Mines Mathématiques 2 PSI 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2009

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires

Rappels

On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de

n!

quand

n

tend vers l'infini

n! \sim \sqrt(2π)n^(n + 1/2)e^(- n)

On rappelle aussi que le déterminant d'une matrice

M

de coefficient (

m_(i, j); 1 ⩽ i, j ⩽ n

) peut s'exprimer comme

detM = \sum_(σ \in 𝔖_n)ε(σ)m_(1, σ(1))m_(2, σ(2))\dotsm_(n, σ(n))

où

𝔖_n

est l'ensemble des permutations de

{1, \dots, n}

ε(σ)

est la signature de la permutation

σ

I Polynômes d'Hermite

Pour tout entier naturel

k

, on définit la fonction

h_k

par

h_k : R, ⟶ R; x, ⟼ ((- 1)^k)/(2^k)e^(x^2)D^k(e^(- x^2)),

où

D^k(e^(- x^2))

désigne la dérivée

k

-ième de la fonction

g(t) = e^(- t^2)

prise au point

t = x

. (Par convention

D^0(e^(- x^2)) = e^(- x^2)

Calculer $h_0$ et $h_1$ et établir pour tout entier $n$ , pour tout réel $x$ , l'identité suivante:

2h_(n + 1)(x) - 2xh_n(x) + h_n^'(x) = 0

En déduire que $h_n$ est un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant 1 .

On admet que pour tous les entiers

m

n

∫_(− ∞)^(+ ∞)h_m(x)h_n(x)e^(− x^2) dx = {√πn!2^(− n), si m = n; 0, si m ≠ n

On notera dorénavant

d_n = \sqrtπn!2^(- n).

Montrer que pour tout réel $x$ , l'identité suivante est satisfaite :

(d^n)/(dt^n)e^(- (x - t)^2)|_(t = 0) = 2^n e^(- x^2)h_n(x)

Montrer que pour tout réel $x$ , la fonction $f_x$ de la variable réelle $t$ définie par

f_x(t) = e^(- (x - t)^2)

admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence,

f_x(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(t^k)/(k!)2^k h_k(x)e^(- x^2)

On considère la fonction

w

définie par

w : R \times R, ⟶ R; (x, t), ⟼ e^(2xt - t^2).

Il est évident (et admis dans la suite) que

w

satisfait la propriété suivante : pour tout réel

x

et tout réel

t

(\partialw)/(\partialt)(x, t) - (2x - 2t)w(x, t) = 0.

Établir pour tout réel $x$ et tout entier positif $n$ , l'équation de récurrence suivante :

2h_(n + 1)(x) - 2xh_n(x) + nh_(n - 1)(x) = 0

avec la convention

h_(- 1)(x) = 0

.
6) Montrer que pour tout entier

n

, l'identité

h_n^' = nh_(n - 1)

est satisfaite.

On pose maintenant pour tout entier

k

et pour tout réel

x

φ_k(x) = 1/(\sqrt(d_k))e^(- (x^2)/2)h_k(x)

Les égalités (2) impliquent que

\int_(- \infty)^(+ \infty)φ_m(x)^2 dx = 1 et que \int_(- \infty)^(+ \infty)φ_m(x)φ_n(x)dx = 0, si m \neq n.

Calculer $φ_n(0)$ et $φ_n^'(0)$ pour tout entier $n$ .
Pour tout entier $k$ , tout réel $x$ et tout réel $y$ , exprimer

(x - y)h_k(x)h_k(y)

uniquement en fonction de

h_(k + 1)(x), h_(k + 1)(y), h_k(x), h_k(y), h_(k - 1)(x)

h_(k - 1)(y)

.
9) Établir, pour des réels

x

y

distincts, les identités suivantes :

(x - y)\sum_(k = 0)^(n - 1)1/(d_k)h_k(x)h_k(y), = 1/(d_(n - 1))(h_n(x)h_(n - 1)(y) - h_n(y)h_(n - 1)(x)); \sum_(k = 0)^(n - 1)φ_k(x)φ_k(y), = \sqrt(n/2)(φ_n(x)φ_(n - 1)(y) - φ_(n - 1)(x)φ_n(y))/(x - y)

