis Carroll
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Ce problème de mathématiques II, filière PSI, démontre la formule de condensation de Desnanot-Jacobi sur les déterminants et en explore les applications. Il s'appuie sur des préliminaires de normes matricielles et de continuité du déterminant, avant d'établir la formule elle-même puis de l'appliquer à l'algorithme de calcul de déterminant imaginé par Lewis Carroll, dont la validité est ensuite démontrée.

  1. 1I. PréliminairesNorme matricielle N, interprétation du rang, densité des matrices inversibles et continuité de l'application déterminant.
  2. 2II. Formule de condensationDémonstration de la formule de Desnanot-Jacobi à partir du développement de déterminants par lignes et colonnes.
  3. 3III. Algorithme de Lewis CarrollApplication de la formule de condensation à un algorithme de calcul de déterminant n x n ne faisant intervenir que des déterminants 2 x 2, puis démonstration de sa validité.

Difficile. Le jury qualifie la prestation moyenne des candidats de décevante et conclut que les prestations sont globalement très décevantes, avec de nombreuses copies extrêmement faibles et des questions difficiles très peu abordées ou très mal traitées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Définition d'une norme mal connue · Démonstration de la densité des matrices inversibles évitée · Erreurs de signe dans le développement par cofacteurs
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Le jury relève un niveau de difficulté très variable selon les questions, avec des points de cours mal maîtrisés (définition d'une norme, caractérisation du rang) et des affirmations fausses ou hors programme avancées sans démonstration. Il souligne toutefois l'existence de bonnes copies ayant compris le problème dans son ensemble.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition d'une norme mal connueQ1

    De nombreux candidats ignorent les axiomes exacts d'une norme, oubliant par exemple la séparation ou l'inégalité triangulaire, ou confondent norme d'un produit de matrices et produit des normes.

    « Beaucoup de candidats ne connaissent pas la d éfinition d'une norme. »
  2. 2
    Démonstration de la densité des matrices inversibles évitéeQ3

    Beaucoup de candidats invoquent la densité des matrices inversibles comme un résultat de cours ou une référence hors programme au lieu de la démontrer, alors que c'est exactement ce qui était demandé.

  3. 3
    Erreurs de signe dans le développement par cofacteursQ8

    Le développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne comporte souvent des erreurs de signe sur les cofacteurs, parfois compensées entre elles jusqu'au bon résultat final.

  4. 4
    Application incorrecte de l'algorithme de Lewis CarrollQ12

    Bien qu'un exemple d'application de l'algorithme sur une matrice d'ordre 4 soit fourni par l'énoncé, son application à une autre matrice d'ordre 4 donne des résultats faux dans la majorité des copies, alors qu'une vérification par le calcul traditionnel restait possible.

  5. 5
    Récurrence mal initialiséeQ16

    La question demande de poser clairement une hypothèse de récurrence et de l'initialiser sur les deux premiers termes, ce qui est souvent mal fait.

    « doit poser clairement une hypoth èse de récurrence, et surtout initialiser cette r écurrence : il faut le faire sur les deux »

Ce qui a été bien réussi

  • Un certain nombre de copies ont bien compris le problème dans son ensemble.
  • La question 10 ne présentait aucune difficulté pour les candidats ayant correctement résolu les questions 8 et 9.
  • Un grand nombre de copies traitent correctement la question 12 sur l'algorithme, même quand elle est la seule question réussie.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les définitions du cours (norme, rang, continuité) plutôt que de les évoquer approximativement.
  • Ne pas invoquer un résultat comme une référence quand une démonstration est explicitement demandée.
  • Vérifier un résultat numérique par un calcul de contrôle quand c'est possible, en particulier dans un algorithme.
  • Poser et initialiser correctement une hypothèse de récurrence, sur le bon nombre de termes initiaux.
  • Rédiger avec soin plutôt que de chercher à traiter la totalité du problème sans rigueur.
  • Ne pas utiliser de propriétés fausses ou hors programme pour arriver artificiellement au résultat annoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PSI). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Déterminants et formule de condensation.

Le but de ce problème est de montrer la formule dite de condensation sur les déterminants et d'en explorer les applications et généralisations.

Notations

Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et M une matrice de M_n(ℝ) (l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels). On dira aussi que M est une matrice de taille n × n.
  • On note M_(i, j) le coefficient de M qui se trouve sur la i-ème ligne et j-ème colonne.
  • On note ^t M sa transposée définie par ^t M_(i, j) = M_(j, i) pour tout i, j ∈ {1, 2, …, n}.
  • On note detM son déterminant.
  • Pour n ≥ 2 et i, j ∈ {1, 2, …, n}, on note [M]_i^j la matrice de M_(n − 1)(ℝ) obtenue à partir de M en enlevant la i-ème ligne et la j-ème colonne.
  • Plus généralement, soit r ≥ 0.
Pour n ≥ r + 1 et i_1, …, i_r, j_1, …, j_r ∈ {1, 2, …, n}, vérifiant i_k ≠ i_l et j_k ≠ j_l si k ≠ l, on note [M]_(i_1, …, i_r)^(j_1, …, j_r) la matrice de M_(n − r)(ℝ) obtenue à partir de M en enlevant les lignes d'indices i_1, …, i_r et les colonnes d'indices j_1, …, j_r. On conviendra que cette matrice vaut M si r = 0.
  • On note ComM la comatrice de M définie par
(ComM)_(i, j) = (− 1)^(i + j)det[M]_i^j
  • On désignera par I_n la matrice identité de M_n(ℝ) et par e = (e_1, …, e_n) la base canonique de l'espace vectoriel réel ℝ^n.

I. Préliminaires.

1 - Soit n ∈ ℕ^∗ un entier non nul. Montrer que l'application N de M_n(ℝ) dans ℝ définie par
∀M ∈ M_n(ℝ), N(M) = sup_(i, j ∈ {1, …, n})|M_(i, j)|,
est une norme sur M_n(ℝ).
Dans le cas où M ∈ M_n(ℝ) n'est pas inversible, on rappelle qu'il existe deux matrices inversibles P et Q (de tailles n × n ) telles que M = P.J.Q où
J = (1; ⋅; ⋅, (0); 1; (0), 0; ⋅; 0),
J étant une matrice diagonale dont les r premiers éléments diagonaux valent 1 et dont les n − r derniers éléments diagonaux valent 0 . Si J = 0 on convient que r = 0.
2 Rappeler l'interprétation de r.
3 - On conserve les notations de la question précédente. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles (J_k)_(k ∈ ℕ) de M_n(ℝ) telle que M = lim_(k → + ∞)P.J_k.Q au sens de la distance associée à la norme N.
4 - Montrer que le déterminant définit une fonction continue de M_n(ℝ), muni de la distance associée à la norme N, dans ℝ (on pourra écrire le déterminant comme une somme de fonctions toutes en forme de produits).

II. Formule de condensation

On se propose de montrer dans cette partie la formule de Desnanot-Jacobi, dite de condensation, suivante où n est un entier ≥ 3 :
∀M ∈ M_n(ℝ),
detMdet[M]_(1, n)^(1, n) = det[M]_1^1 det[M]_n^n − det[M]_n^1 det[M]_1^n
5 - Soit i ∈ {1, 2, …, n}. Calculer
M_(i, 1)det[M]_i^1 − M_(i, 2)det[M]_i^2 + … + (− 1)^(n − 1)M_(i, n)det[M]_i^n
en fonction dedetM et de i.
6 - Montrer que
M_(j, 1)det[M]_i^1 − M_(j, 2)det[M]_i^2 + … + (− 1)^(n − 1)M_(j, n)det[M]_i^n = 0
pour i, j ∈ {1, 2, …, n}, vérifiant i ≠ j (on interprètera le membre de gauche comme le développement par rapport à une ligne du déterminant d'une certaine matrice).
7 - Déduire des deux questions précédentes le fait que M ⋅ ^t(ComM) = xI_n où x est un nombre réel que l'on précisera.
On introduit la matrice de M_n(ℝ) suivante :
M^⋆ = (det[M]_1^1, 0, 0, ., ., ., 0, (− 1)^(n + 1)det[M]_n^1; − det[M]_1^2, 1, 0, ., ., ., 0, (− 1)^(n + 2)det[M]_n^2; det[M]_1^3, 0, 1, ., ., ., 0, (− 1)^(n + 3)det[M]_n^3; ., ., ., ., ., .; ., ., ., ., ., .; ., ., ., ., ., .; (− 1)^n det[M]_1^(n − 1), 0, 0, ., ., ., 1, − det[M]_n^(n − 1); (− 1)^(n + 1)det[M]_1^n, 0, 0, ., ., ., 0, det[M]_n^n)
Autrement dit, M^⋆ est obtenue à partir de ^t(ComM) en remplaçant, pour chaque i ∈ {1, …, n} et chaque j ∈ {2, …, n − 1} le coefficient ^t(ComM)_(i, j) par 0 si i ≠ j et par 1 si i = j.
8 - Calculer detM^⋆ en fonction de det[M]_1^1, det[M]_n^n, det[M]_n^1, det[M]_1^n.
9 - Ecrire le calcul explicite de la matrice produit M.M^⋆ sous la forme du tableau usuel de taille n × n.
10 - En utilisant la question précédente, démontrer (1) dans le cas où M est inversible.
11 - Démontrer (1) dans le cas où M n'est pas inversible.