II Étude de $φ_(2m)$

Dans toute cette partie,

m

est un entier naturel fixé. Soient

β

γ

deux réels non nuls et

r

une fonction continue sur

R

, on considère l'équation différentielle suivante:

é{ρ^(′′)(x) + γ^2 ρ(x), = r(x), pour tout réel x,; ρ(0), = β,; ρ^′(0), = 0. (S(r, β, γ))

Montrer que l'équation différentielle ( $S(r, β, γ)$ ) a une solution unique dont on donnera l'expression.

Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l'admet dorénavant) que pour tout

m, φ_(2m)

est solution de l'équation différentielle suivante:

é{ρ^(′′)(x) + (4m + 1)ρ(x), = x^2 ρ(x), pour tout réel x; ρ(0), = φ_(2m)(0); ρ^′(0), = φ_(2m)^′(0)

Montrer que pour tout réel $x$ ,

φ_(2m)(x) = α_(2m)cos(\sqrt(4m + 1)x) + \int_0^x(sin(\sqrt(4m + 1)(x - y)))/(\sqrt(4m + 1))y^2 φ_(2m)(y)dy

avec pour tout entier

m

α_(2m) = ((- 1)^m)/(π^(1/4))(\sqrt((2m)!))/(2^m m!)

Trouver un équivalent de $α_(2m)$ quand $m$ tend vers l'infini.
Montrer que pour tout réel $x$ , l'inégalité suivante est vérifiée :

|\int_0^x(sin(\sqrt(4m + 1)(x - y)))/(\sqrt(4m + 1))y^2 φ_(2m)(y)dy| ⩽ 1/(\sqrt(4m + 1))(|x|^(5/2))/(\sqrt5)

On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5).
14) Établir pour tout réel

x > 0

, la limite suivante :

lim_(m \to + \infty)(- 1)^m\sqrtπm^(1/4)φ_(2m)(x/(2\sqrtm)) = cos(x)

III Intégrales de déterminants

Pour tout entier

N

, on note

K^((N))

la fonction de

R^2

dans

R

donnée par

K^((N))(x, y) = \sum_(k = 0)^(N - 1)φ_k(x)φ_k(y)

pour tout

(x, y) \in R^2

.
15) Montrer, pour tout

x

y

dans

R

, les identités suivantes :

\int_(- \infty)^(+ \infty)K^((N))(x, z)K^((N))(z, y)dz = K^((N))(x, y); \int_(- \infty)^(+ \infty)K^((N))(x, x)dx = N

Soit

k

un entier tel que

k ⩾ 2

, et

σ

une permutation de l'ensemble

{1, \dotsk}

. Pour deux entiers

i

j

{1, \dotsk}

, on note

(i, j)

la transposition qui échange

i

j

. On fait la convention :

(i, j)

est égale à l'identité de

𝔖_k

i = j

On pose

σˆ = (k, σ(k)) \circ σ.

Montrer que $σˆ$ définit une permutation de ${1, \dots, k}$ telle que $σˆ(k) = k$ . Calculer sa signature en fonction de celle de $σ$ . (On distinguera le cas où $σ(k) = k$ du cas où $σ(k) \neq k$ .)

On note

σ˜

la restriction de

σˆ

{1, \dots, k - 1}

. On considère l'application

θ

définie par :

θ : 𝔖_k, ⟶ 𝔖_(k - 1); σ, ⟼ σ˜

Soit

σ \in 𝔖_k

, on rappelle que

θ^(− 1)({θ(σ)}) = {τ ∈ 𝔖_k/θ(τ) = θ(σ)}

Soit $σ \in 𝔖_k$ , établir les propriétés suivantes :

cardinal(θ^(− 1)({θ(σ)})) = {1, si σ(k) = k; k − 1, sinon

Montrer pour tout $(x_1, \dots, x_k) \in R^k$ , pour tout entier $N$ , les identités suivantes:

∫_(− ∞)^(+ ∞)∏_(i = 1)^k K^((N))(x_i, x_(σ(i)))dx_k = {N∏_(i = 1)^(k − 1)K^((N))(x_i, x_(σ˜(i))), si σ(k) = k; ∏_(i = 1)^(k − 1)K^((N))(x_i, x_(σ˜(i))), sinon.