III. Algorithme de Lewis Carroll

Le Révérend Charles L. Dodgson, plus connu sous son nom de plume, Lewis Carroll, s'est servi de la formule de condensation (1) pour mettre au point un algorithme de calcul de déterminant n × n, n'utilisant que le calcul de déterminants 2 × 2.
L'algorithme fonctionne comme suit.
On doit trouver le déterminant d'une matrice M de taille n × n.
Pour cela, on met en jeu une suite de couples de matrices (A^((k)), B^((k))) ∈ M_(n − k)(ℝ) × M_(n − k − 1)(ℝ) pour k = 0, …, n − 2 définies comme suit.
Pour k = 0, A^((0)) = M et B^((0)) est la matrice de M_(n − 1)(ℝ) dont tous les coefficients valent 1.
Voici comment l'on passe du couple (A^((k)), B^((k)))(k ≤ n − 3) au couple (A^((k + 1)), B^((k + 1))).
Si aucun des coefficients de B^((k)) n'est nul, (ce qui est le cas pour B^((0)) ) alors on pose,
A_(i, j)^((k + 1)) = 1/(B_(i, j)^((k))) × |A_(i, j)^((k)), A_(i, j + 1)^((k)); A_(i + 1, j)^((k)), A_(i + 1, j + 1)^((k))|, i, j ∈ {1, …, n − k − 1}; B_(i, j)^((k + 1)) = A_(i + 1, j + 1)^((k)), i, j ∈ {1, …, n − k − 2}.
Bien entendu, dans le membre de droite qui définit le terme A_(i, j)^((k + 1)), ‖ désigne un déterminant 2 × 2. Enfin, si (A^((n − 2)), B^((n − 2))) a pu être défini par la précédente procédure, alors on définit la matrice de taille 1 × 1, A^((n − 1)) = (A_(1, 1)^((n − 1))) par :
A_(1, 1)^((n − 1)) = 1/(B_(1, 1)^((n − 2))) × |A_(1, 1)^((n − 2)), A_(1, 1 + 1)^((n − 2)); A_(1 + 1, 1)^((n − 2)), A_(1 + 1, 1 + 1)^((n − 2))|.
Noter qu'il n'y a pas de terme B^((n − 1)). L'algorithme se termine en affirmant que A_(1, 1)^((n − 1)) = detM, on prouvera plus loin sa validité. Si l'un des coefficients de B^((k)) est nul, l'algorithme ne s'applique pas, et Lewis Carroll préconise de recommencer après avoir échangé (convenablement) des lignes dans la matrice initiale.
Exemple :
M = A^((0)) = (2, 0, 1, 3; − 1, 2, 1, − 2; 0, − 1, 1, 3; 2, 4, − 3, 2) B^((0)) = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1); A^((1)) = (4, − 2, − 5; 1, 3, 5; 2, − 1, 11) B^((1)) = (2, 1; − 1, 1); A^((2)) = (7, 5; 7, 38) B^((2)) = (3); A^((3)) = (77)
Le déterminant de M vaut donc 77 .
12 - Appliquer cet algorithme au calcul du déterminant de
(1, − 2, − 1, 3; 2, 1, − 1, 2; − 1, − 2, 1, − 3; 0, − 1, − 1, 2)
13 - Soit M ∈ M_n(ℝ). On suppose que l'algorithme se termine sans qu'aucun des coefficients des matrices B^((i)) ne s'annule. Quel est le nombre u_n de déterminants 2 × 2 que l'on a calculé au cours de la procédure?
Une autre méthode de calcul de déterminant consiste à répéter le développement suivant des lignes par cofacteurs jusqu'à ce qu'on obtienne des déterminants 2 × 2. L'objet de la question suivante est d'étudier le nombre v_n de déterminants 2 × 2 ainsi obtenus.
14 - Soit donc v_n le nombre de déterminants 2 × 2 calculés lorsque l'on applique la méthode de développements successifs par rapport à des lignes pour calculer le déterminant d'une matrice de taille n × n. Etablir une relation entre v_n et v_(n − 1). Puis, comparer u_n et v_n lorsque n → + ∞.
On se place désormais dans le cas où l'algorithme de Lewis Carroll s'applique. On se propose de montrer sa validité.
15 - Soit r, s ∈ {1, 2, …, n − 2}. En appliquant la formule de condensation, montrer que A_(r, s)^((2)) est le déterminant d'une matrice 3 × 3, extraite de M, que l'on précisera.
16 - Soit k ∈ {1, 2, …, n − 1} et r, s ∈ {1, 2, …, n − k}.
Généraliser le résultat précédent en exprimant A_(r, s)^((k)) comme le déterminant d'une matrice de taille ( k + 1, k + 1 ) extraite de M que l'on précisera. Prouver que
A_(1, 1)^((n − 1)) = detM
ce qui établit la validité de l'algorithme.

IV. Le λ-déterminant

Soit λ ∈ ℝ. On introduit la notion de λ-déterminant d'une matrice M de M_n(ℝ) convenable, noté det_λ M, de la manière suivante.
Soit (a) ∈ M_1(ℝ), det_λ(a) = a.
Soit (a, b; c, d) ∈ M_2(ℝ), det_λ(a, b; c, d) = ad + λbc.
On impose de plus, pour toute matrice M de M_n(ℝ), la formule de condensation suivante :
det_λ Mdet_λ[M]_(1, n)^(1, n) = det_λ[M]_1^1 det_λ[M]_n^n + λdet_λ[M]_n^1 det_λ[M]_1^n
Cette condition (2) permet donc de définir, par récurrence, le λ-déterminant pour une matrice M de taille n × n, à la condition de ne pas avoir à diviser par 0 au cours de son calcul. Plus précisément, supposons que cette procédure par récurrence ait permis de définir le membre de droite de (2) ainsi que det_λ[M]_(1, n)^(1, n) et qu'en plus ce dernier soit non nul. Alors on définit det_λ M par (2) puisqu'on peut diviser par det_λ[M]_(1, n)^(1, n) ≠ 0.
Dans la suite, M désigne une matrice de M_n(ℝ) pour laquelle det_λ M est bien défini.
17 - Soit t ∈ ℝ∖{0}, et j ∈ {1, …, n}. On note M_(t, j) la matrice obtenue à partir de M par multiplication de la j^(eme) colonne de M par t. Montrer que det_λ M_(t, j) est bien défini et donner sa valeur en fonction de_(det)^λ M et de t.
On considère un vecteur (x_1, x_2, …, x_n) de ℝ^n tel que les réels x_i sont tous non nuls. On introduit la matrice de Vandermonde de taille n × n :
V(x_1, x_2, …, x_n) = (x_i^(j − 1))_(1 ≤ i, j ≤ n)
où x_i^(j − 1) est le coefficient situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne.
18 - On suppose que x_j + λx_i est non nul pour tous i, j ∈ {1, …, n} tels que 1 ≤ i < j ≤ n. Calculer det_λ V(x_1, x_2, …, x_n) en fonction des x_j + λx_i, (i, j ∈ {1, …, n} ). (On commencera par le cas n = 3 puis on procédera par récurrence sur n ).

Fin du Problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques II des Mines PSI 2010 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques II des Mines PSI 2010 ?

Elle porte sur l'algèbre linéaire et multilinéaire : normes matricielles, continuité du déterminant, formule de condensation de Desnanot-Jacobi et algorithme de calcul de déterminant de Lewis Carroll.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths II Mines PSI ?

Le jury signale une méconnaissance de la définition d'une norme, des démonstrations de densité remplacées par de simples références, des erreurs de signe dans les développements de déterminants et une application incorrecte de l'algorithme de Lewis Carroll.

Ce sujet des Mines PSI 2010 sur les déterminants est-il difficile ?

Le jury qualifie la prestation moyenne des candidats de décevante et les prestations globales de très décevantes, avec un niveau de difficulté très inégal selon les questions.

Faut-il traiter tout le problème sur la formule de condensation pour bien réussir cette épreuve ?

Non, le jury rappelle qu'il vaut mieux rédiger avec qualité les questions que l'on sait traiter dans le temps imparti plutôt que de vouloir à tout prix traiter la totalité du problème.

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