L

est une fonction de

R^2

à valeur dans

R

, on note pour tout (

x_1, \dots, x_k

) dans

R^k

DetL(x_1, \dots, x_k) = det(L(x_1, x_1), L(x_1, x_2), \dots, L(x_1, x_k); L(x_2, x_1), L(x_2, x_2); ⋮, ⋱, ⋮; L(x_k, x_1), \dots, \dots, L(x_k, x_k)).

On notera que si

L

est continue sur

R^2

alors Det

L

est continue sur

R^k

.
19) En utilisant l'expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entier

k ⩾ 1

\int_(- \infty)^(+ \infty)DetK^((N))(x_1, \dots, x_k)dx_k = (N - k + 1)DetK^((N))(x_1, \dots, x_(k - 1)),

avec par convention

DetK^((N))(x_1, \dots, x_k) = 1

k = 0

IV Déterminants et intégrales

Pour tout entier

N ⩾ 1

, on note

Ψ^((N))

la fonction de

R^N

dans

R

définie par

Ψ^((N))(x_1, \dots, x_N) = e^(- \sum_(i = 1)^N x_i^2)\prod_(1 ⩽ i < j ⩽ N)(x_i - x_j)^2.

Pour

1 ⩽ k ⩽ N

, on note

Ψ_k^((N))

la fonction de

R^k

dans

R

définie par récurrence par

Ψ_N^((N)) = Ψ^((N)),

et pour

k < N

Ψ_k^((N))(x_1, \dots, x_k) = 1/(N - k)\int_(- \infty)^(+ \infty)Ψ_(k + 1)^((N))(x_1, \dots, x_k, y)dy.

Soient $N$ réels, $x_1, \dots, x_N$ , montrer les deux égalités suivantes:

det(h_0(x_1), h_1(x_1), \dots, h_(N - 1)(x_1); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; h_0(x_N), h_1(x_N), \dots, h_(N - 1)(x_N)), = det(1, x_1, \dots, x_1^(N - 1); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; 1, x_N, \dots, x_N^(N - 1)); = \prod_(1 ⩽ i < j ⩽ N)(x_i - x_j).

Soient $N$ réels $(x_1, \dots, x_N)$ , établir pour tout entier $1 ⩽ k ⩽ N$ , l'identité suivante :

1/(d_0\dotsd_(N - 1))Ψ_k^((N))(x_1, \dots, x_k) = DetK^((N))(x_1, \dots, x_k).

On commencera par le cas

k = N

Fin du problème

On déduit de tout ce qui précède, que pour tout entier

k > 0

et tout

(x_1, \dots, x_k) \in R^k

lim_(N \to + \infty)(2N)^(- k/2)1/(d_0\dotsd_(N - 1))Ψ_k^((N))((x_1)/(\sqrt(2N)), \dots, (x_k)/(\sqrt(2N))) = detS(x_1, \dots, x_k),

où

S : R^2, ⟶ R; (x, y), ⟼ (sin(x - y))/(π(x - y)) si x \neq y; (x, x), ⟼ 1/π.

Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l'on choisit une matrice hermitienne de taille

N

, «au hasard», la probabilité que

k

de ses valeurs propres soit dans un voisinage de

(x_1, \dots, x_k)

est proportionnelle à det

S(x_1, \dots, x_k)

pour

N

grand. Ces considérations sont particulièrement d'actualité pour l'étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les «box».

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Rappels

I Polynômes d'Hermite

II Étude de φ_(2m)

III Intégrales de déterminants

IV Déterminants et intégrales

Fin du problème

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II Étude de $φ_(2m)$